THE OPERATOR ANALOGUE OF INEQUALITY OF CAUCHY-BUNYAKOVSKIY

Research article
Issue: № 7 (26), 2014
Published:
2014/08/08
PDF

Abstract

The article describes the determination of the left and right of the absolute values of the operator and their properties. The operator analogue of the inequality of Cauchy – Bunyakovski is obtained.

Рузимбой М.М.1, Садокат Б.А.2, Абдикаримов Ф.Б.3, Юсупов Б.Б.4

1Кандидатов наук, заведующие кафедрой теории функции, Ургенчского Государственного университета; 2преподаватель кафедры теории функции, Ургенчского Государственного университета; 3магистр, Физико-математический факультет, Ургенчского Государственного университета; 4студент, Физико-математический факультет, Ургенчского Государственного университета

ОПЕРАТОР АНАЛОГА НЕРАВЕНСТВА КОШИ — БУНЯКОВСИЙ

Аннотация

В статье рассмотрены определения левых и правых абсолютных значений оператора и их свойства. Получен операторный аналог  неравенства Коши — Буняковского.

Ключевые слова: неравенство оператор, левое и правое абсолютное значение, аналог, неравенство Коши — Буняковского, лемма.

Ruzimboy M.M.1, Sadoqat B.A.2, Abdikarimov F.B.3, Yusupov B.B.4

1PhDs , chairs of department of theory of functions, Urgench State university; 2Assistant-teacher, department of theory of functions, Urgench State university; 3Master, Physical and mathematical faculty, Urgench State university; 4Student, Physical and mathematical faculty, Urgench State university,

THE OPERATOR ANALOGUE OF INEQUALITY OF CAUCHY-BUNYAKOVSKIY

Abstract

The article describes the determination of the left and right of the absolute values of the operator and their properties. The operator analogue of the inequality of  Cauchy – Bunyakovski is obtained.

Keywords: inequality the operator, the left and right absolute value, analogue, inequality of Cauchy — Bunyakovsky, lemma.

Определение 1 (см. [7]).

Пусть H – Гильбертово пространство. Оператор 06-04-2020 11-57-57 называется положительным, если 06-04-2020 11-58-06 для всех 06-04-2020 11-58-14. Мы пишем 06-04-2020 11-58-22, если A положителен, и 06-04-2020 11-58-46.

Теорема(см. [7]).

Пусть 06-04-2020 12-02-53. Тогда существует единственный оператор 06-04-2020 12-03-02. Боле того, B коммутирует с любым ограниченным оператором, коммутирующим с A.

Определение 2.

Пусть 06-04-2020 12-09-11 . Тогда 06-04-2020 12-09-23- правый  (06-04-2020 12-09-34- левый) называется правая (левая) абсолютная значения оператора A.

Правая абсолютная значения оператор имеют следующая свойства:

1) 06-04-2020 12-24-12

2) 06-04-2020 12-24-27

В общем случае не верны

06-04-2020 12-24-53

Для неравенство  треугольники приведем пример Э.Нельсона. Пусть

06-04-2020 12-25-30

Не верны.

Пусть 06-04-2020 12-25-42. Очевидно, что для свойства абсолютная значения оператора верны для левая абсолютная значения оператора.

Для каких пространств верны неравенство (1) и равенство (2). Нетрудно доказывается следующая теорема.

Теорема 2.

Для пространств действительных чисел, комплексных чисел, квартернион, октанион и  диагональных операторов справедливо неравенство (1) и равенство (2).

Операторный аналоги неравенство Коши Буняковский когда обобщение неравенство (2).

Теорема 3.

Для 06-04-2020 12-30-17  и верны следующие неравенство:

06-04-2020 12-30-26

(Очевидно, это неравенство верно левый абсолютная значения оператора).

Для доказательства теоремы 3 мы используем следующему лемму.

Лемма:

Для 06-04-2020 12-30-43 верный следующие неравенство:

06-04-2020 12-30-53

Доказательство.

Пусть 06-04-2020 12-31-07 тогда легко доказать, что

06-04-2020 12-31-15   (3)

Из неравенства (3) находим, что,

06-04-2020 12-40-53

Лемма доказана.

Доказательство теоремой 3.

 Рассмотрим  следующие случае:

1-случай. Для 06-04-2020 12-41-10. Тогда очевидно будить  равенства.

2-случай. Для  06-04-2020 12-41-10. Для  06-04-2020 12-41-30

операторы выполняет условие леммы.

Тогда выполняет следующие неравенства:

06-04-2020 12-45-15

Значит 06-04-2020 12-45-27 Отсюда следуют неравенства: 06-04-2020 12-45-41 3-случай. Для  06-04-2020 12-45-52. тогда,  для 06-04-2020 12-46-20 выполняет следующие неравенства: 06-04-2020 12-46-35 Значит, 06-04-2020 12-53-10 Таким оброзом, 06-04-2020 12-53-21 теорема доказана.

Литература

  1. Ф.Р.Гантмахер. «Теория матриц». часть I, II .Москва. “Наука”1988.
  2. Р.М.Мадрахимов, Ф.К.Атаев. «Коши-Буняковский тенгсизлигининг матрицавий аналоги» .Хоразм Маъмун академияси aхборотномаси.2008, № 3/4(8).9-11.
  3. Г.Г.Харди, Дж.Е.Литтльвуд и Г. Полиа. Неравенства. Москва Государственное издательство иностранной литературы. 1948 г.
  4. Bellman, A. Hoffman, A note on an inequality of Ostrowski and Taussky, Arkiv. Math., 5 (1954), 123-127.
  5. F.Beckenbach, An inequality for definite hermitian determinants, Bull. Am. Math. Soc., 35 (1929), 325-329/
  6. Hadamard, The psychology of invention in the mathematical field, Princeton, N.J., Princeton University Press, 1949.
  7. М. Рид, Б. Саймон. Функциональный анализ.  1-часть  Издательство  «Мир» Москва 1977.