CALCULATION of K+/Na+ SELECTIVITY IN THE WATER CAVITY OF THE K+ CHANNEL BY THE CLASSIC BORN RULE

Research article
DOI:
https://doi.org/10.23670/IRJ.2022.125.8
Issue: № 11 (125), 2022
Suggested:
11.08.2022
Accepted:
17.10.2022
Published:
17.11.2022
118
0
XML PDF

Abstract

The application of the classical theory of ion solvation to the calculation of K+/Na+ selectivity in the water cavity located in the center of the K+ channel is examined. The changes in the solvation energies of K+ and Na+ cations during their transition from free solution to the water cavity of the K+ channel, as well as the K+/Na+ selectivity of the cavity, were calculated by the classical Born rule. It is shown that the classical theory of solvation cannot explain the stabilization of cations in the water cavity of the channel. It is concluded that stabilization analysis can be performed by methods of non-local electrostatics. However, for a qualitative understanding of the occurrence of K+/Na+ selectivity in the water cavity of the K+ channel, the calculation by the Born rule is useful because it explains the occurrence of cation selectivity due to the difference in cation radii.

1. Введение

Проблема моделирования катионной избирательности в водной полости (ВП) в K+ канале

В [1] было показано, что в центре бактериального Kcsa K+ канала находится ВП. Статья [1] обсуждалась в монографии [2] по ионным каналам в биологических мембранах, также в ней рассматривалось применение формулы Борна к анализу рядов селективности Эйзенмана. В [3] было показано, что в ВП существует не только в Kcsa K+ канале, но и в других калиевых каналах.

В [4], [5], [6], [7] для моделирования ВП K+ канала применялись различные теории. В [4] была использована классическая электростатика для моделирования электростатической стабилизации катиона K+ в ВП, в [5] использовались расчеты с помощью квантовой механики. В работах [6], [7] для рассмотрения катионной избирательности канала использовалась теория нелокальной электростатики (НЭТ). Так в [6] НЭТ использовалась для расчета катионной избирательности в ВП канала в предположении об изменении корреляционной длины воды в ВП по сравнению с ее значением в наружном растворе. В [7] был проведен расчет K+/Na+ селективности К+ канала, обусловленной селективным фильтром канала. Обзор методов НЭТ можно найти в монографии [8]. НЭТ имеет достаточно сложный математический аппарат, что определяет целесообразность проведения анализа катионной избирательности ВП канала с помощью более простых для восприятия биологов классических электростатических подходов.

Величина катионной избирательности K+ канала определяется его селективным фильтром [1], [2], [3]. ВП канала также должна обладать некоторой катионной избирательностью, меньшей, по сравнению с катионной избирательностью с селективного фильтра. В противном случае некоторая часть центральных полостей K+ каналов была бы быть заполнена катионами Na+, которые являлись бы блокаторами для движения катионов K+ через канал. Это также отмечалось в работе [6], в которой для расчета селективности K+ канала методами нелокальной электростатики предполагалось увеличение корреляционной длины воды в полости с учетом того, что статическая диэлектрическая проницаемость в полости такая же как в наружном растворе.

В настоящей работе K+/Na+избирательность полости рассчитывается методами классической теории ионной сольватации, основанной на формуле Борна.

2. Расчет энергий сольватации ионов в водной полости K+ канала по классической формуле Борна

В рамках классической теории ионной сольватации, развитой М. Борном, электростатическая составляющая энергии сольватации в наружном растворе img, рассчитывается по формуле (1) для локальной среды со статической диэлектрической проницаемостью img:

img;
(1)

Энергия гидратации img иона в наружном растворе для катионов img и img в данной работе будет вычисляться по классической формуле Борна (1), в которой img – заряд электрона. В формуле (1) img – радиус сферы, на которой находится весь заряд иона в модели Борна.

Диэлектрическая проницаемость в сферической полости img значительно меньше величины 80 для объемной воды и составляет около 5, как это показывает расчет методами молекулярной динамики для воды в сферической полости [9]. В [10] при анализе диэлектрических свойств воды в порах биологических мембран также отмечалось резкое уменьшение диэлектрической проницаемости. Поэтому энергии гидратации img ионов в центре водной полости, окруженной белковыми «стенками» также будет вычисляться по классической формуле Борна (2), но со статической диэлектрической проницаемостью воды в полости img, которая меньше, чем img:

img;
(2)

На рис. 1 представлены результаты расчета энергий гидратации img катионов img и img, находящихся в центрах водных полостей каналов, окруженной белками.

Энергии гидратации WCav(rK) и WCav(rNa) катионов K+ и Na+ в водных полостях каналов в зависимости от диэлектрической проницаемости εСav в полости

Рисунок 1 - Энергии гидратации WCav(rK) и WCav(rNa) катионов K+ и Na+ в водных полостях каналов в зависимости от диэлектрической проницаемости εСav в полости

По оси ординат: img (сплошная кривая 1) и img (сплошная кривая 2) в единицах img, рассчитанные по формуле (2). По оси абсцисс: диэлектрическая проницаемость img в полости. Штриховыми прямыми 1' и 2' представлены энергии гидратации img катионов img и img в наружном растворе, рассчитанные по классической формуле Борна (1). Радиусы img и img взяты по шкале работы [11]: img.

