MODELING OF HEAT TRANSFER PROCESSES IN ROAD SURFACE HEATING SYSTEMS

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В СИСТЕМАХ ОБОГРЕВА ПОКРЫТИЯ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ

Научная статья

Каменчуков А.В.^1, *, Тян ², Псаров С.А.³

¹ ORCID: 0000-0001-7997-3195;

³ ORCID: 0000-0002-4368-7848;

^{1, 2, 3} Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск, Россия

* Корреспондирующий автор (006641[at]pnu.edu.ru)

Аннотация

В работе исследованы вопросы эффективности применения гидравлических систем снеготаяния на сосредоточенных элементах автомобильных дорог, к которым относятся покрытия мостовых переходов и стоянки автомобилей. Выполнен анализ применяемости всех способов борьбы с зимней скользкостью и наледеобразования в районах с обильным выпадением твёрдых осадков. Разработана принципиальная схема системы гидравлического снеготаяния, внедряемая в бетонные слои покрытия мостовых сооружений. Выполнен теплофизический расчет почасовой работы системы гидравлического снеготаяния с использованием современных средств математического моделирования. Сделаны выводы и рекомендации по эффективности использования систем гидравлического снеготаяния на автомобильных дорогах.

Ключевые слова: автомобильные дороги, гидравлические системы обогрева, снегоочистка, зимнее содержание.

MODELING OF HEAT TRANSFER PROCESSES IN ROAD SURFACE HEATING SYSTEMS

Research article

Kamenchukov A.V.^1, *, Tyan², Psarov S.A.³

¹ ORCID: 0000-0001-7997-3195;

³ ORCID: 0000-0002-4368-7848;

^{1, 2, 3} Pacific National University, Khabarovsk, Russia

* Corresponding author (006641[at]pnu.edu.ru)

Abstract

The paper examines the effectiveness of using hydraulic snowmelt systems on certain elements of automobile roads, which include paving of bridge crossings and car parks. The study performs an analysis of the applicability of all methods to combat winter slipperiness and ice formation in areas with heavy precipitation. The study demonstrates the developed basic scheme of the hydraulic snowmelt system implemented in the concrete layers of the pavement of bridge structures. A thermophysical calculation of the hourly operation of the hydraulic snowmelt system is performed using modern mathematical modeling tools. The study provides conclusions and recommendations on the effectiveness of using hydraulic snowmelt systems on highways.

Keywords: highways, hydraulic heating systems, snow removal, winter maintenance.

Введение

Образование зимней скользкости является одним из зимних факторов, которые наиболее неблагоприятно влияют на дорожную обстановку. При образовании скользкости коэффициент сцепления с дорогой уменьшается от нормативных 0,7-0,8 до 0,08-0,15 [1]. Из-за этого увеличивается число дорожно-транспортных происшествий, снижается подвижность транспортных средств, что негативно сказывается на общих транспортных системах. По официальным данным, из-за плохих погодных условий происходит более 1,5 млн несчастных случаев ежегодно. Это приводит к потерям для экономики до 3% ВВП [2]. Поэтому борьба с зимней скользкостью является одной из важных проблем дорожного хозяйства.

На Дальнем Востоке России, в регионе с холодными продолжительными зимами, эксплуатация объектов дорожно-транспортной инфраструктуры в зимний период года является актуальной проблемой, требующей постоянного внимания дорожных специалистов и ученых, которые изучают и исследуют новые эффективные технологии эксплуатации и содержания автомобильных дорог в зимний период. Зимние условия характеризуются снегопадами и метелями, формирующими снежные отложения [3], [4], [5]. Очистка дорог от снега в зимних условиях имеет первостепенное значение для безопасной работы транспорта и движения пешеходов. Борьба с обледенением производится, в основном, химическими методами, поэтому в водные бассейны и на земную поверхность попадают большие массы химических реагентов, приводящих к существенным изменениям химического состава основных компонентов окружающей среды (почвы, воды, воздуха). Это вызывает изменение и разрушение видового состава обитающих в них организмов [6], [7], [20].

