ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНОГО ТЕРМОНАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЕ ЗАЩЕМЛЕННОГО ДВУМЯ КОНЦАМИ СТЕРЖНЯ ПРИ НАЛИЧИИ РАЗНЫХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНОГО ТЕРМОНАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЕ ЗАЩЕМЛЕННОГО ДВУМЯ КОНЦАМИ СТЕРЖНЯ ПРИ НАЛИЧИИ РАЗНЫХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА

Научная статья

Кенжегулов Б.З.¹, Гапуова Т.Б.^2, *, Мураткалиева А.Н.³, Рахметов М.Е.⁴

^{1, 2, 3, 4} Атырауский государственный университет,.Атырау, Казахстан

* Корреспондирующий автор (tikosh.96[at]mail.ru)

Аннотация

На основе энергетических принципов ориентированный на минимизации полной тепловой энергии упругих деформации в сочетании применении квадратичного конечного элемента с тремя узлами разработан вичислительный алгоритм и численно исследована термо-напряженно-деформированное состояние защемленного двумя концами стержня, постоянного поперечного сечения в зависимости наличия частичной теплоизоляции, теплового потока и теплообменов.

Ключевые слова: тепловая энергия, теплоизоляция, теплообмен, тепловой поток.

NUMERICAL MODELING OF ONE-DIMENSIONAL THERMALLY STRESSED STATE OF A ROD FIXED AT TWO ENDS WITH DIFFERENT HEAT SOURCES

Research article

Kenzhegulov B.Z.¹, Gapuova T.B.^2, *, Muratkaliev A.N.³, Rakhmetov M.E.⁴

^{1, 2, 3, 4} Atyrau State University, Atyrau, Kazakhstan

* Corresponding author (tikosh.96[at]mail.ru)

Abstract

The computational algorithm is developed and the thermo-stress-strain state of a rod fixed at two ends with a constant cross section depending on the presence of partial thermal insulation, heat flux and heat exchanges is numerically investigated, based on energy principles, focused on minimization of total thermal energy of elastic deformations combined with the use of a quadratic finite element with three nodes.

Keywords: temperature, heat energy, heat flow, gradient, heat transfer. 

При частично-теплоизолированном защемленным двумя концами, при наличии разных источников тепла, для нахождения поля распределения температуры по длине стержня, его дискретизируем на n равные конечные элементы. Здесь каждый конечный элемент является квадратичным элементом с тремя узлами, поэтому число узолвых точек стержня будет (2n+1). Здесь учитывая, что стержень частично-теплоизолирован и влияют разные источники тепла, напишем для каждого конечного элемента функционал , выражающий тепловую энергию [1], [2]. В результате, суммируя эти функционалы для исследуемого стержня, построим общий функционал , выражающий тепловую энергию. Минимизируя эти функционалы по незаданным значениям температуры в узолвых точках, построим систему линейных алгебраических уравнеий, то есть

  (1)

Решая эту систему уравнеий, находим поле распределения температуры  по длине стержня. После этого данный стержень делим на  равные части. Каждый конечный элемент является квадратичным элементом с тремя узлами. В его пределах изменение перемещения выражается следующим образом.

   (2)

где  - перемещение узловых точек квадратичного конечного элемента. В пределах любого элемента стержня изменение упрогого компонента деформаций выражается следующим образом

   (3)

А также изменение упругого компонента напряжения в пределах конечного элемента будет следующим

   (4) А изменение напряжений в пределах конечного элемента, которое появляется засчет поля температуры будет таким    (5)

Тогда в примере одного конечного элемента вид функционала выражающего потенциальную энергию i-го элемента будет следующим

   (6)

Здесь значения температуры определены в точках (2n+1), которые размещены равномерно по длине стержня. А для нахождения перемещения, деформаций и напряжения из-за разделения стержня на  части, число узловых точек будет [1]. Для нахождения деформаций и напряжения участка ограниченного точками  и , нужно значение температуры в точке  участка . Суммируя функционалы потенциальной энергий, которые написаны для всех n/2 конечных элементов стержня, построим функционал, выражающий потенциальную энергию для стержня в целом, то есть

    (7)

Минимизируя эти эти функционалы по незаданным значениям перемещения в узловых точках, построим систему линейных алгебраических уравнений

   (8)

Решая эту систему уравнений, находим  т.е. значения перемещения в узловых точках.

