О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ПАРАМЕТРОМ

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ПАРАМЕТРОМ

Научная статья

Джээнбаева Г.А.*

Институт Математики Национальной академии наук Кыргызской Республики, Бишкек, Кыргызстан

* Корреспондирующий автор (baytemirova2007[at]mail.ru)

Аннотация

Исследовать проблему разрешимости задач Коши для нелинейных  интегро-дифференциальных  уравнений в частных производных можно провести методом преобразования решений. Сутью такого подхода является преобразование исходной задачи Коши в эквивалентное ей интегральное уравнение Вольтерра второго рода, к которой можно применить топологический метод – принцип сжатых отображений. Из условий сжатости оператора и определяются достаточные условия на заданные функции, при которых исходная проблема разрешима.

В данной работе исследована проблема разрешимость задачи Коши для систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с параметром и найдено интегральное представление полученных решений. Далее, для нового класса систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка найдены достаточные условия существования решений задачи Коши и кроме того, построено интегральное представление таких решений. В силу нелинейности начальных задач, найденные достаточные условия, вообще говоря, не гарантирует единственность полученных решений.

Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения в частных производных с параметром, достаточное условие разрешимости задачи Коши для систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, отображение в себя, принцип сжатых отображений, нелинейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода, пространство функций непрерывных со своими производными, интегральное представление решений задачи Коши.

ON SOLVABILITY OF CAUCHY PROBLEM FOR SYSTEMS OF NON-LINEAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS IN PARTIAL DERIVATIVES WITH PARAMETERS

Research article

Dzhaenbaeva G.A.*

Institute of Theoretical and Applied Mathematics of the National Academy of Sciences of the Kyrgyz Republic

Bishkek, Kyrgyzstan

* Corresponding author (baytemirova2007[at]mail.ru)

Abstract

It is possible to carry out the method of transforming solutions to study the problem of solvability of the Cauchy problem for non-linear integro-differential partial differential equations. The essence of this approach is the transformation of the initial Cauchy problem into an equivalent Volterra integral equation of the second kind, to which one can apply the topological method – the principle of condensed mappings. Sufficient conditions are defined for given functions for which the original problem is solvable from the conditions of contraction of the operator u.

In this paper we study the solvability of the Cauchy problem for systems of non-linear integro-differential partial differential equations of the first order with a parameter and an integral representation of the solutions obtained. Further, for a new class of systems of non-linear integro-differential partial differential equations of the third order, sufficient conditions for the existence of solutions of the Cauchy problem are found, and, in addition, an integral representation of such solutions is constructed. In view of the non-linearity of the initial problems, sufficient conditions do not guarantee the uniqueness of the solutions obtained.

Keywords: integro-differential partial differential equations with a parameter, sufficient condition for solvability of the Cauchy problem for systems of non-linear integro-differential partial differential equations, self-mapping, principle of condensed mappings, Volterra non-linear integral equation of the second kind, space of continuous functions with its derivatives, integral representation solutions of the Cauchy problem.

В связи с требованиями практики о повышении точности анализа исследуемых явлений,  приходиться отказаться от математических моделей, которые  описываются линейными уравнениями. Большинство задач теории динамических систем практического характера, в частности задачи дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, по своей сущности являются нелинейными. Некоторые проблемы нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка, например, исследование вопроса разрешимости задачи Коши и разработка конструктивных методов построения существующих решений мало изучены. В литературе имеется несколько разных методов для исследования разрешимости нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Например, хорошо известны: классический метод характеристик, метод Галеркина, метод дополнительного аргумента. Следует отметить, что помощью метода дополнительного аргумента также удается исследовать разрешимость и уравнения выше первого порядка[3].

Исследовать разрешимость задачи Коши для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных можно провести методом преобразования решений [4], [5], [6]. Сутью такого подхода является преобразование исходной задачи Коши в эквивалентное ей интегральное уравнение, к которой можно применить топологический метод – принцип сжатых отображений. Мы в данной работе при исследовании проблему установления разрешимости начальной задачи для нелинейных систем интегро-дифференциальных уравнений в частных производных будем следовать методу предложенной в [6].

