Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 18+

DOI: https://doi.org/10.18454/IRJ.2016.53.160

Скачать PDF ( ) Страницы: 161-165 Выпуск: № 11 (53) Часть 4 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Красий Н. П. ОПТИМИЗАЦИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ С ДВУМЯ СТРУКТУРАМИ И НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИОРИТЕТАМИ / Н. П. Красий // Международный научно-исследовательский журнал. — 2017. — № 11 (53) Часть 4. — С. 161—165. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/optimizaciya-kvazilinejnyx-modelej-sistem-s-dvumya-strukturami-i-nezavisimymi-prioritetami/ (дата обращения: 22.08.2018. ). doi: 10.18454/IRJ.2016.53.160
Красий Н. П. ОПТИМИЗАЦИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ С ДВУМЯ СТРУКТУРАМИ И НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИОРИТЕТАМИ / Н. П. Красий // Международный научно-исследовательский журнал. — 2017. — № 11 (53) Часть 4. — С. 161—165. doi: 10.18454/IRJ.2016.53.160

Импортировать


ОПТИМИЗАЦИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ С ДВУМЯ СТРУКТУРАМИ И НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИОРИТЕТАМИ

Красий Н.П.

Доцент, кандидат физико-математических наук, Донской государственный технический университет в г. Ростове-на-Дону

ОПТИМИЗАЦИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ С ДВУМЯ СТРУКТУРАМИ И НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИОРИТЕТАМИ

Данная работа выполнена в рамках плана научных работ кафедры высшей математики ДГТУ при поддержке РФФИ (грант № 16-01-00184а)

Аннотация

Представлены обоснование и математическая модель задачи принятия оптимальных решений при распределении независимых приоритетов между двумя конкурирующими структурами, взаимодействующими в единой системе. Исследована модель квазилинейного типа с независимыми приоритетами. Приведены условия существования точек глобального максимума целевой функции арбитра и описание этих точек. Рассмотрены специфические ситуации, когда достаточное условие наличия экстремума не выполняется или выполняется только для одного из приоритетов. Приведен пример для случая постоянных приоритетов.

Ключевые слова: квазилинейная модель, оптимизация, глобальный максимум, случайные приоритеты, максимальная эффективность, взаимодействие структур.

Krasiy N.P.

Associate professor, PhD in Physics and Mathematics, Don State Technical University in Rostov-on-Don

OPTIMIZATION OF QUASI-LINEAR MODELS OF SYSTEMS WITH TWO STRUCTURES AND INDEPENDENT PRIORITIES

Abstract

Explanation and mathematical model of the problem of optimal decision making is presented in the case when two independent priorities are distributed among two competing structures interacting in a single system. A model of quasi-linear type with independent priorities is investigated. Conditions of existence and uniqueness of points of global maximum and description of these points are given. Specific situations where sufficient conditions for the existence of extremum are not fulfilled or are fulfilled for only one of the priorities are considered. An example in the case of constant priorities is given.

Keywords: quasi-linear model, optimization, global maximum, random priorities, maximum efficiency, interaction structures.

Подавляющее большинство организаций состоит из нескольких взаимодействующих между собой структур, цели которых зачастую разнонаправлены. Речь идет об организациях разного уровня – от некоторого отдельно взятого предприятия, до целой отрасли, управляемой министерством. Нередко работники управляющих подразделений – арбитры, принимающие решения по обеспечению деятельности такой организации на основании рекомендаций неких экспертов, сталкиваются с проблемой такого распределения приоритетов между ее внутренними структурами, чтобы вся организация имела при этом максимальную эффективность. Возник вопрос о возможности применения математических методов решения этой задачи. В работах [1], [2] представлена математическая формализация задачи, которая показала, что расставляемые приоритеты логично считать случайными величинами, причем решение оптимизационной задачи зависит как от их характера, так и от количества структур, входящих в систему.

Представляемая модель описывает систему с двумя структурами, целевые функции которых «квазилинейного» вида

19-01-2017 11-17-06

заданы в пространстве Rn, неотрицательны, не обращаются в ноль и дважды непрерывно дифференцируемы на открытых множествах 19-01-2017 11-18-24 и 19-01-2017 11-19-02 соответственно, причём пересечение этих множеств непусто и 19-01-2017 11-19-38.

