A GAME-THEORETIC MODEL OF DECISION-MAKING IN RISK ENVIRONMENTS (ON THE EXAMPLE OF GAMES IN ECONOMICS)

Принятие управленческих решений в условиях риска – одна из наиболее актуальных задач. Этот процесс основывается на том, что для каждой ситуации развития событий задана вероятность. Появляется возможность проанализировать и выбрать ситуацию с наименьшим уровнем риска, что, в свою очередь, позволяет свести к минимуму возможные негативные последствия.

Комбинирование статических и антагонистических игр совместно с теорией вероятностей, теорией случайных процессов, математической статистикой и другими разделами математики позволяет успешно решать задачи принятия управленческих решений высокой сложности.

Этой теме было посвящено достаточное количество работ как зарубежными, так и отечественными исследователями.

Основополагающим является исследование

В монографии

Рассматривается деятельность производственного предприятия, часть доходов которого идет на покупку активов двух видов, для каждого из них известны ожидаемые прибыли. Необходимо найти план выпуска продукции, прибыль предприятия должна быть максимальной за один период времени, а также найти структуру портфеля, обладающего наименьшим уровнем экономического риска. Реальные данные были получены, согласно отчетам производственного предприятия по деревообработке, осуществляющего деятельность на территории Ленинградской области.

Технологический процесс производства предусматривает производство трех видов продукции (обработка трех видов древесины). Для этого необходимо за один период времени (одна рабочая смена) 30 ед. рабочей силы. Выпуски продукции ограничиваются 10, 12 и 15 условными единицами (тоннами) продукции. Прибыль от выпущенной продукции представляет собой следующие функции:

40% от полученной прибыли уходит на покупку активов двух видов, ожидаемые нормы прибыли составляют

Для решения поставленной задачи необходимо рассмотреть некоторые базовые теоретические выводы, описанные в работах

Формализация процесса вложения прибыли будет осуществляться с помощью модели Марковица. Ожидаемая норма прибыли и уровень экономического риска определяются выражениями:

где

В модели Марковица структура портфеля задается вектором удельного веса каждого актива:

Таким образом, в общем виде необходимо решить двухкритериальную задачу, в которой минимизируется риск, и прибыль становится максимальной:

Для случая двух активов:

Двухкритериальная задача поиска оптимального портфеля, состоящего из двух активов, описывается следующим образом:

где

Для случая

где

Для портфеля с двумя активами диверсификация оптимизирует уровень экономических рисков только тогда, когда коэффициент парной корреляции норм прибыли активов удовлетворяет условию:

При выполнении условия

(10)

Описанная выше постановка является задачей квадратичного программирования. Перед тем как перейти к решению, необходимо обосновать возможность и корректность решения с помощью антагонистической игры. Данный метод был представлен в работе

- в задаче существует лишь одно линейное ограничение;

- выполняется условие неотрицательности всех коэффициентов.

Рассматривается задача квадратичного программирования следующего вида:

где

Для решения задачи такого вида вводятся вспомогательные переменные и коэффициенты:

Для введенных обозначений

где

Решение задачи будет реализовано с помощью функции Лагранжа, в которой

Далее будет показана связь задачи квадратичного программирования и классической антагонистической игры.

Матрицы

Пусть антагонистическая игра задана матрицей С, тогда в данной игре существует вполне смешанная ситуация равновесия

где

Число

Поскольку матрица С не содержит седловых точек, а в функции Лагранжа

Задача решается в два этапа. Для реализации первой части необходимо составить систему, состоящую из ограничений, соответствующих условиям, и целевой функции на максимум:

Для решения системы вводятся новые переменные

где

Целевая функция в данном случае имеет квадратичный вид, а также выполняются условия перехода к антагонистической игре. Решение антагонистической игры, заданной симметричной матрицей, в которой нет седловой точки, является стационарной точкой функции Лагранжа для соответствующей задачи квадратичного программирования.

Из системы уравнений определяется оптимальное решение. Вводятся новые переменные:

Получены результаты

Система уравнений принимает вид:

Согласно теоретико-игровым методам определяются смешанные стратегии в игре, заданной симметричной положительно определенной платежной матрицей C квадратичной формы, где коэффициенты матрицы определяются по формуле (17). Полученные коэффициенты:

Собственные значения матрицы

Цена игры:

По условию задачи предприятие вкладывает 40% от прибыли в активы, соответственно примерно 50,7 у.е. идет на формирование инвестиционного портфеля.

Вторая часть задачи будет решаться графически, точки

Сначала рассчитаем структуру оптимального портфеля при коэффициенте корреляции равном –1. Данное значение коэффициента корреляции является частным и называется абсолютной отрицательной корреляцией, поэтому уровень экономического риска

Полученное значение ожидаемой нормы прибыли составляет

В результате вычислений получается точка

Также частным является случай, когда коэффициент корреляции принимает нулевое значение. Полученные результаты составляют:

Точка

На рисунке 1 изображена критериальная плоскость σ0m, где находятся полученные точки. Данные точки имеют следующий смысл:

1. При коэффициенте корреляции

2. При

3. При

Таким образом, положение точки

$C_2$

иллюстрирует наиболее «выгодную» позицию с точки зрения вложений и минимизации рисков.

Множество оптимальных и допустимых портфелей

DOI:10.23670/IRJ.2023.133.35.1

Display full sizeDownload image

6.1. Основные результаты

В работе представлен практический аспект решения задачи квадратичного программирования в формате антагонистической игры. Данные, которые были использованы в моделировании являются реальными, что представляет особый интерес. Результаты численных экспериментов позволяют сделать некоторые выводы о поведении функции прибыли в зависимости от других параметров моделирования. А также определить наименьший уровень риска портфеля при вложении в активы.

6.2. Область применения

Данный подход может быть применен при планировании производства с последующим вложением части прибыли в ценные бумаги. На основании данной модели появляется возможность принимать управленческие решения для максимизации доходов от вложений, а также минимизации рисков.

6.3. Выводы

Результаты моделирования можно сформулировать в виде следующих выводов:

- при увеличении ограничений для каждого вида продукции и коэффициентов функции прибыли для каждого вида продукции достигается максимум прибыли;

- при линейном увеличении коэффициентов функции прибыли максимальная прибыль увеличивается линейно;

- при увеличении ограничений для каждого вида продукции, независимо от коэффициентов функции прибыли значение максимума прибыли увеличивается незначительно;

- чем больше используемые мощности по всем показателям, тем больше прибыль.