Поскольку в полости img, то img. Поэтому энергия гидратации катиона img, находящегося в полости меньше ее значения в наружном растворе, рассчитанного по формуле (1), и равного img (штриховая прямая 1' на рис. 1). Энергия гидратации катиона img в полости, также меньше ее значения, рассчитанного по (1) при img.

3. Расчет изменения энергии гидратации катионов K+ и Na+ при их переходе в водную полость ионного канала из свободного раствора

Изменение энергии гидратации иона img при его переходе в полость канала в классической электростатике рассчитывается по формуле (3), которая следует из формул (1)-(2). При этом изменение стандартного химического потенциала иона img равно изменению его энергии гидратации, взятому с обратным знаком:

img;
(3)
Изменения энергий сольватаций ΔWi(εСav) катионов K+ и Na+ при переходе этих ионов в водную полость канала из свободного раствора в зависимости от диэлектрической проницаемости εСav в полости (по оси абсцисс)

Рисунок 2 - Изменения энергий сольватаций ΔWiСav) катионов K+ и Na+ при переходе этих ионов в водную полость канала из свободного раствора в зависимости от диэлектрической проницаемости εСav в полости (по оси абсцисс)

Примечание: по оси ординат представлены ΔWK(кривая 1) и ΔWNa (кривая 2) в единицах kT, рассчитанные по формуле (3)

Изменение энергии гидратации img (1) при его переходе в полость канала с пониженной диэлектрической проницаемостью меньше, чем img для катиона img, как это видно из рис. 2. Этот результат является следствием различия радиуса этих катионов, и, как будет показано далее, определяет появление катионной селективности полости канала.

4. Расчет энергии сил изображения, действующей на ион в центре сферической водной полости ионного канала

Энергия сил изображения img, действующая на ион, находящийся в центре сферической ВП рассчитывается по формуле (4), в которой img – радиус полости, а img и img – диэлектрические проницаемости белкового окружения полости и воды в полости соответственно:

img;
(4)

Величина img зависит от радиуса полости, но не зависит от радиуса иона, в отличие от энергии гидратации. Классическая формула (4) использовалась в [4] при анализе электростатической стабилизации катионов в водной полости img канала. Однако в [4] расчет по формуле (4) проводился только при img, при этом считалось, что радиус img полости равен img. Выбор таких большие значений диэлектрической проницаемости в полости малого размера не соответствует данным работ [9-10], как это отмечалось выше.

Нелокально-электростатический аналог формулы (4) был получен в нашей работе [12]. Учет нелокально-электростатических эффектов в полости приводит к уменьшению энергии сил изображения, действующих на катион в полости вследствие уменьшения эффективной диэлектрической проницаемости воды в полости, как это было показано в [12]. Качественно понятнее варьировать некоторую эффективную диэлектрическую проницаемость в полости εСav и рассчитывать по формуле (4) img. Результаты этих расчетов представлены на рис. 3, из которого видно, что при img энергия сил изображения равна нулю.

Изменения энергий сил изображения UIm, действующих на ион, находящийся в центре сферической ВП канала в зависимости от диэлектрической проницаемости εСav в полости

Рисунок 3 - Изменения энергий сил изображения UIm, действующих на ион, находящийся в центре сферической ВП канала в зависимости от диэлектрической проницаемости εСav в полости

По оси ординат: img в единицах img, рассчитанные по формуле (4), и представленные сплошными кривыми imgimg и imgimg для двух значений радиусов полости img. По оси абсцисс: диэлектрическая проницаемость img в полости. Диэлектрическая проницаемость белкового окружения полости img выбрано при расчете по (4) выбрано 5.

5. Расчет изменения свободной энергии Гиббса катионов K+ и Na+ при их переходе в водную полость ионного канала из свободного раствора

Получим выражение (5) для изменения свободной энергии Гиббса img при переходе катиона из свободного раствора в полость канала, используя формулы (3)-(4). Расчет img по формуле (5) приведен на рис. 4.

img;
(5)
Изменения свободной энергии Гиббса ΔG катионов K+ и Na+ при их переходе в ВП канала из свободного раствора в зависимости от диэлектрической проницаемости εСav в полости (ось абсцисс)

Рисунок 4 - Изменения свободной энергии Гиббса ΔG катионов K+ и Na+ при их переходе в ВП канала из свободного раствора в зависимости от диэлектрической проницаемости εСav в полости (ось абсцисс)

По оси ординат: img и img в единицах img, представленные сплошными кривыми 1 (для img)  и 2 (для img) для радиусов полости imgimg и штриховыми кривыми 1' (для img), 2' (для img) при imgimg (расчет по формулам (5)). При расчете диэлектрическая проницаемость белкового окружения полости img выбрано равной 5. Как это видно из рис. 4, рассчитанные величины img слишком большие, чтобы катион мог войти в полость, и это обстоятельство является проблемой при расчетах по классической теории Борна. Эта проблема возникает потому, что величина стандартного химического потенциала иона img в наружном растворе, рассчитанная по классической формуле Борна, значительно превышают ее экспериментальное значение. Поэтому первый член формулы (5) намного больше реального изменения химического потенциала. Для решения этой проблемы img в наружном растворе надо рассчитывать по формулам нелокальной электростатики (см. монографию [8]), как это отмечалось в [7].

