О ТЕНЗОРНОМ РАСШИРЕНИИ ОДНОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ

Берзин Д.В.

Кандидат физико-математических наук, доцент Финансового университета при Правительстве Российской Федерации, Москва

О ТЕНЗОРНОМ РАСШИРЕНИИ ОДНОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ

Аннотация

Операция тензорного расширения занимает важное место в теории гамильтоновых систем. В статье рассмотрены соответствующие перестройки (бифуркации) на примере тензорного расширения классической задачи Эйлера о движении твердого тела.

Ключевые слова: Гамильтоновы системы, задача Эйлера, тензорные расширения, бифуркации.

Berzin D.V.

PhD in Physics and Mathematics, associate professor, Financial University under the government of Russian Federation

ABOUT TENSOR EXTENTION OF A CLASSIC HAMILTONIAN SYSTEM

Abstract

Tensor extension takes an important part in Hamiltonian systems. We consider bifurcations in tensor extension of classical Euler problem.

Keywords: Hamiltonian systems, Euler problem, tensor extensions, bifurcations.

Как было отмечено в [1] и [2], в теории интегрируемых гамильтоновых систем важным является метод тензорного расширения алгебр Ли, который впервые был предложен В.В.Трофимовым [3], а затем развит А.В.Браиловым [4]. Этот метод, в частности, дает весьма эффективный способ построения инволютивных семейств функций на орбитах коприсоединенного представления групп Ли. Особое место здесь занимает тензорное расширение алгебр Ли посредством фактор-кольца . Имеется алгоритм, принадлежащий С.Ж.Такиффу [5] и В.В.Трофимову [3], позволяющий из интегралов и инвариантов для исходной алгебры Ли получить соответствующие интегралы и инварианты для расширенной алгебры. В частности, с помощью этого алгоритма можно из классических и известных систем получать интегрируемые системы с перестройками некомпактных инвариантных подмногообразий.

Известно, что движение трехмерного твердого тела вокруг точки, закрепленной в центре масс, можно описать уравнениями Эйлера для алгебры Ли  группы движений трехмерного евклидового пространства. Такие системы гамильтоновы на четырехмерных орбитах коприсоединенного представления (диффеоморфных касательному расслоению двумерной сферы) и для полной интегрируемости по Лиувиллю кроме гамильтониана H указывается еще один (дополнительный) интеграл K.

В результате тензорного расширения получаем 12-мерную алгебру Ли . Имеем отображение момента  – орбита общего положения коприсоединенного представления для тензорного расширения, , где  – инволютивный относительно скобки Пуассона-Ли набор, получаемый из  при тензорном расширении [5]. Доказывается, что орбита  общего положения диффеоморфна  – двумерная сфера.

Рассмотрим перестройки типа "центр" (обозначим через "A") и "седло" (обозначим через "B"). В канонических координатах  в окрестности начала координат двумерной плоскости они задаются отображениями [7]:

(1)  (центр)

(2)  (седло)

Теорема 1. В результате операции тензорного расширения особенности "центр" и "седло", заданные в локальных канонических координатах  выражениями (1) и (2), перейдут во особенности, определяемые (3) и (4) соответственно:

(3) ,

(4)  .

При этом отображения момента заданы в окрестности точки  в четырехмерном симплектическом пространстве . Особенности нулевого ранга (3) и (4) – вырожденные и относятся к типам 14a и 14b соответственно (см. таблицу в конце [8]).

Анализируя отображения момента (3) и (4), мы приходим к следующей теореме.

Теорема 2. Из перестроек A и B при тензорном расширении возникают перестройки T(A), R(A), T(B), R(B) соответственно, которые можно представить так:

Литература

1. Берзин Д.В. Особенности "центр" и "седло" в тензорных расширениях некоторых гамильтоновых систем – Международный научно-исследовательский журнал, №2 (9), 2013, с. 4
2. Берзин Д.В. Перестройки "центр" и "седло" в тензорном расширении задачи Эйлера – Международный научно-исследовательский журнал, №3 (10), 2013, с. 19
3. Трофимов В.В. Расширения алгебр Ли и гамильтоновы системы – Изв. АН СССР, серия матем., 1983, т.47, № 6, с. 1303-1321
4. Браилов А.В. Инволютивные наборы на алгебрах Ли и расширения кольца скаляров / Вестник МГУ, Сер.1 Математика, механика / 1983, №1, с. 47-51
5. Takiff S.J. Rings of invariant polynomials for a class of Lie algebras. –Trans. Amer. Math. Soc., 1971, V.160, p.249-262
6. Берзин Д.В. Инварианты коприсоединенного представления для алгебр Ли некоторого специального вида – Успехи мат. наук, 1996, т.51, №1, с.141
7. Eliasson L. Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals. Elliptic case – Comment.Math.Helvetici, №65, 1990, p.4-35
8. Lerman L.M., Umanskii Ya.L. Structure of the Poisson action of on a four-dimensional symplectic manifold – Selecta Mathematica Sovietica, 1987, v.6, №4, p.365-396.