Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.78.12.004

Скачать PDF ( ) Страницы: 26-30 Выпуск: №12 (78) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Омельян О. М. О МЕТРИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТИ ЛЕВИ-ЧИВИТА НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ / О. М. Омельян // Международный научно-исследовательский журнал. — 2019. — №12 (78) Часть 1. — С. 26—30. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/o-metricheskoj-svyaznosti-levi-chivita-na-raspredelenie-ploskostej/ (дата обращения: 25.03.2019. ). doi: 10.23670/IRJ.2018.78.12.004
Омельян О. М. О МЕТРИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТИ ЛЕВИ-ЧИВИТА НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ / О. М. Омельян // Международный научно-исследовательский журнал. — 2019. — №12 (78) Часть 1. — С. 26—30. doi: 10.23670/IRJ.2018.78.12.004

Импортировать


О МЕТРИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТИ ЛЕВИ-ЧИВИТА НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

О МЕТРИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТИ ЛЕВИ-ЧИВИТА НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Научная статья

Омельян О.М.*
ORCID 0000-0003-4359-1376,
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград, Россия

* Корреспондирующий автор (olga_omelyan2002[at]mail.ru)

Аннотация
В n-мерном проективном пространстве исследуется распределение m-мерных плоскостей с заданным метрическим тензором. Рассматривается  объект касательной связности  и показывается, что аффинная распределенная связность может являться обобщенной связностью Леви-Чивита в случае голономного распределения и в случае полунормализованного 1-го рода распределения с соответствующей адаптацией репера. Доказывается, что подобъект касательной распределенной связности  также может быть охвачен полем метрического тензора, но лишь в адаптированном репере.

Ключевые слова: распределение, репер, проективное пространство, метрический тензор, объект связности, обобщенная связность Леви-Чивита, охват.

ON LEVY-CHIVITA METRIC CONNECTIVITY ON DISTRIBUTION OF PLANES

Research аrticle

Omelyan O.M.*
ORCID 0000-0003-4359-1376,
Kant Baltic Federal University, Kaliningrad, Russia

* Corresponding author (olga_omelyan2002[at]mail.ru)

Abstract

In n-dimensional projective space, the distribution of m-dimensional planes with a given metric tensor is investigated in the paper. The object of tangent connection is considered, and it is shown that the affine distributed connection can be generalized with a Levi-Civita connection in the case of a holonomic distribution and in the case of a semi-normalized distribution of the 1st kind with the corresponding adaptation of the frame. It is proved that the subobject of the tangent distributed connection can also be covered by the field of the metric tensor, but only in the adapter frame.

Keywords: distribution, frame, projective space, metric tensor, connected object, generalized Levi-Civita connection, coverage.

В проективном пространстве Pрассмотрим распределение 05-03-2019 12-58-18  m-мерных плоскостей P с заданным метрическим тензором g. На распределении плоскостей рассмотрим касательную распределенную связность с объектом 05-03-2019 13-03-05 компоненты которого удовлетворяют сравнениям [1, C.179] по модулю базисных форм {wi, wa}. Эта связность содержит аффинную связность с подобъектом 05-03-2019 13-22-43 ,  обобщающую классическую аффинную связность без кручения на поверхности. Возникает вопрос: может ли касательная распределенная связность быть связностью Леви-Чивита, то есть существует ли охват компонент объекта касательной связности с помощью метрического тензора g и его пфаффовых производных? Следует отметить, что компоненты gij дважды ковариантного тензора g удовлетворяют условиям
06-03-2019 12-54-27

Продолжая уравнения (1), получим сравнения для пфаффовых  производных компонент метрического тензора g по модулю базисных форм w1

06-03-2019 12-56-47

Пусть компоненты объекта аффинной связности симметричны, то есть кручение 06-03-2019 13-02-31В этом случае из сравнений [1, C. 180] для компонент объекта аффинной связности естественно предположить, что трехиндексные формы 06-03-2019 13-05-43симметричны по нижним индексам, то есть 06-03-2019 13-06-27 а значит распределение является голономным, либо 06-03-2019 13-07-55Проциклируем  сравнения (21) для пфаффовых производных gijkпо индексам  i, j, k.