Пусть 19-01-2017 11-20-24 — произвольные независимые случайные величины, принимающие значения на некоторых множествах 19-01-2017 11-21-13 каждая, определенные на некотором вероятностном пространстве 19-01-2017 11-21-44, где 19-01-2017 11-22-15. Естественно предполагать, что

19-01-2017 11-22-48  (1)

Следуя идеологии работ [1], [2] целевая функция арбитра при этом имеет вид

19-01-2017 11-23-28  (2)

Для определения ситуаций, когда существуют точки локальных и глобальных максимумов функции 19-01-2017 11-24-20, найдем ее частные производные:

19-01-2017 11-25-04

возможность дифференцирования под знаком интеграла обосновывается следствием 2.8.7 из [3]). Из того, что 19-01-2017 11-26-30, и из условий (1) вытекает, что 19-01-2017 11-27-05. Таким образом, существование точки 19-01-2017 11-26-30, в которой 19-01-2017 11-28-04 при всех 19-01-2017 11-28-29, равносильно выполнению следующих условий:

1. существует такое число 19-01-2017 11-29-15 выполняются равенства

19-01-2017 11-29-53  (3)

2. существует точка 19-01-2017 11-26-30 такая, что

19-01-2017 11-31-13   (4)

Для 19-01-2017 11-26-30 рассмотрим функцию 19-01-2017 11-32-12. Ясно, что (4) совпадает с 19-01-2017 11-32-46.

Начиная с этого момента, будем предполагать, что условие (3) выполнено. Введем в рассмотрение функции:

19-01-2017 11-33-52

Так как для 19-01-2017 11-26-30 выполняются неравенства 19-01-2017 11-35-00, то область определения функций 19-01-2017 11-35-39 описывается неравенствами 19-01-2017 11-36-19, то есть 19-01-2017 11-36-52. Условие непустоты области 19-01-2017 11-37-27 равносильно условию

19-01-2017 11-37-51  (5)

Итак, доказана следующая

Теорема 1. Для того, чтобы функция 19-01-2017 11-24-20, заданная равенствами (1) и (2), имела стационарные точки, необходимо выполнение условий (3) и (5).

Теорема 2. Пусть выполняются условия (3), (5) и условие

19-01-2017 11-38-56   (6)

Тогда уравнение 19-01-2017 11-39-42 имеет единственный корень 19-01-2017 11-40-20 и все точки гиперплоскости 19-01-2017 11-40-49 являются точками глобального максимума функции 19-01-2017 11-24-20.

Доказательство. Дифференцируя под знаком интеграла (возможность такого дифференцирования опять обосновывается следствием 2.8.7 из [3]), получаем:

19-01-2017 11-42-09

Так как в силу условия 19-01-2017 11-44-07 и 19-01-2017 11-45-08, а из условия (6) вытекает, что 19-01-2017 11-47-15 и 19-01-2017 11-48-04. Следовательно, 19-01-2017 11-48-58 и непрерывная функция 19-01-2017 11-50-02 строго монотонно убывает на этом интервале.

Покажем теперь, что  19-01-2017 11-50-46. Обозначим

19-01-2017 11-51-38  (7)

Имеем:

19-01-2017 11-52-31

Так как  19-01-2017 11-53-24, то, применяя условие (6), по теореме Леви получаем, что при

19-01-2017 11-54-23

откуда вытекает требуемое утверждение.

Аналогично доказывается, что  19-01-2017 11-55-19.

Нами показано, что 19-01-2017 11-50-02 — непрерывная строго убывающая на интервале 19-01-2017 11-57-20 функция, принимающая на нем все действительные значения, а значит, уравнение 19-01-2017 11-58-01 имеет единственный корень 19-01-2017 11-58-47. Кроме того ясно, что 19-01-2017 11-59-23 — единственная точка локального максимума функции 19-01-2017 12-00-43, а, значит, и единственная точка глобального максимума на 19-01-2017 11-57-20. Следовательно, все точки гиперплоскости  19-01-2017 12-01-36 являются точками глобального максимума функции 19-01-2017 11-24-20. Теорема доказана [4].

Замечание 1. Пусть выполняются условия (3), (5), а условие (6) не выполняется. Учитывая (1) и обозначения (7), имеем:

19-01-2017 12-03-05

В этом случае

19-01-2017 12-04-21

Таким образом, график функции 19-01-2017 12-00-43 – парабола с ветвями, направленными вниз, имеющая 2 точки пересечения с осью абсцисс (очевидно, что 19-01-2017 12-05-46), а её точкой глобального максимума является вершина параболы с абсциссой

19-01-2017 12-06-37

а все точки гиперплоскости 19-01-2017 12-01-36 являются точками глобального максимума функции  19-01-2017 11-24-20 [5].

Замечание 2. Пусть выполняются условия (3), (5), а условие (6) выполнено только для одного из приоритетов, например, для α2. То есть, учитывая обозначения (7),

19-01-2017 12-09-05

Так как из условия (6) для α2 следует, что 19-01-2017 12-10-25, то очевидно, что 19-01-2017 12-11-07  (аналогично доказательству теоремы 2).

Так же, опираясь на доказательство теоремы 2, нетрудно показать, что

19-01-2017 12-12-11

И если 19-01-2017 12-17-28, то, как и в теореме 2, в результате имеем единственный корень 19-01-2017 12-18-02 с такими же выводами, а если 19-01-2017 12-18-50, то корней уравнения 19-01-2017 11-39-42  нет и нет точек глобального максимума функции 19-01-2017 11-24-20.