Технологии удаления снега и льда с покрытия автомобильных дорог

Основным видом очистки дорог от снега является патрульная снегоочистка, которая производится периодическими проходами плужных или плужно-щеточных снегоочистителей в течение всей метели или снегопада. Патрульная снегоочистка проводится одиночными машинами или отрядом плужно-щеточных снегоочистителей, движущихся уступом с интервалом 30 – 60 м с перемещением снега от оси дороги к обочине с перекрытием следа 0,3 – 0,5 м.

В государственных членах Таможенного Союза, а также за рубежом наиболее распространены следующие способы борьбы с зимней скользкостью: фрикционный, химический, физико-химический, комбинированный.

Комбинированный, химический и фрикционный способы направлены на повышение фрикционных свойств покрытия или плавление снежно-ледяных отложений химическими реагентами. Существует достаточно обширная классификация противогололедных материалов (ПГМ). Ниже рассмотрены основные положения данной классификации.

Фрикционные ПГМ должны повышать коэффициент сцепления со снежно-ледяными отложениями на покрытии для обеспечения безопасных условий движения; иметь высокие физико-механические свойства, препятствующие разрушению, износу, дроблению и шлифованию ПГМ, и обладать свойствами, препятствующими увеличению запыленности воздуха и загрязнения придорожной полосы.

Химические ПГМ применяют в твердом, жидком и смоченном виде. Сырьем для получения этих материалов чаще всего являются природные запасы бишофита, галита или отходы промышленности, например, сильвинитовые, карнолитовые отходы. По химическому составу ПГМ этой группы разделяют на четыре подгруппы. Первая подгруппа – хлориды. К ней относятся ПГМ на основе NaCl, CaCl₂ и MgCl₂. Вторая подгруппа – ацетаты, третья подгруппа – карбамиды, четвертая – нитраты.

Основной целью использования антигололёдных реагентов является снижение температуры замерзания снега и льда. Противогололедные реагенты не используют тепловую энергию для физического или химического плавления. Эти химические вещества обычно применяются перед снегопадом, чтобы предотвратить замерзание дороги за счет понижения точки замерзания воды и, следовательно, облегчить удаление слякоти ручным методом.

Комбинированные ПГМ обладают одновременно функциями фрикционных и химических материалов и состоят, из смеси песка и химических ПГМ. В качестве химических добавок используют твердые соли: технический хлористый натрий, соль сильвинитовых отвалов и хлористый кальций.

Значительный интерес представляет опыт работы муниципалитетов канадских городов (Монреаля, Оттавы, Торонто) по уборке улиц в зимний период [12], [13], [17]. Утилизация снежной массы, вывозимой с городской территории, производится на «сухих» снегосвалках. Эти снегосвалки представляют собой огороженные площадки, на которые снег свозится и сдвигается бульдозерами и мощными шнековыми устройствами в штабель высотой 20-30 метров. Таяние осуществляется под действием естественного тепла. Основание площадки выполнено из уплотненного асфальтового гранулята, срезаемого при ремонте асфальтовых дорожных покрытий.

Термические способы удаления снежно-ледяной массы с дорожного покрытия путем плавления при воздействии потока тепловой энергии являются менее распространенными по сравнению с фрикционным, химическим. В зависимости от направления теплового потока существующие термические способы можно разделить на два типа:

• тепловой поток направлен от источника теплоты к верхней границе снежного слоя – наружный;
• тепловой поток направлен от источника теплоты к нижней границе снежного слоя – внутренний.

В данной работе рассмотрены термические системы удаления снежного слоя внутреннего типа, когда тепловой поток направлен от источника теплоты к нижней границе слоя.

Гидравлические системы снеготаяния

Основой термических способов снеготаяния и антиобледенения является система распределения греющего теплоносителя (трубопроводы для жидких теплоносителей, паропроводы или газоходы), то есть система подогрева поверхности дорожного покрытия. Тепловые системы снеготаяния используются для обогрева взлетно-посадочных полос, сложных участков дорог, мостов, площадок для таяния снега, тротуаров и подъездов к гаражам.