06-03-2019 13-10-27

В систему (3) подставим  выражения  трехиндексных форм из  [1]  и, учитывая симметрию метрического тензора, вычтем последнее сравнение из суммы двух первых

06-03-2019 13-12-37

Будем рассматривать голономное распределение 06-03-2019 13-15-19. С учетом симметрии компонент аффинной распределенной связности по нижним индексам 06-03-2019 13-17-04 получаем, что (4) преобразуется к виду:

06-03-2019 13-17-55
Меняя индексы соответствующим  образом и  учитывая, что у метрического тензора gij существует обратный тензор gij, связанный с ним следующим соотношением, получаем              06-03-2019 13-20-19

 

Замечание 1
При выводе формулы (5) мы использовали условие симметрии форм 06-03-2019 13-21-39а не условие голономности распределения 06-03-2019 13-06-27из которого автоматически вытекает симметрия форм  06-03-2019 13-21-39. Следовательно, формула (5) справедлива лишь при условии, что формы 06-03-2019 13-21-39 симметричны по нижним индексам.
Формулу (5) также можно получить при адаптации репера нормализации 1-го рода неголономного распределения05-03-2019 12-58-18. Для этого запишем деривационную формулу репера для точек  06-03-2019 13-27-59 в виде:
06-03-2019 13-30-02Произведем оснащение распределения 05-03-2019 12-58-18к каждой точке  A присоединим плоскость дополнительной  размерности Pn-m. Тогда из уравнений (6) видно, что если 06-03-2019 13-07-55, то:
06-03-2019 13-38-32то есть сравнения 06-03-2019 13-07-55 являются условиями относительной инвариантности плоскости Pn-m = [A, Aa]. Выражения для трехиндексных форм в репере, адаптированном нормализации 1-го рода, принимают вид:
06-03-2019 13-42-00

 

Тогда обращаясь к системе (3) и используя равенство 06-03-2019 13-43-26вытекающее и  выражений (7) для трехиндексных форм, можно получить очевидное сравнение
06-03-2019 13-44-23

Подставляя в эти сравнения выражения для трехиндексных форм из [1], получаем равенство (4), откуда следует формула (5).
Теорема 1
Аффинная связность с подобъектом 06-03-2019 13-45-24компоненты которого определяются по формуле (5), является обобщенной связностью Леви-Чивита на голономном распределении 06-03-2019 13-15-19и на полунормализованном 1-го рода неголономном распределении 06-03-2019 13-47-05.
Замечание 2
Объект 05-03-2019 13-22-43 с помощью метрического тензора g и его пфаффовых производных по формуле (5), совпадающей с формулой, определяющей связность Леви-Чивита на поверхности.

Предположим, что компоненты объекта линейной подсвязности несимметричны, то есть кручение 06-03-2019 13-50-26Так как любую двухиндексную величину можно представить в виде суммы симметричной и антисимметричной частей, то
06-03-2019 13-51-14

Подставляя равенства (8) в (4), получим
06-03-2019 13-52-50

Используя формулу (8), имеем
06-03-2019 13-52-57

Теорема 2
На неголономном распределении 05-03-2019 12-58-18аффинная связность с подобъектом 06-03-2019 13-54-48 компоненты которого определяются формулой (9), порождается полем метрического тензора g и объектом кручения S.
Замечание 3
Из формулы (9) следует формула (5) при условии, что S=0.
Обратимся теперь к подобъекту 06-03-2019 13-58-09касательной распределенной связности. В адаптированном нормализации 1-го рода репере, уравнения [1, C. 179] упрощаются
07-03-2019 10-21-18Сравнения (32) для пфаффовых производных gija метрического тензора принимают вид:
07-03-2019 10-21-27

Свернем сравнение (10) с тензором 07-03-2019 10-21-40в результате получим
07-03-2019 10-21-46Так как
07-03-2019 10-21-51то
07-03-2019 10-21-56Следовательно, можно положить 07-03-2019 10-22-03. Введем обозначение 07-03-2019 10-22-11 тогда с учетом 07-03-2019 10-22-19  то есть.
07-03-2019 10-22-27

Теорема 3
На полунормализованном 1-го рода распределении 07-03-2019 10-33-46 в адаптированном репере существует порожденная полем метрического тензора касательная распределенная подсвязность с подобъектом 07-03-2019 10-33-52 компоненты которого определяются по формуле (11).
Установим принципиальное различие понятий обобщенной связности Леви-Чивита ­и индуцированной связности. При исследовании распределения плоскостей обнаружилось 2 способа определения  касательной  распределенной  связности с объектом 07-03-2019 10-34-03.
 1. индуцирование связности оснащающим квазитензором λ [2, C. 64];
2.порождение связности метрическим тензором g.
Возникает очевидный вопрос: существует ли связь между этими двумя способами определения связности? Запишем выражения объекта касательной распределенной связности Г с помощью оснащающего квазитензора λ
07-03-2019 11-30-24
причем сравнения для компонент оснащающего квазитензора λ имеют вид [2, C. 64].  Для того чтобы найти зависимость между g и λ, мы в соответствии с условиями пунктов 3–5, рассмотренных выше, приравняем  правые части  выражений  охватов для объекта связности Г. Во-первых,  приравняем (12) и (5)
07-03-2019 11-42-25