Из-за того, что оба конца стержня жестко защемлены [9] . В результате значение деформаций между любыми двумя рядом стоящих точек будет

Тогда значение упрогого напряжение будет . Соответственно к этой точке значение температурного напряжение, возникшего под влиянием поля температуры будет следующим [7]:

Тогда полное напряжение в этой точке имеет следуюшеее значение

   (9)

Рассмотрим на задаче [1]: пусть длина стержня будет  площадь поперечного сечения в виде круга равна   и постоянна по длине. Оба конца стержня жестко защемлены. Модуль упругости материала стержня ), значение коэффицента теплопроводности ), коэффициент теплового расширения значение коэффицента теплообмена через площадь поперечного сечения левого конца, координаты которого, а левого конца  будет . Температуры окружающей среды равна  .

Пусть задана температура точек на участке . Боковая поверхность остального участка стержня теплоизолированы. Для определения поля распределения температуры по длине стержня дискретизируем на части. Тогда число узолвых точек .

Поле распределения температуры по длине стержня приведено на рисунке 1.

Рис. 1 – поле распеределения температуры по длине стержня

 

Минимальное значения темперауры в точке . Для определения поле перемещений этих точек по длине стержня данный стержень дискретизируем на  части. Каждую часть рассмотрим как квадратичный конечный элемент с тремя узлами [5]. Тогда в стержне будет 801 узловых точек по формуле . Закон распределения перемещений этих узловых точек приведено на рисунке 2 (см.рисунок 2)

 

Рис. 2 — Закон распределений узловых точек по длине стержня 

 

Поле распределение перемещения по длине стержня будет в виде кривой параболического типа. Перемещения соответствующих точек  равны нулю, потому что стержень жестко защемлены обоими концами. Остальные точки перемещаются в правую сторону по оси ОХ. Самое большое перемещение будет в точке  и оно равно . Эта величина равна при  длины стержня. А поле распределения деформаций на участке  значение упругого компонента деформаций будет постоянным  и имеют расстягивающий характер (см. рисунок 3).

Рис. 3 — Поле распределения  по длине стержня

 

А по увелечении оси Ox значение  будет равноммерно уменьшаться. В окрестности точки  его значение будет ноль и после этого он имеет расстягивающий характер. При приближений точки , максимальное значение сжимающего упругого компонента деформаций будет .

Рис. 4 – Поле распределения  по длине стержня

 

На рисунке 4 (см. рисунок 4) приведены поле распределения температурного напряжений и термоупругого напряжений. Здесь на участке  значение упругого напряжений равняется  и имеют расстягивающий характер[6]. А по увелечению оси ОХ значение  будет равномерно уменьшается в окрестности точки .

А значение температурного напряжений на этом участке  стержня будет постоянным, имеет сжимающий характер и равняется .

Любое значение термоупрогого напряжения по длине стержня будет постоянным, и в нашем примере равняется  .

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

 