Приведем математические обозначения, используемые в данной работе: R – числовая ось, ; Е- единичная матрица;  – пространство функций f, непрерывных вместе со своими производными порядка p по первой переменной, q по второй переменной; где Ω и Λ – области в евклидовых пространствах и  соответственно;  – пространство функций f, ограниченных и непрерывных вместе с производными до соответствующего порядка;  – класс функций, удовлетворяющих условию Липшица по переменной u с коэффициентом L;

Нормой в пространстве  будем понимать отображение, которое определяется в виде 

Ι. Рассмотрим задачу Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с параметром

   (1)

где с начальным условием

   (2)

Предположение А. Пусть

Ясно, что из предположения А имеем .

Решение задачи Коши (1)-(2) ищем в виде

   (3)

где  – неизвестная вектор-функция, подлежащая определению;  и их значения будут определяться позже.

Последовательно дифференцируя по t и x, y соотношение (3), имеем

Тогда 

Умножая обе части последнего уравнения на ε, имеем

   (4)

Учитывая (3) вычислим соотношение

   (5)

С учетом соотношений (4) и (5), получим следующие равенства

Отсюда, учитывая (3), находим неизвестную вектор-функцию

    (6)

где [*] обозначает правую часть соотношения (3). Уравнение (6) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, относительно неизвестной вектор-функции . Правую часть обозначим как оператор PQ.

К нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода (6) будем применять принцип сжатых отображений.

Рассмотрим шар .

Отметим, что  величины  и h будут определены ниже.

Пусть 

Из (6) в силу предположения А  имеем 

Выберем  так, чтобы

    (7)

Тогда, ясно, что  Будем считать   и h такими, что 

Тогда оператор отображает шар Q в себя, т.е. .

Покажем теперь, что оператор P  и является оператором сжатия. Из (6),  используя предположения А, получаем

 (8)

Тогда из (8), (7) следует что РQ есть оператор сжатия на шаре Q. По принципу сжатых отображений уравнение (6) имеет единственное решение . Подставив найденную вектор-функцию в (3), получим искомое решение задачи Коши (1), (2).

Очевидно, что условие (2) выполнится, если положить в (3) значение t=1.

Изучим теперь дифференциальные свойства решений начальной задачи (1)-(2). Для всех D из равенства (3) следует неравенство

Аналогично, из соотношений (3П) можно доказать, что все производные входящие в уравнение (1), в D равномерно ограничены.

Сформулируем полученные нами результаты.

Теорема 1. Предположим, что выполнены условия (А). Тогда , такое, что начальная задача (1), (2) имеет решение , причем, эти  решения имеют интегральное представление в виде (3).

Замечание 1. В силу нелинейности начальной задачи (1), (2), выполнение условия (А), вообще говоря, не гарантирует единственность полученных решений.

II. Рассмотрим задачу Коши для системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка

   (9)

с начальным условием (2), а функции  такие же, как в пункте I. Решение задачи Коши (9), (2) будем искать в виде

    (10)

где  – неизвестная функция, подлежащая определению;  - некоторые положительные постоянные, которые будут определяться позже.

Из (10) находим частные производные первого и второго порядка функции , т.е.

Тогда из (9), учитывая (11)–(13) имеем    (14) где  обозначает правую часть соотношения (10). Из (14) имеем    (15)

К нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода (15) применим принцип сжатых отображений.

Условия (С). Предположим, что 

Ясно, что . Рассмотрим шар причем величина h будет, определяется ниже. Из (15) имеем Выберем  и h так, чтобы     (16)    (17)

В силу выбора (17), оператор PQ  переводит шар  в себя.

Покажем теперь, что оператор PQ  и является оператором сжатия.

Покажем теперь, что оператор P  и является оператором сжатия. Из соотношения (15)  получаем

Заметим, что Аналогично Из (15),  используя условия (C) получаем    (18)

Тогда из (16), (18) следует что РQ есть оператор сжатия на шаре . По принципу сжатых отображений уравнение (15) имеет единственное решение в шаре . Подставив найденную функцию  в (10) находим искомое решение начальной задачи (9), (2).