Одним из преимуществ систем снеготаяния, использующих жидкие теплоносители (гидравлические системы), является возможность использования различных источников тепловой энергии: котлов на различных видах топлива, электрических котлов и так далее [14]. В целом система, использующая жидкие теплоносители, включает четыре основных компонента: источник тепловой энергии, циркуляционный насос, теплоноситель и трубопроводную систему. Наиболее важным элементом является трубопроводная система [18].

Для равномерного распределения тепловой энергии по поверхности дороги обычно используется один из двух типов раскладки трубопроводов: схема обратного возврата или змеевидное расположение.

На рисунке 1 показана типичная гидравлическая система таяния снега. Эта система включает в себя бетонную плиту или тротуар и гидравлические трубы (для простоты нет необходимости моделировать изоляцию, поскольку плита находится в земле).

В итоговой модели, для простоты и удобства приведены следующие допущения [23], [24], [25]:

• бетонное покрытие однородно и изотропно;
• термическая деформация не учитывается;
• термические сопротивления конвективной теплоотдачи от теплоносителя к стенке трубы и самой трубы не учитываются;
• испарение льда и таяние снега не учитывается;
• расход теплоносителя и уменьшение температуры при движении теплоносителя по трубе не учитываются.

 

Рис. 1 – Схема гидравлической системы снеготаяния (а), вид симметричного участка (б) и граничные условия (в)

 

Математическое моделирование системы гидравлического снеготаяния

Для математического моделирования системы гидравлического снеготаяния использовалось стационарное двумерное уравнение теплопроводности:

      (1)

На верхней поверхности бетонной плиты задавались граничные условия третьего рода. При этом коэффициент теплоотдачи считался функцией скорости ветра и вычислялся по формуле: a = 9,6 + 1,12𝜐, где 𝜐 – скорость ветра, м/с [16].

Вдоль полуокружности EF накладывалось существенное граничное условие Т = Т_ж (температура теплоносителя). Линии ВС, АF, DE из-за симметрии задачи считались адиабатными (тепловой поток и градиент температуры перпендикулярно линии принимались равными нулю) Нижняя поверхность бетонной плиты (вдоль CD) из-за наличия слоя теплоизоляции слоя также принималась адиабатной.

Основное дифференциальное уравнение для стационарного теплообмена в плоской системе описывается выражением (1).

Для наружной границы бетонной плиты граничное условие представляет собой баланс передачи энергии через границу из-за теплопроводности и конвекции, как обсуждалось выше:

    (2)

Первые два слагаемых – подвод тепловой энергии к границе плиты за счет теплопроводности, третье слагаемое – теплоотдача. Ω – двумерная область, а 𝑇 – температура внутри бетонной плиты или тротуара. Кроме того, 𝑘_𝑥, 𝑘_𝑦 – теплопроводность бетона вдоль направлений 𝑥 и 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦) – внутреннее тепловыделение на единицу объема. 𝑇_∞ − температура окружающей среды. q_n – тепловой поток на границе, который в данной постановке задачи равен нулю.

Умножая (1) и (2) на произвольную весовую функцию w и интегрируя по конечному элементу Ω^е, получим следующее выражение:

    (3)

Модель конечных элементов получается путем подстановки приближенного значения температуры в виде суммы по различным весовым функциям:

    (4)     (5)   Подстановка (4) в (3) приводит к следующему выражению:      (6) где коэффициенты могут быть определены путем вычисления интегралов от весовых функций по конечному элементу:       (7)     (8)     (9)     (10)   Коэффициенты 𝐻^𝑒_𝑖𝑗 и 𝑃^𝑒_𝑖 для плоского четырехстороннего элемента определяются по формулам:     (11)     (12)

где a_𝑖𝑗 – коэффициент теплоотдачи для боковых соединительных узлов 𝑖 и 𝑗 и элемента Ω^е,  – температура окружающей среды, а h_𝑖𝑗 – длина стороны. Для плоских прямоугольных элементов матрицы имеют вид:

     (13)

      (14)

Результаты моделирования температурного поля

В данной работе был проведен расчет поля температур в бетонной плите мостового перехода [22], не имеющей внутреннего тепловыделения. Температура окружающей среды принималась равной минус 27°С. Значения других исходных данных приведены в таблице 1.