Покажем, что число a может иметь разные знаки. Пусть 19-01-2017 12-21-06, тогда, используя обозначения замечания 1,

19-01-2017 12-21-38

Чтобы 19-01-2017 12-17-28, нужно чтобы знаки числителя и знаменателя дроби совпадали. Если 19-01-2017 12-22-40, то таким условием является неравенство 19-01-2017 12-23-16 . Например, при 19-01-2017 12-24-32. То есть, при 19-01-2017 12-25-36

и единственное решение существует, а при 19-01-2017 12-26-17  и решения нет.

Если  19-01-2017 12-27-27, то числитель не может быть положителен, так как неравенство 19-01-2017 12-28-07 невыполнимо. Значит, наличие решения зависит от отрицательности знаменателя. Так как 19-01-2017 12-28-43, предположим, что 19-01-2017 12-29-23. Знаменатель отрицателен при выполнении условий: n нечётное, n-m нечётное. Например, при 19-01-2017 12-30-37  для 19-01-2017 12-31-14 условия выполнены, 19-01-2017 12-17-28 и единственное решение существует, а при 19-01-2017 12-32-25 и решения нет [5].

Пример. Пусть 19-01-2017 12-33-33 . Тогда уравнение (4) принимает вид:

19-01-2017 12-34-08

Единственным корнем этого уравнения является 19-01-2017 12-34-52, а глобальным максимумом – 19-01-2017 12-35-24.

В случае, когда 19-01-2017 12-36-14, результат соответствует примеру 1, представленному в работе [2]: 19-01-2017 12-36-57  с соответствующими выводами.

Список литературы / References

  1. Вагин, В.С. Оптимизация квазилинейных моделей сложных систем с учетом вероятностного характера приоритетов. / В.С. Вагин, И.В. Павлов // Международная конференция “XXVI Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам”. – Сборник тезисов. – 2015. – С. 109.
  2. Вагин В.С., Павлов И.В. Моделирование и оптимизация квазилинейных сложных систем с учетом вероятностного характера приоритетов. // Вестник РГУПС, 2016, №1(61), С. 135–139.
  3. Богачев, В.И. Основы теории меры. / В.И. Богачев. – Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2006. – Т. 1. – С. 584.
  4. Красий Н.П. Оптимизация квазилинейных моделей с независимыми приоритетами. // Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения – VI, Ростов-на-Дону, 24-29 апреля 2016 г., материалы конференции, С. 134-135.
  5. Красий Н.П. О некоторых особых случаях оптимизации квазилинейных моделей с независимыми приоритетами // Международная конференция “XXVII Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам”. – Сборник тезисов. – 2016. – С. 110.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Vagin, V.S. Optimizatsiya kvazilineynyh modeley slozhnyh system s uchetom veroyatnostnogo haraktera prioritetov. [Optimization of quasi-linear models of complete systems in view of random nature of priorities.] / V.S. Vagin, I.V. Pavlov // Mezhdunarodnay konferentsiya “ XXVI Krymskaya osennyaya matenatitcheskaya shkola-simpozium po spektralnim i evoluzionnim zadatcham” [International Conference “KROMSH-XXVI”. Abstracts.] – 2015. – P. 109. [in Russian]
  2. S. Vagin, I.V. Pavlov. Modelirovanie i optimizatsiya kvazilineynih slozhnyh system s uchetom veroyatnostnogo haraktera prioritetov. [Modeling and Optimization of quasi-linear complete systems in view of random nature of priorities.]// Vestnik RGUPS [Vestnik RGUPS], 2016, №1(61), Р. 135–139. [in Russian]
  3. Bogachev, V.I. Osnovy teorii mery. [Foundations of Measure Theory.] / V.I. Bogachev. – Moskva-Ijevsk: NITs Regulyarnaya i haotitcheskaya dinamika [Moscow-Izhevsk: Scientific and Publishing Center Regular and chaotic dynamics], 2006. – V. 1. – P. 584. [in Russian]
  4. Krasiy N.P. Optimizatsiya kvazilineynyh modelej s nezavisimimi prioritetami. [Optimization of quasi-linear models with independent priorities] // Sovremennye metody i problemi teorii operatorov i garmonicheskogo analiza i ih prilozheniya [Modern methods and problems of operator theory and harmonic analysis and their applications] – VI, Rostov-on-Don, 24-29 April 2016, P. 134-135. [in Russian]
  5. Krasiy N.P. O nekotoryh osobyh slutchayah optimizatsiyi kvazilineynyh modelej s nezavisimimi prioritetami. [On some special cases of the optimization of quasi-linear models with independent priorities] // Mejdunarodnay konferentsiya “ XXVI Krymskaya osennyaya matenatitcheskaya shkola-simpozium po spektralnym i evoluzionnym zadatcham” [International Conference “KROMSH-XXVI”. Abstracts.] – 2016. – P. 110. [in Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.