Теорема 2. Пусть выполнены условия (C). Тогда , такое, что начальная задача (9), (2) имеет решение , причем, эти  решения имеют интегральное представление в виде (10).

Замечание 2. В силу нелинейности начальной задачи (9), (2), выполнение условия (С), вообще говоря, не гарантирует единственность полученных решений.

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

1. Байзаков А.Б. Разрешимость и структура решений начальной задачи интегро-дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка / Байзаков А.Б., Джээнбаева Г.А. // Наука, новые технологии и инновации. – Бишкек, 2017. – №5. – С.100-104.
2. Bayzakov A.B. On the initial problem of integro- differential equation in partial derivatives of the third order  / Bayzakov A.B., Aitbaev K.A., Asankulova A.S. // Abstracts of VI Congress of the Turkic World Mathematical Society. – Astana, 2017. – P. 44.
3. Иманалиев Т.М. Обоснование и развитие метода дополнительного аргумента для решения дифференциальных уравнений в частных производных: Дисс. докт. физ.-мат.наук: 01.01.02 / Иманалиев Т.М. // – Бишкек, 2000. 128 с.
4. Иманалиев М.И. Сингулярно-возмущенное дифференциальное уравнение второго порядка с точкой поворота / Иманалиев М.И., Какишов К.К., Какишов Ж.К. // Тез. докл. межд. науч. конф.: «Актуальные проблемы дифференц. уравнений и мат. физики». – Алматы, 2005. – С. 94.
5. Иманалиев М.И. О задачах Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными шестого порядка / Иманалиев М.И., Иманалиев Т.М., Какишов К. // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. –Бишкек: Илим, 2007. вып. 36. – С. 19-28.
6. Байзаков А.Б. Методы преобразования решений в аналитической и асимптотической теории дифференциальных и интегральных уравнений [Текст]: автореф. дис. … д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Байзаков А.Б. // – Бишкек, 2011. – 31 с.
7. Байзаков А.Б. Разрешимость и структура начальной задачи сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с точкой поворота / Байзаков А.Б, Кыдыралиев Т.Р. // Ижевск, 2016. № 5(53). – С. 22-27
8. Кыдыралиев Т.Р. О задаче Коши нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с комплексными параметрами / Кыдыралиев Т. // – Ижевск, 2016. № 3(55). – С. 16-20
9. Айтбаев К.А. Разрешимость и структура решений дифференциальных и интегральных: автореф. дис. … канд.ф.-м.н.:01.01.02 / Айтбаев К.А. – Бишкек, 2016. – 18с.
10. Байзаков А.Б. О разрешимости начальной задачи сингулярно-возмущенной интегро-дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка / Байзаков А.Б., Джээнбаева Г.А. Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии: инновации в науке и образовании» (Актюбинский региональный государственный университет им. К.Жубанова).- г.Актюбинск, 2015. – С. 130-132.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Bayzakov A.B. Razreshimost i struktura reshenii nachalnoi zadachi integro-differentsialnykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh chetvertogo poriadka [Solvability and Structure of Solutions of Initial Problem of Integro-differential Partial Differential Equations of the Fourth Order] / Bayzakov A.B., Dzhaenbaeva G.A. // Nauka, novyye tekhnologii i innovatsii [Science, New Technologies and Innovations]. - Bishkek, 2017. - No.5. - P.100-104. [in Russian]
2. Bayzakov A.B. On the initial problem of integro- differential equation in partial derivatives of the third order / Bayzakov A.B., Aitbaev K.A., Asankulova A.S. // Tezisy VI s"yezda Tyurkskogo mirovogo matematicheskogo obshchestva [Abstracts of VI Congress of the Turkic World Mathematical Society]. – Astana, 2017. – P. 44. [in Russian]
