УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ МЕТОДОМ МИНИМИЗАЦИИ ПОДКАСАТЕЛЬНОЙ
УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ МЕТОДОМ МИНИМИЗАЦИИ ПОДКАСАТЕЛЬНОЙ
Научная статья
Агранович Ю.Я.¹, Демёхина А.С.²
1, 2 Воронежский государственный технический университет, Воронеж, Россия
Аннотация
В данной работе предложен один из вариантов оптимального решения динамической задачи связанной с иммунным ответом организма при хроническом гепатите B. Решение основано на минимизации величины проекции подкасательной к точкам траектории системы на ось времени.
Ключевые слова: устойчивость динамических систем, минимум подкасательной. Key words: stability of dynamical systems, a minimum subtangent. В данной работе в качестве математического описания иммунного ответа организма на вирусную инфекцию использовалась модель Диброва-Лившица-Волькенштейна, которая представлена системой из двух дифференциальных уравнений с одним временем запаздывания:

Стационарные точки системы
Для определения стационарных точек системы (2) решим следующую систему алгебраических уравнений:
\[Ag(1+Bg)-Rg\cdot \left( \frac{K}{Q}(1+Bg)-\frac{M}{Q} \right)-E\cdot \left( \frac{K}{Q}(1+Bg)-\frac{M}{Q} \right)=0.\] (6)
Из (6) после некоторых преобразований получим уравнение для определения g: \[B\cdot \left( A-R\frac{K}{Q} \right){{g}^{2}}+\left( A-R\frac{K}{Q}+R\frac{M}{Q}-EB\frac{K}{Q} \right)\cdot g+\frac{E}{Q}(M-K)=0.\] (7) Дискриминант уравнения (7) равен\[D={{\left( A-R\frac{K}{Q}+R\frac{M}{Q}-EB\frac{K}{Q} \right)}^{2}}-4\frac{BE}{Q}\left( A-R\frac{K}{Q} \right)\cdot (M-K),\] (8)
понятно, что, если D<0, то других стационарных точек, кроме (0,0) нет, т.е. хронический сценарий болезни отсутствует. Корни уравнения (7) имеют вид\[{{g}_{2,3}}=\frac{R\frac{K}{Q}+EB\frac{K}{Q}-A-R\frac{M}{Q}\pm \sqrt{D}}{2B\left( A-R\frac{K}{Q} \right)},\] (9)
соответствующие значения a2,3 находятся из соотношения (4) подстановкой g2,3 из (9).Устойчивость стационарных точек
а) Стационарная точка (0,0).
В окрестности точки (0,0) линеаризованная система (2) имеет вид

(11)
![]() |
\[\frac{da}{dt}=A(g(t)+{{g}_{2}})-R\cdot (a(t)+{{a}_{2}})\cdot (g(t)+{{g}_{2}})-E\cdot (a(t)+{{a}_{2}}),\]\[\frac{dg}{dt}=K(g(t)+{{g}_{2}})-\frac{M\cdot (g(t)+{{g}_{2}})}{1+B\cdot (g(t)+{{g}_{2}})}-Q\cdot (a(t)+{{a}_{2}})\cdot (g(t)+{{g}_{2}}).\] | (12) |
t2 L2<0, det L2>0. (14)
Отсюда

R>BE, (17)
которое означает, что антитела гибнут в основном за счет из взаимодействия молекулами антигена, а не путем естественной гибели. Будем называть такое свойство специфической активностью иммунной системы. Таким образом, далее будем предполагать, что рассматриваемая система обладает сильным специфическим иммунитетом и специфической активностью к антигену HBV. Если эти условия выполнены, то неравенство (16) выполнено и нам остается выяснить алгебраическую структуру условия (15). Из (17) и (15) получим



Рисунок 1 - Область устойчивости при K=1, Q=1, B=2, R=1, M=1.
На рисунке 1 представлен пример результатов численных экспериментов по визуализации области устойчивости в координатах (А, Е) при различных значения остальных параметров.
Рисунок 2 - Хроническая форма гепатита В; устойчивая стационарная точка.

Рисунок 3 - Острая форма гепатита В; неустойчивая стационарная точка.

(а)

(б)
Рисунок 4 - Траектории динамической системы на фазовой плоскости.
Вертикальная ось - концентрация антигена HBV, 106 частиц/мл; горизонтальная ось - концентрация специфических антител, 104 частицы/мл. При различных начальных данных и значениях параметров: a(0)=0, А=0.5, Е=0.5. а) g(0)=0.01, б) g(0)=0.02.

(а)

(б)
Рисунок 5 - Траектории динамической системы на фазовой плоскости.
Вертикальная ось - концентрация антигена HBV, 106 частиц/мл; горизонтальная ось - концентрация специфических антител, 104 частицы/мл. При различных начальных данных и значениях параметров: a(0)=0, А=0.5, Е=0.5. а) g(0)=1, б) g(0)=1.1. Хроническая форма гепатита В.
Рисунки 4-5 - это численное моделирование динамики вируса HBV и антител для случаев различных значений параметров соответствующих выздоровлению и появлению хронической формы болезни. Проведенные численные эксперименты позволяют сделать следующий вывод: выполнение свойств специфической активности (17) и сильного специфического иммунитета делает организм стойким по отношению к вирусу гепатита В, переводя сценарий острой формы заболевания, приводящий к летальному исходу, в спиралевидную форму траектории соответствующей хроническому варианту болезни, что демонстрируют рисунки 2-3. Отсюда следует, что применение лекарственны средств, в частности вакцины и адъювантов, должно быть в первую очередь направлено на обеспечение устойчивости обеих стационарных точек с (2), т.е. на выполнение неравенств:М>K, QA>RK, R>BE. (20)
Линейное приближение в задаче оптимального управления процессом
лечения больных хроническим гепатитом В
Из рисунка 6 понятно, что хроническая форма заболевания представляется спиралевидной кривой в пространстве координат (a, g, t) "наматывающейся" на ось «стационарное состояние».
Рисунок 6 - Проекция подкасательной на ось времени.
Вектор касательной к рассматриваемой кривой (a(t), g(t), t) в момент времени t имеет вид



Список литературы / References
- Дибров Б.Ф., Лившиц М.А., Волькенштейн М.В. Математическая модель иммунной реакции // Биофизика. - том 21, № 5, 1976. - С. 905 - 909.
- Дибров Б.Ф., Лившиц М.А., Волькенштейн М.В. Математическая модель иммунной реакции. Стохастические аспекты // Биофизика. - том 22, № 2, 1977. - С.313 - 317.
- Дибров Б.Ф., Лившиц М.А., Волькенштейн М.В. Математическая модель иммунной реакции // Биофизика. - том 23, № 1, 1978. - С. 143 - 148.
- Дибров Б.Ф., Лившиц М.А., Волькенштейн М.В. Математическая модель иммунной реакции. Пороговый характер инфекционного процесса // Биофизика. - том 23, № 3, 1978. - С. 494 - 499.