 

Таблица 1 – Значения исходных данных

Характеристики	Единица измерения	Значения	Характеристики	Единица измерения	Значения
Толщина плиты	см.	15,0	Теплоемкость бетона	Дж/(кг°С)	1090
Теплопроводность бетона	Вт/(см°С)	0,062	Плотность бетона	Кг/м3	2400
Коэффициент конвективного теплообмена	Вт/(см2°С)	0,009	Температура окружающей среды	°С	-27
Температура теплоносителя	°С	30	Расстояние между трубами	см.	25,0
Глубина заложения трубы	см.	10,0	Диаметр трубы	см.	2,5

 

Расчет температурного поля выполнен в программном обеспечении ABAQUS. Результаты представлены на рисунках 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Рис. 2 – Распределение температуры при работе системы 1 час

Рис. 3 – Распределение температуры при работе системы 12 часов

Рис. 4 – Распределение температуры в точке А при работе системы 24 часа

Рис. 5 – Распределение температуры в точке Б при работе системы 24 часа

Рис. 6 – Распределение температуры в бетонной плите при работе системы 24 часа

Рис. 7 – Распределение температуры по поверхности

 

Заключение

На рисунке 5 видно, что неравномерность распределения температуры по поверхности плиты составляет ± 0,75^оС. При этом положительные температуры на поверхности плиты между греющими трубами (точка Б) достигаются через 2,5 часа после начала обогрева, что соответствует нормативным значениям по снегоочистке [26].

При средней температуре поверхности бетонной плиты 11,5^оС потери тепловой энергии с поверхности плиты будут составлять 412 кВт (0,3549 Гкал/ч) на 1000 м² при температуре наружного воздуха минус 27^оС и скорости ветра 1 м/с. При этом до 125 кВт может быть полезно использовано для плавления снега и льда, что обеспечит полную очистку дорожного покрытия при интенсивности снегопада до 1,3 мм/час и очистку дорожного покрытия от снежной массы за 3 часа при интенсивности снегопада до 4 мм/час.

Выполненные расчеты позволяют говорить о том, что системы гидравлического снеготаяния могут применяться при достаточно интенсивных снегопадах на стационарных дорожных объектах, покрытие которых не подвержены вертикальным колебаниям, например, мостовых переходах.

