АЛГОРИТМ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ESO

Брюхова К.С.¹, Максимов П.В.²

¹Магистрант, ²Кандидат технических наук, доцент, Пермский национальный исследовательский политехнический университет

АЛГОРИТМ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ESO

Аннотация

В работе представлено решение задачи топологической оптимизации опорной конструкции. Разработан алгоритм топологической оптимизации, использующий критерий, учитывающий распределение напряжений в конструкции. Алгоритм написан на языке APDL ANSYS. В представленных результатах присутствует примеры оптимизации конструкции с различными значениями параметра оптимизации. При использовании представленного в работе алгоритма получена оптимизированная конструкция, в которой появляются участки, представляющее собой подобие балочно-стержневых конструкций.

Ключевые слова: топологическая оптимизация, метод конечных элементов, ANSYS, методы оптимизации.

Bryukhova K.S.¹, Maksimov P.V.²

¹Master student, ²PhD in Engineering, associate professor, Perm National Research Polytechnic University

THE ALGORITHM OF TOPOLOGY OPTIMIZATION BASED ON THE ESO-METHOD

Abstract

The paper presents a solution to the problem of the topological optimization of the support structure of the shop. The algorithm uses the topological optimization criterion taking into account the distribution of stresses in the structure. The algorithm is written in apdl ANSYS. The results of the present represented by examples of design optimization with different values of the optimization parameter. When using the algorithm presented in this work, the optimized design is obtained, in which there are areas representing the similarity of rod structures.

Keywords: topological optimization, finite elements method, ANSYS, optimization methods.

Топологическая оптимизация – математический подход, решающий проблему оптимального распределения материала в ограниченном пространстве с учетом действующих нагрузок и граничных условий таким образом, чтобы решение удовлетворяло требуемым условиям. При этом анализ конструкции выполняется методом конечных элементов, в то время как сама оптимизация может выполняться одним из известных методов оптимизации.

Постановка задачи топологической оптимизации

Один из подходов топологической оптимизации состоит в минимизации податливости и максимизации функции жесткости, при ограничениях в виде граничных условий и условий нагружения. Так же в приоритете стоит максимальное достижение в конструкции состояния равнопрочности.

Формула пересчета перегруженности модели, с учетом распределения напряжений в конструкции выглядит следующим образом:

σ= σ_min/σ_max,    (1)

где σ_min, σ_max – минимальное и максимальное значение интенсивности напряжений по Мизесу, найденные среди всего набора значений интенсивностей, вычисленных в центральных точках конечных элементов.

Описание разработанного алгоритма топологической оптимизации

Решается задача о разработке алгоритма топологической оптимизации на основе метода ESO. Математическая основа метода ESO достаточно проста. В текущей работе принято решение усложнить описываемым образом известный метод, а в последующем заимствовать и интегрировать в модифицированный алгоритм некоторый функционал метода BESO.

Для решения данной задачи предлагается следующий алгоритм:

1. Заданная проектная область подробно разбивается на конечные элементы. Для построенной конечно-элементной модели задаются граничные условия и условия нагружения.
2. Производится расчет напряженно деформированного состояния конструкции.
3. Определяется максимальное и минимально эквивалентное напряжение по Мизесу в центральных точках каждого элемента, они потребуются для дальнейших расчетов.
4. Производится расчет критерия оптимизации

φ = (σ_max – σ_min)*e – σ_min,     (2)

где  φ – критерий оптимизации; e – коэффициент оптимизации, который на текущем этапе подобран после ряда численных экспериментов, коэффициент дает лучшие результаты с точки зрения сходимости (сходится быстрее за меньшее количество итераций). Так же, благодаря подобранному параметру, конструкция быстрее становиться равнопрочной, то есть указанный далее коэффициент перегруженности модели достигает нужного значения близкого к единице.

Очень часто при топологической оптимизации конструкций возникает проблема, когда элементы располагаются как бы в шахматном порядке, то есть связь, между двумя существующими элементами, производится только за счет одного узла, что в последующем требует дополнительной инженерной доработки уже после выполнения топологической оптимизации конструкции. При подобранном критерии и при более мелкой сетке такая проблема практически исчезает. Понятно, что если же сетка будет недостаточно мелкой, то конструкция будет выглядеть более грубо и критерий оптимизации не сможет полностью решить сложившуюся проблему.

Так же благодаря данному критерию последующее распределение напряжений будет более гладким.

5. Определяется общая характеристика распределения напряжений в конструкции. Для этого рассчитывается отношение минимального эквивалентного напряжения к максимальному эквивалентному напряжению во всей оптимизированной конструкции, а после записывается получившееся значение. Тем самым становиться возможно определить равнопрочность конструкции, в идеале данное отношение должно стремиться к единице.
6. Производится вычисление массы. Вычисление массы может производиться на каждой итерации, чтобы далее было возможно качественно и количественно оценить падение массы в процессе топологической оптимизации конструкции.
7. Производится проверка значения критерия оптимизации во всех элементах, если он ниже полученного значения, то записывается номер соответствующего элемента в специальный массив, который будеv использоваться на следующем шаге.
8. Проверяется, является ли конструкция равнопрочной. То есть рассматривается значение, записанное на шаге 5. Если это значение равно или выше заданного значения (заданное значение должно быть меньше единицы или равно ему, смотря, какого результата необходимо добиться), то конструкция является равнопрочной, а цикл завершается, и пункт 9 не выполняется (в случает с циклом while это условие является условием выхода из цикла), а выполняются пункты, следующие за пунктом 10, которые уже не входят в цикл по элементам. В противном случае выполняются последующие шаги, и цикл начинается заново.
9. С использованием технологии умерщвления элементов, представленной в пакете ANSYS (EKILL) исключаются из расчета элементы, номера которых записывались на шаге 7.

