Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ЭЛ № ФС 77 - 80772, 16+

Скачать PDF ( ) Страницы: 4-8 Выпуск: №4 (35) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Карамова А. И. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ МЕТОДА ЛОКАЛЬНЫХ ВАРИАЦИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ / А. И. Карамова, Д. А. Петров // Международный научно-исследовательский журнал. — 2015. — №4 (35) Часть 1. — С. 4—8. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/parallelnyj-algoritm-metoda-lokalnyx-variacij-dlya-zadachi-optimalnogo-upravleniya/ (дата обращения: 02.07.2022. ).
Карамова А. И. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ МЕТОДА ЛОКАЛЬНЫХ ВАРИАЦИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ / А. И. Карамова, Д. А. Петров // Международный научно-исследовательский журнал. — 2015. — №4 (35) Часть 1. — С. 4—8.

Импортировать


ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ МЕТОДА ЛОКАЛЬНЫХ ВАРИАЦИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Карамова А.И.1, Петров Д.А.2

1Кандидат физико-математических наук,

Башкирский государственный университет

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ МЕТОДА ЛОКАЛЬНЫХ ВАРИАЦИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Аннотация

В статье рассмотрена технология решения задачи оптимального управления в виде параллельного итерационного процесса оптимизации с выбором наилучшего приближения. Данный алгоритм проверен на тестовых примерах с известными аналитическими решениями.

Ключевые слова: оптимальное управление, параллельные технологии.

Karamova A.I.1, Petrov D.A.2

1Candidate of Physical and Mathematical Sciences,

Bashkir State University

PARALLEL ALGORITHMS FOR LOCAL VARIATION METHOD FOR OPTIMAL CONTROL PROBLEMS 

Abstract

The article describes the technology for solving the problem of optimal control in the form of parallel optimization processes with the choice of the best approximation. This algorithm is tested on test cases with known analytical solutions.

Keywords: optimal management, parallel technology.

Решение задач оптимального управления численными способами, сопровождается большим количеством вычислений, что соответственно влияет на время ожидания результата. В некоторых ситуациях, нет привилегий на расточительность времени, нужны быстрые и точные ответы от используемых алгоритмов. К счастью научный прогресс не стоит на месте. Старые одноядерные компьютеры вытесняются более производительными многоядерными. Но и эта тенденция не проживет долго. На пороге нашего мира в роль вступают кластерные системы, основанные на большом количестве процессоров. Сила таких систем заключена в том – что алгоритмы выполняются параллельно, тем самым давая колоссальный прирост производительности. Многие последовательны алгоритмы решения прикладных задач, дают возможность изменить свою структуру и ложатся на параллельные архитектуры.

Целью данной работы является разработка и оптимизация алгоритма метода вариаций для решения задачи оптимального управления на системах с большим количеством вычислительных ядер.

Запишем формулировку задачи оптимального управления. Дана система (объект, процесс), состояние которой описывается дифференциальным уравнением:

03-07-2018 10-16-39,

где  x – вектор фазовых координат, u – вектор управления, t – время.

На вектора x и u наложены ограничения xÎ X, uÎ U.

Система рассматривается на интервале tÎ [0, T].

Требуется определить вектор–функции u(t), x(t) доставляющие минимум функционалу J=J(x, u) при переводе из начального состояния (x(0), 0) в конечное  состояние (x(T), T).

Задачи оптимального управления классифицируются по способу задания функционала, по способу задания ограничений вдоль траектории и по способу задания краевых условий.

Не останавливаясь подробно на изложением общего материала, перейдем у частному методу численного решения задачи оптимального управления, а именно на методе локальных вариаций. Алгоритм последовательного метода представлен на рис.1.

Суть метода распараллеливания довольна проста – «разделяй и властвуй». Элементарная операция выполняется для каждой точки начального оптимального управления. Тем самым для каждой точки решается  система дифференциальных уравнений одним из численных методов.

03-07-2018 10-18-03
Рис. 1 – Блок-схема последовательного алгоритма (CPU) поиска оптимального управления

По мере роста размера разбиений оптимального управления, растет количество однотипных вычислений. Целью работы является сведение всех однотипных вычислений в блок выполняемый за одну итерацию. То есть элементарные операции выполняются не друг за другом, а параллельно независимо друг от друга (рис. 2).

03-07-2018 10-20-38
Рис. 2 – Блок-схема параллельного  алгоритма (GPU) поиска оптимального управления

Далее приведены таблицы и диаграммы сравнения производительности двух вариантов алгоритмов поиска оптимального управления на тестовом примере с известным аналитическим решением.

Пример. Даны модель объекта управления:

03-07-2018 10-22-19

с начальными условиями 03-07-2018 10-23-08 и функционал 03-07-2018 10-23-37

Требуется найти оптимальное программное управление 03-07-2018 10-24-37 и соответствующую ему траекторию 03-07-2018 10-24-53.

Таблица 1

Разбиений Итераций CPU GPU
10 100 16 686
50 100 234 1498
100 100 858 812
150 100 1872 624
200 100 3135 734

03-07-2018 10-27-16
Рис. 3 – Диаграмма 1

Таблица 2

Разбиений Итераций CPU GPU
10 150 32 1295
50 150 312 1436
100 150 1170 624
150 150 2787 593
200 150 4787 594

03-07-2018 10-28-50

Рис. 4 – Диаграмма 2

Таблица 3

Разбиений Итераций CPU GPU
10 200 31 2106
50 200 405 1560
100 200 1560 702
150 200 3500 608
200 200 6361 608

03-07-2018 10-30-28

Рис. 5 –Диаграмма 3

Из приведенных данных видим: при малом количестве разбиений, последовательный алгоритм выполняется намного быстрее параллельного, но имеет большую зависимость от количества итераций. При увеличении числа итераций значительно меняется время выполнения алгоритма. При работе параллельного алгоритма видим, что на время счета сильно не влияет количество итераций, но при малом количестве разбиений параллельный алгоритм просто не успевает разогнать мультипроцессор и поэтому при малых количествах разбиений он проигрывает своему конкуренту. Таким образом при большом количестве итераций и малом шаге разбиений параллельный алгоритм работает более стабильно и значительно быстрее, что подтверждает эффективность использования подобных алгоритмов.

Литература

  1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002.
  2. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 2008.
  3. Перепёлкин Е.Е., Садовников Б.И., Иноземцева Н.Г. Вычисления на графических процессорах (GPU) в задачах математической и теоретической физики. – М.: URSS, 2014.
  4. Сандерс Д., Кэндрот Э. Технология CUDA в примерах. – М.: ДМК Пресс, 2011.

References

  1. Verzhbickij V.M. Osnovy chislennyh metodov. – M.: Vysshaja shkola, 2002.
  2. Kireev V.I., Panteleev A.V. Chislennye metody v primerah i zadachah. – M.: Vysshaja shkola, 2008.
  3. Perepjolkin E.E., Sadovnikov B.I., Inozemceva N.G. Vychislenija na graficheskih processorah (GPU) v zadachah matematicheskoj i teoreticheskoj fiziki. – M.: URSS, 2014.
  4. Sanders D., Kjendrot Je. Tehnologija CUDA v primerah. – M.: DMK Press, 2011.

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.