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

1. Дергун А.А. Современные технологии борьбы с обледенениями на дорогах и линиях электропередач / А.А. Дергун // СТУДЕНТ: НАУКА, ПРОФЕССИЯ, ЖИЗНЬ материалы IV Всероссийской студенческой научной конференции с международным участием. Омский государственный университет путей сообщения. 2017. С. 81-87.
2. Лазарев Ю.Г. Оценки и прогнозирования температурного режима дорожных одежд как фактора безопасности дорожного движения / Ю.Г. Лазарев, Е.Е. Медрес, Ю. Ряту // Организация и безопасность дорожного движения в крупных городах Сборник трудов (электронная версия) участников двенадцатой международной научно-практической конференции. 2016. С. 420-427.
3. Бабков В.Ф. Дорожные условия и безопасность движения / В.Ф. Бабков – М.: Транспорт, 1993. – 270 с.
4. Бялобжеский Г.В. Борьба с зимней скользкостью на автомобильных дорогах / Г.В. Бялобжеский. – М.: Транспорт, 1975. – 175 с.
5. Васильев А.П. Состояние дорог и безопасность движения автомобилей в сложных погодных условиях / А.П. Васильев. – М.: Транспорт, 1976. – 224 с.
6. Аржанухина С.П. Проблемы разработки и применения нормативно-методического обеспечения oхраны окружающей среды при зимнем содержании автомобильных дороганухина / С.П. Аржанухина, М.Л. Ермаков, Н.Е. Кокодеева // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2008. № 4. С. 171-176.
7. Васильев Г.П. Теплоснабжение зданий и сооружений с использованием низкопотенциальной тепловой энергии поверхностных слоев Земли / Г.П Васильев. – М.: Граница, 2006. 176 с.
8. Виноградов Б.А. Экологические аспекты предупреждения образования льда на поверхности искусственных покрытий транспортных сооружений / Б.А Виноградов. – М.: Московский государственный автомобильно-дорожный институт. 1999. – 93 с.
9. Корецкий В.Е. Противогололедная обработка дорожных покрытий в Москве / В.Е Корецкий. – М.: Прима-Пресс-М, 2001. - 212 с.
10. Подольский В.П. Автотранспортное загрязнение придорожных территорий / В.П Подольский. – Воронеж: Издательство Воронежского государственного института. 1999. – 264 с.
11. Подольский В.П. Комплексная оценка придорожной территории в зимний период года / В.П Подольский. – М.: Издательство МАДИ (ТУ), 1999. – 90 с.
12. Корецкий В.Е. Зарубежный опыт зимнего содержания дорожных покрытий / В.Е Корецкий. – М.: Чистый город, 2002. – 23 с.
13. Эльсенар П. Современные взгляды в Европе по вопросу улучшения методов борьбы со снегом и льдом / П. Эльсенар. – М.: Транспорт, 1986. – 74 с.
14. Chapman WP. Design of snow melting systems / Chapman WP. // Heat Vent 1952;49:88-95
15. Reddy J. N. - Introduction to the Finite Element Method / J. N. Reddy.
16. 16 Hassan H.F. Development of Asphalt Pavement Temperature Models for Oman / Hassan H.F., Al-Nuaimi A.S., Taha R., Jafar T.M.A. // The Journal of Engineering Research. 2005. Vol. 2, No. 1. Pp. 32-42.
17. Hou, Z.F. Research on making and application of carbon fiber electrically concrete for deicing and snow-melting / Hou, Z.F., Li, Z.Q., Tang, Z.Q., // Journal of Wuhan Institute of Technology (Natural Journal Edition) 24, 32–34.
18. Kilkis, I.B. Design of Embedded Snow-Melting Systems: Part 1: Heat Requirements — An overall assessment and recommendations / Kilkis, I.B. //ASHRAE Transactions. 1994. 100 (1). P. 423-433.
19. Lazarev Yu.G. Effectiveness of Soil Reinforcement Based on Complex Ash-Cement Bonder / Lazarev Yu.G. // Applied Mechanics and Materials. 2015. No. 725. Pp. 208–213.
20. Lazarev Yu.G. Research of processes of improving soil properties based on complex ash cement binder / Lazarev Yu.G. // Applied Mechanics and Materials. 2014. No. 584. Pp.1681–1686.
21. Matić B. Development and evaluation of the model for the surface pavement temperature prediction / Matić B., Tepić J., Sremac S., Radonjanin V., Matić D., Jovanović P. // Metalurgija. 2012. Vol. 51. No. 3. Pp. 329-33