Список литературы / References

1. Кенжегулов Б.З. «Численное моделирование многомерных температурных и одномерных нелинейных термомеханических процессов в жаропрочных сплавах» Монография / Кенжегулов Б.З. ISBN 9965-640-98-Х. Издательство «АтГУ им.Х.Досмухамедова», 2013г.– 326с.
2. Кудайкулов А. Математическое (конечно-элементное) моделирование прикладных задач распространения тепла в одномерных констукционных элементах / Кудайкулов А. – Туркестан, 2009 г.– 168с.
3. Химушин Ф.Ф. Жаропрочные стали и сплавы. 2-ое переработанное и дополнительное издания / Химушин Ф.Ф. М.: Металлургия, 1969г.-749с.
4. Ноздрев В.Ф. Курс термодинамики / Ноздрев В.Ф. Из-во Мир, М.: 1967г.-247с.
5. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Сегерлинд Л. Из-во Мир, М.:1979г-392с.
6. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов / Писаренко Г.С. "Вища Школа", Киев, 1973г.-672с.
7. Тимошенко С.П. Теория упругости / Тимошенко С.П., Гудьяр Дж.Н. Из-во Мир, «Наука», М.: 1975г.-575с.
8. Бергер И.А. Прочность. Устойтивость. Колебания. Том-1 / Бергер И.А., Пановко Я.Г. М.: Машиностроение, 1698г.-56с.
9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальное уравнения и вариационное исчисление / Эльсгольц Л.Э. Из-во Наука, М.: 1969г.-424с.
10. Кенжегулов Б.З. Математическое моделирование исследования термонапряженного в состояния стержня из жаропрочного сплава / Кенжегулов Б.З., Ж.Д.Мухтаргалиева, Т.Б.Гапуова // Атырауский государственный университет им. Х.Досмухамедова, г. Атырау, Республика Казахстан, Вестник №3(50) 21.11.2018 стр.116

Список литературы на английском языке / References in English

1. Kenzhegulov B.Z. Chislennoye modelirovaniye mnogomernykh temperaturnykh i odnomernykh nelineynykh termomekhanicheskikh protsessov v zharoprochnykh splavakh [Numerical modeling of multidimensional temperature and one-dimensional nonlinear thermomechanical processes in heat-resistant alloys. Monograph.] / Kenzhegulov B.Z. ISBN 9965-640-98-X. Publishing house “AtSU named after H. Dosmukhamedov, 2013 – 326 p. [in Russian]
2. Kudaikulov A. Matematicheskoye (konechno-elementnoye) modelirovaniye prikladnykh zadach rasprostraneniya tepla v odnomernykh konstuktsionnykh elementakh [Mathematical (finite-element) modeling of applied problems of heat distribution in one-dimensional structural elements] / Kudaikulov A. – Turkestan, 2009 – 168 p. [in Russian]
3. Himushin F.F. Zharoprochnyye stali i splavy. 2-oye pererabotannoye i dopolnitel'noye izdaniya [Heat resistant steels and alloys. 2^nd edition] / Himushin F.F. M.: Metallurgy, 1969. – 749 p. [in Russian]
4. Nozdrev V.F. Kurs termodinamiki [Course of thermodynamics] / Nozdrev V.F. Mir. Moscow: 1967 – 247 p. [in Russian]
5. Segerlind L. Primeneniye metoda konechnykh elementov [Application of finite element method] / Segerlind L. M.: Mir. – 1979 – 392 p. [in Russian]
6. Pisarenko G.S. Soprotivleniye materialov [Resistance of materials] / Pisarenko G.S. "Vishcha Shkola", Kiev, 1973. – 672 p. [in Russian]
7. Timoshenko S.P. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity] / Timoshenko S.P., Goodyar J.N. M.: Mir., "Nauka", M.: 1975. – 575 p. [in Russian]
8. Berger I.A. Prochnost'. Ustoytivost'. Kolebaniya [Strength. Sustainability. Fluctuations. Vol. 1] / Berger I.A., Panko Ya.G. M.: Mechanical Engineering, 1698. – 56 p. [in Russian]
9. Elsgolts L.E. Differentsial'noye uravneniya i variatsionnoye ischisleniye [Differential equations and calculus of variations] / Elsgolts L.E. Nauka, Moscow: 1969 – 424 p. [in Russian]
10. Kenzhegulov B.Z. Matematicheskoye modelirovaniye issledovaniya termonapryazhennogo v sostoyaniya sterzhnya iz zharoprochnogo splava [Mathematical modeling of study of thermally stressed state of rod of heat-resistant alloy] / Kenzhegulov B.Z. , Zh.D. Mukhtargalieva, T.B. Gapuova // Atyrau State University. H. Dosmukhamedova, Atyrau, Republic of Kazakhstan, Bulletin No. 3 (50) 11/21/2018 – P.116 [in Russian]