6. Расчет катионной избирательности ВП ионного канала при использовании классической формулы Борна

Приведем формулы коэффициентов распределения img катионов img и img между ВП ионного канала и свободным раствором, нужные для расчета катионной избирательности в полости, вывод которых приведен в [6]:

img;
(6)

Третьи слагаемые в (6) описывают электростатическое взаимодействие иона в полости с заряженными или дипольными группами белков, окружающих полость: img, где img – электростатический потенциал в центре полости. При расчете величины избирательности img в ВП второй и третий член в экспоненте (6), сокращаются, а остаются только изменения стандартных химических потенциалов катионов img и img:

img;
(7)

Подставляя в (7) img из формулы (3), получим выражение, описывающее зависимость селективности от диэлектрической проницаемости img в полости:

img;
(8)
K+/Na+ избирательность SK/Na в ВП в зависимости от диэлектрической проницаемости εСav в полости

Рисунок 5 - K+/Na+ избирательность SK/Na в ВП в зависимости от диэлектрической проницаемости εСav в полости

По оси ординат: img избирательность водной полости img канала. По оси абсцисс: диэлектрическая проницаемость img в полости. Радиусы img и img взяты по шкале работы [10]: imgimg, imgimg.  

Формула (8) представляет основной результат развитой теории катионной селективности ВП img канала, а на рис. 5 приведен расчет величины img по этой формуле.

7. Обсуждение

Формула (8) предсказывает существование img селективности в водной полости канала для любых значений диэлектрической проницаемости в полости, как это видно из рис. 5. Однако этот метод, основанный на расчете энергий сольватаций ионов по классической формуле Борна, не может быть применим к объяснению возникновения img селективности в ВП img канала. Поскольку img, то под экспонентой в формуле (8) оказываются два положительных сомножителя img. Поэтому величина img больше единицы, а это значит, что на основании формулы (8) можно объяснить только img избирательность в полости канала. Эту проблему можно решить, воспользовавшись методом, развитым в работе [7], в которой рассматривался селективный фильтр канала, а не его ВП. В этой работе энергии гидратации катионов в объемном растворе рассчитывались не по классической формуле Борна, как в данной статье, а по формулам НЭТ [8]. На этой основе в [7] была объяснена возможность перехода от img к img селективности. Вероятно, этот НЭТ метод может быть использован и для расчета селективности в водной полости канала.

Еще одним недостатком расчета, основанного на классической электростатике, является слишком большие рассчитанные значения величины img, когда диэлектрическая проницаемость img в полости меньше 7 (см. рис. 5), то есть как раз при тех значениях, которые img имеют в полостях радиуса порядка нанометра [9], [10]. Как известно [2], большие значения img селективности img канала создаются селективным фильтром, а не водной полостью. Причиной указанного недостатка классической модели является использование формулы (1) для расчета энергии гидратации ионов в объемном растворе, расчет по которой дает величины большие, чем экспериментальные значения.  Следует ожидать, что при использовании формул нелокальной электростатики для расчета энергий гидратации img и img вместо формулы (1), этот недостаток приведенной здесь классической модели будет устранен.

8. Заключение

Главный вывод заключается в том, что расчет по классической теории гидратации предсказывает существование img селективности водной полости img канала (см. рис. 5), если при расчете учитывать, что диэлектрическая проницаемость воды в полости канала меньше ее значения в объеме раствора. Этот расчет показывает, что катионная избирательность обусловлена различием радиусов ионов. Однако расчет по классической формуле Борна не может объяснить стабилизацию катионов в водной полости img канала. Причина этого в том, что классическая электростатика приводит к сильно завышенным значениям энергии гидратации ионов по сравнению с их экспериментальными величинами. По этой причине при анализе стабилизации катионов в водной полости канала надо использовать более сложные теории. Однако для качественного понимания возникновения img селективности водной полости img канала расчет по формуле Борна полезен, поскольку он объясняет возникновение селективности из-за различия радиусов катионов. Приведенные в данной работе результаты указывают один из возможных методов дальнейшего развития теории катионной селективности в каналах. Это использование НЭТ для расчета энергий гидратации ионов.

Article metrics

Views:118
Downloads:0
Views
Total:
Views:118