22. Ojas, W. An experimental and numerical study of the thermal performance of a bridge deck de-icing system : dissertation candidate for the Degree of Master of Science / Ojas, W. Stillwater, Oklahoma, State University. 1997. 276 pp.
23. Paliukaite M. Analysis of temperature and moisture influence on asphalt pavement strength / Paliukaite M., Vaitkus A. // Environmental engineering: The 8th International Conference. 2011. Vol. 3, No. 1. Pp. 1160-1165.
24. Wang D. Analytical Approach to Predicting Temperature Fields in Multi-Layered Pavement Systems / Wang D., Roesler J.R., Guo D. // Journal of engineering mechanics. 2009. Vol. 135. No. 4. Pp. 334-344.
25. Xiao, X. Modeling of hydronic and electric-cable snow-melting systems for pavements and bridge decks : dissertation candidate for the Degree of Master of Science / Xiao, X. Oklahoma, State University. 2002. 178 pp.
26. ОДМ 218.4.001 - 2008. Методические рекомендации по организации обследования и испытания мостовых сооружений на автомобильных дорогах. Федеральное дорожное агентство (Росавтодор). Москва, 2008.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Dergun A.A. Sovremennye tehnologii bor'by s obledenenijami na dorogah i linijah jelektroperedach [State-of-the-art anti-icing technology on roads and power lines] / Dergun A.A. // STUDENT: NAUKA, PROFESSIJa, ZhIZN'' materialy IV Vserossijskoj studencheskoj nauchnoj konferencii s mezhdunarodnym uchastiem [STUDENT: SCIENCE, PROFESSION, LIFE materials of the IV All-Russian student scientific conference with international participation]. Omskij gosudarstvennyj universitet putej soobshhenija. 2017. P. 81-87. [in Russian]
2. Lazarev Ju.G. Ocenki i prognozirovanija temperaturnogo rezhima dorozhnyh odezhd kak faktora bezopasnosti dorozhnogo dvizhenija [Assessment and prediction of the temperature regime of road pavements as a factor of road safety] / Lazarev Ju.G., Medres E.E., Rjatu Ju. // Organizacija i bezopasnost' dorozhnogo dvizhenija v krupnyh gorodah Sbornik trudov (jelektronnaja versija) uchastnikov dvenadcatoj mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii [Organization and road safety in large cities Proceedings (electronic version) of the participants of the twelfth international scientific and practical conference]. 2016. P. 420-427. [in Russian]
3. Babkov V.F. Dorozhnye uslovija i bezopasnost' dvizhenija [Road conditions and traffic safety] / Babkov V.F. – M.: Transport, 1993. – 270 p. [in Russian]
4. Bjalobzheskij G.V. Bor'ba s zimnej skol'zkost'ju na avtomobil'nyh dorogah [Combating winter slipperiness on highways] / Bjalobzheskij G.V. – M.: Transport, 1975. – 175 p. [in Russian]
5. Vasil'ev A.P. Sostojanie dorog i bezopasnost' dvizhenija avtomobilej v slozhnyh pogodnyh uslovijah [Road conditions and traffic safety in difficult weather conditions] / Vasil'ev A.P. – M.: Transport, 1976. – 224 p. [in Russian]
6. Arzhanuhina S.P. Problemy razrabotki i primenenija normativno-metodicheskogo obespechenija ohrany okruzhajushhej sredy pri zimnem soderzhanii avtomobil'nyh doroganuhina [Problems of the development and application of regulatory and methodological support for environmental protection during winter maintenance of highways] / Arzhanuhina S.P., Ermakov M.L., Kokodeeva N.E. // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo arhitekturno-stroitel'nogo universiteta [Bulletin of the Tomsk State University of Architecture and Civil Engineering.]. 2008. № 4. P. 171-176. [in Russian]
7. Vasil'ev G.P. Teplosnabzhenie zdanij i sooruzhenij s ispol'zovaniem nizkopotencial'noj teplovoj jenergii poverhnostnyh sloev Zemli [Heat supply of buildings and structures using low-potential thermal energy of the surface layers of the Earth] / Vasil'ev G.P. – M.: Granica, 2006. 176 p. [in Russian]