3. Imanaliev T.M. Obosnovanie i razvitie metoda dopolnitelnogo argumenta dlia resheniya differentsialnykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh: Diss…. dokt. fiz.-mat.nauk: 01.01.02 [Substantiation and Development of the Method of an Additional Argument for Solving Partial Differential Equations: Thesis of PhD in Physics and Mathematics: 01.01.02] / Imanaliev T.M.// – Bishkek, 2000. 128 p. [in Russian]
4. Imanaliev M.I. Singuliarno-vozmushchennoe differentsialnoe uravnenie vtorogo poriadka s tochkoi povorota [Singularly Perturbed Second-Order Differential Equation with Pivot Point] / Imanaliev M.I., Kakishov K.К., Kakishov Zh.K.// Tezisy nauch prakt. konf: «Aktual'nyye problemy differentsiala. Uravneniya i mat. Fizika [Thesis of Int. Sci. Conf.: “Topical Problems of Differential. Equations and Mat. Physics.”] - Almaty, 2005. - P. 94. [in Russian]
5. Imanaliev M.I. O zadachakh Koshi dlia nelineinykh differentsialnykh uravnenii s chastnymi proizvodnymi shestogo poriadka [On Cauchy Problems for Non-linear Partial Differential Equations of the Sixth Order] / Imanaliev M.I., Kakishov K.К., Kakishov Zh.K.// Izucheniye integro-differentsiala. uravneniya [Study of Integro-differen. Equations]. – Bishkek: Ilim, 2007. Issue 36. - P. 19-28. [in Russian]
6. Bayzakov A.B. Metody preobrazovaniya reshenii v analiticheskoi i asimptoticheskoi teorii differentsialnykh i integralnykh uravnenii [Tekst]: avtoref. dis. … d-ra fiz.-mat. nauk: 01.01.02 [Methods of Transforming Solutions in Analytic and Asymptotic Theory of Differential and Integral Equations [Text]: Author's abstract. of PhD in Math. Sciences: 01.01.02] / Bayzakov A.B.// – Bishkek, 2011. – 31 p. [in Russian]
7. Bayzakov A.B. Razreshimost i struktura nachalnoi zadachi singuliarno-vozmushchennykh integro-differentsialnykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh pervogo poriadka s tochkoi povorota [Solvability and Structure of Initial Problem of Singularly Perturbed First-order Integro-differential Partial Differential Equations with Pivot Point] / Bayzakov A.B., Kydyraliev T.R.// – Izhevsk, 2016. No. 5 (53). - P. 22-27 [in Russian]
8. Kydyraliev T.R. O zadache Koshi nelineinykh differentsialnykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh vtorogo poriadka s kompleksnymi parametrami [On the Cauchy Problem of Second Order Non-linear Partial Differential Equations with Complex Parameters] / Kydyraliev T.R.// – Izhevsk, 2016. No. 3(55). – P. 16-20
9. Aitbaev K.A. Razreshimost i struktura reshenii differentsialnykh i integralnykh: avtoref. dis. … kand.f.-m.n.:01.01.02 [Solvability and Structure of Solutions of Differential and Integral: Author's abstract of PhD in Physics and Mathematics: 01.01.02] / Aitbaev K.A. –Bishkek, 2016. –18 p. [in Russian]
10. Bayzakov A.B. O razreshimosti nachalnoi zadachi singuliarno-vozmushchennoi integro-differentsialnykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh tretiego poriadka [On Solvability of the Initial Problem of Singular-Perturbed Integro-differential Partial Differential Equations of the Third Order] / Bayzakov A.B., Dzhaenbaeva G.A. // Mezhdunarodnaya nauchno-prakticheskaya konferentsiya «Informatsionnyye tekhnologii: innovatsii v nauke i obrazovanii» (Aktyubinskiy oblastnoy gosudarstvennyy universitet im. K. Zhubanova) [International Scientific and Practical Conference "Information Technologies: Innovations in Science and Education" (Aktubinsk Regional State University named after K.Zhubanov)] .- Aktobe City, 2015. - P. 130-132. [in Russian]