Свернем выражения (13) по индексам i и j
07-03-2019 11-44-05

Теорема 4
Если индуцированная аффинная связность 1-го типа 07-03-2019 11-44-50 совпадает с обобщенной  связностью Леви-Чивита   07-03-2019 11-44-55 голономного распределения  07-03-2019 11-45-01 и полунормализованного 1-го рода распределения 07-03-2019 11-45-05 то оснащающий подквазитензор 07-03-2019 11-45-12 является функцией (14), то есть нормализация 1-го рода распределений 07-03-2019 11-45-01 и 07-03-2019 11-45-05 порождает нормализацию 2-го рода.

Во-вторых, приравняем (12) и (9)07-03-2019 11-45-26

Сворачивая выражения (15) по индексам i и j, получаем
07-03-2019 11-45-45

Теорема 5
Если индуцированная аффинная связность 1-го типа 07-03-2019 11-44-50 совпадает со связностью07-03-2019 11-55-55порождаемой полем метрического тензора и объектом кручения неголономного распределения 05-03-2019 12-58-18то оснащающий подквазитензор λk является функцией (16), то есть нормализация 1-го рода и объект кручения распределения 07-03-2019 10-33-46 порождают нормализацию 2-го рода.
И наконец, приравняем (12) и (11), получим
07-03-2019 11-59-45

Свернем (17) по i и j
07-03-2019 12-00-51
Теорема 6
Если индуцированная касательная подсвязность 1-го типа 07-03-2019 11-44-50 совпадает с обобщенной связностью Леви-Чивита07-03-2019 12-02-56 полунормализованного распределения 07-03-2019 10-33-46, то оснащающий подквазитензор λa является функцией (18), то есть метрика распределения 07-03-2019 11-45-05 порождает оснащение Картана, подчиненное нормализации 1-го рода.
Вывод
Итак, в общем случае формулы (14, 16, 18) не имеют места, поэтому определение касательной  распределенной  связности с объектом 07-03-2019 10-34-03 на распределении NSn с помощью оснащающего квазитензора λ, либо с помощью метрического тензора g есть два разных способа задания связности. В первом случае говорят об индуцированной связности 1-го типа, а во втором случае будем говорить об обобщенной связности Леви-Чивита.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы/ References

  1. Омельян О. М. Об объекте кривизны групповой связности на распределении плоскостей / О. М. Омельян // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. –Казань, 2002. –Т. 18. – С. 69.
  2. Омельян О. М. Понятие связности Леви-Чивиты, обобщенное на распределение плоскостей / О. М. Омельян  // Тр. мат центра им. Н.И. Лобачевского. – Казань, 2003. –Т. 21. – С. 179 – 180.
  3. Омельян О. М. Четыре индуцированных связности на распределении плоскостей / О. М. Омельян // Тр. межд. конф. по геометрии и анализу. – Пенза, 2003. – С. 63 – 69.
  4. Омельян О. М. Обобщение связности Леви-Чивита на распределение плоскостей / О. М. Омельян // Диф. геом. многообр. фигур. –Калининград, 2004. –№ 35. –С. 105 – 113.
  5. Омельян О. М. Теоретико-категорный подход, естественно расширяющий фундаментальное понятие связности, и его приложение к геометрии дифференциальных систем / О. М. Омельян, Л. Е. Евтушик // Фундаментальная и прикладная математика. – Москва, 2010. – Т. 16.– Вып.1. – С. 55 – 63.
  6. Омельян О. М. О совпадении групповых связностей, индуцированных внутренним композиционным оснащением распределения / О. М. Омельян // Матем. заметки. – Москва, 2017. Т. 102:6. – С. 896–907.
  7. Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану и др. // Пробл. геом. / ВИНИТИ. ¾ М., 1979. ¾ Т. 9. ¾ С. 5 – 247.
  8. Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов / Г. Ф. Лаптев // Пробл. геом. / ВИНИТИ. – М., 1971. – Т. 3. – С. 29 – 48.
  9. Лаптев Г. Ф. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Тр. геом. семин./ ВИНИТИ. ¾М., 1971. ¾ Т. 3. ¾ С. 49 – 94.
  10. Остиану Н. М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II / Н. М Остиану // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. – М., 1971. –Т. 3. – С. 95 – 114.

 

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.