При умерщвлении конечного элемента программа ANSYS фактически не удаляет "убитые" элементы. Вместо этого она деактивирует их, умножая их жесткость (или проводимость, или другой аналогичный параметр) на коэффициент уменьшения (ESTIF). Этот коэффициент по умолчанию равен 1.0E-6, но можно задать и другие значения.

10. Проводится расчет напряженно деформированного состояния для оптимизированной конструкции.
11. В программе установлен счетчик, по которому пользователь сможет определить номер итерации, на которой он остановился, либо остановилась сама программа.

В текущей реализации модифицированного алгоритма, как и в методе ESO, не предполагается «серых» областей.

Процесс топологической оптимизации конструкции носит итерационный характер, на каждом шаге которого при помощи метода конечных элементов определяется напряженно-деформированное состояние, реализуемое в конструкции с измененной конфигурацией при заданных силовых и кинематических граничных условиях.

Результаты работы алгоритма топологической оптимизации

Продемонстрируем работу алгоритма топологической оптимизации, реализованного с помощью метода конечных элементов в пакете ANSYS, для плоской задачи теории упругости на примере кронштейна (рисунок 1), имеющего в начальном состоянии форму прямоугольника.

Рис.1 – Начальная расчетная схема

 

Кронштейн жестко закреплен по левой стороне. На кронштейн сверху действует распределенная нагрузка. Требуется найти такую форму кронштейна, при которой последний будет иметь наименьшую массу, но при этом конструкция должна быть равнопрочной (то есть отношение минимального напряжения конструкции к максимальному должно быть близко к единице).

На рисунке 2 показана последовательно изменяющаяся в результате оптимизации форма кронштейна:

Рис.2 – Формы кронштейна на различных шагах оптимизации

 

На рисунке 2 представлены шаги итерационного процесса оптимизации, критерием “умерщвления” элементов являлось достижение эквивалентными напряжениями по Мизесу значений, заданных по формуле (2). Наблюдается образование условно балочно-стержневой конструкции, представляющей собой взаимно перпендикулярные стержни. При этом, в ходе оптимизации количество этих стержней уменьшается. Так стержни, направленные из нижнего левого угла в верхний правый угол, сохраняют свое количество, при этом уменьшая толщину. Перпендикулярные же им стержни постепенно разгружаются и в итоге пропадают. В частности, основную нагрузку воспринимает один стержень, расположенный посередине.

Заключение

При использовании представленного в работе алгоритма получена оптимизированная конструкция, в которой появляются участки, представляющие собой подобие тонких балочно-стержневых элементов. В текущей постановке вопросы потери устойчивости таких элементов не рассматривались. В дальнейшем планируется учитывать критерий потери устойчивости прямо в ходе итерационного процесса.

После проведения ряда численных экспериментов подобран оптимальный критерий оптимизации для заданной конструкции.

В дальнейшем планируется учет в алгоритме более сложных критериев оптимизации разработанного критерия, а также модификация предложенного алгоритма оптимизации. Предлагается введение «замороженных» неизменяемых областей, к которым, в первую очередь, должны быть отнесены границы приложения нагрузок, области закреплений.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (договор №02.G25.31.0168 от 01.12.2015 г. в рамках реализации постановления Правительства РФ № 218)

Литература

1. Bendsoe, Martin P. Topology Optimization: Theory, methods and applications / Martin P. Bendsoe // Ole Sigmund. – Germany : Springer, 1995. –370 c.
2. Сысоева В.В., Чедрик В.В. Алгоритмы оптимизации топологии силовых конструкций // ученые записки ЦАГИ, том XLII. –с.91-102. –2011
3. Джилавян С.А., Хуршудян Ас.Ж. Оптимизация топологии упругого основания прямоугольной пластинки, подверженной воздействию подвижной нагрузки // XII всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ–2014. –с.1745-1756. –2014.
4. Яров В.А., Прасоленко Е.В. СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ // Вестник ТГАСУ № 3. –с.89-102. –2011.
5. Rozvany G.I.N., Zhou N., Sigmund O. Topology Optimization in Structural Design // In: Advances in Design Optimization. – Adeli, 1994, London. –p.240–299.

References

1. Bendsoe, Martin P. Topology Optimization: Theory, methods and applications / Martin P. Bendsoe // Ole Sigmund. – Germany : Springer, 1995. –370 c.
2. Sysoeva V.V., CHedrik V.V. Algoritmy optimizacii topologii silovyh konstrukcij // uchenye zapiski CAGI, tom XLII. –s.91-102. –2011.
3. Dzhilavyan S.A., Hurshudyan As.ZH. Optimizaciya topologii uprugogo osnovaniya pryamougol'noj plastinki, podverzhennoj vozdejstviyu podvizhnoj nagruzki // XII vserossijskoe soveshchanie po problemam upravleniya VSPU–2014. –s.1745-1756. –2014.
4. YArov V.A., Prasolenko E.V. STROITEL'NYE KONSTRUKCII ZDANIYA I SOORUZHENIYA // Vestnik TGASU № 3. –s.89-102. –2011
5. Rozvany G.I.N., Zhou N., Sigmund O. Topology Optimization in Structural Design // In: Advances in Design Optimization. – Adeli, 1994, London. –p.240–299.