8. Vinogradov B.A. Jekologicheskie aspekty preduprezhdenija obrazovanija l'da na poverhnosti iskusstvennyh pokrytij transportnyh sooruzhenij [Environmental aspects of preventing ice formation on the surface of artificial coatings of transport structures] / Vinogradov B.A. – M.: Moskovskij gosudarstvennyj avtomobil'no-dorozhnyj institut. 1999. – 93 p. [in Russian]
9. Koreckij V.E. Protivogololednaja obrabotka dorozhnyh pokrytij v Moskve [Anti-icing treatment of road surfaces in Moscow] / Koreckij V.E. – M.: Prima-Press-M, 2001. - 212 p. [in Russian]
10. Podol'skij V.P. Avtotransportnoe zagrjaznenie pridorozhnyh territorij [Roadside road traffic pollution] / Podol'skij V.P. – Voronez: Publ. house of Voronezh state institute. 1999. – 264 p. [in Russian]
11. Podol'skij V.P. Kompleksnaja ocenka pridorozhnoj territorii v zimnij period goda [Comprehensive assessment of the roadside area in the winter season] / Podol'skij V.P. – M.: Publ. house MADI (TU), 1999. – 90 p. [in Russian]
12. Koreckij V.E. Zarubezhnyj opyt zimnego soderzhanija dorozhnyh pokrytij [Foreign experience in winter maintenance of road surfaces] / Koreckij V.E. – M.: Chistyj gorod, 2002. – 23 p. [in Russian]
13. Jel'senar P. Sovremennye vzgljady v Evrope po voprosu uluchshenija metodov bor'by so snegom i l'dom [Contemporary views in Europe on improving snow and ice management] / Jel'senar P. – M.: Transport, 1986. – 74 p. [in Russian]
14. Chapman WP. Design of snow melting systems / Chapman WP. // Heat Vent 1952;49:88-95
15. Reddy J. N. - Introduction to the Finite Element Method / J. N. Reddy.
16. 16 Hassan H.F. Development of Asphalt Pavement Temperature Models for Oman / Hassan H.F., Al-Nuaimi A.S., Taha R., Jafar T.M.A. // The Journal of Engineering Research. 2005. Vol. 2, No. 1. Pp. 32-42.
17. Hou, Z.F. Research on making and application of carbon fiber electrically concrete for deicing and snow-melting / Hou, Z.F., Li, Z.Q., Tang, Z.Q., // Journal of Wuhan Institute of Technology (Natural Journal Edition) 24, 32–34.
18. Kilkis, I.B. Design of Embedded Snow-Melting Systems: Part 1: Heat Requirements — An overall assessment and recommendations / Kilkis, I.B. //ASHRAE Transactions. 1994. 100 (1). P. 423-433.
19. Lazarev Yu.G. Effectiveness of Soil Reinforcement Based on Complex Ash-Cement Bonder / Lazarev Yu.G. // Applied Mechanics and Materials. 2015. No. 725. Pp. 208–213.
20. Lazarev Yu.G. Research of processes of improving soil properties based on complex ash cement binder / Lazarev Yu.G. // Applied Mechanics and Materials. 2014. No. 584. Pp.1681–1686.
21. Matić B. Development and evaluation of the model for the surface pavement temperature prediction / Matić B., Tepić J., Sremac S., Radonjanin V., Matić D., Jovanović P. // Metalurgija. 2012. Vol. 51. No. 3. Pp. 329-33
22. Ojas, W. An experimental and numerical study of the thermal performance of a bridge deck de-icing system : dissertation candidate for the Degree of Master of Science / Ojas, W. Stillwater, Oklahoma, State University. 1997. 276 pp.
23. Paliukaite M. Analysis of temperature and moisture influence on asphalt pavement strength / Paliukaite M., Vaitkus A. // Environmental engineering: The 8th International Conference. 2011. Vol. 3, No. 1. Pp. 1160-1165.
24. Wang D. Analytical Approach to Predicting Temperature Fields in Multi-Layered Pavement Systems / Wang D., Roesler J.R., Guo D. // Journal of engineering mechanics. 2009. Vol. 135. No. 4. Pp. 334-344.
25. Xiao, X. Modeling of hydronic and electric-cable snow-melting systems for pavements and bridge decks : dissertation candidate for the Degree of Master of Science / Xiao, X. Oklahoma, State University. 2002. 178 pp.
26. ODM 218.4.001 - 2008. Metodicheskie rekomendacii po organizacii obsledovanija i ispytanija mostovyh sooruzhenij na avtomobil'nyh dorogah [Methodical recommendations for the organization of inspection and testing of bridge structures on highways]. Federal'noe dorozhnoe agentstvo (Rosavtodor). Moscow, 2008. [in Russian]