МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ТРАЕКТОРНО-ВОЛНОВОГО ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТА

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ТРАЕКТОРНО-ВОЛНОВОГО ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТА

Научная статья

Валишин Н.Т.^1, *, Волков И.А.², Селиванова В.А.³

¹ ORCID: 0000-0002-2972-0613;

^{1, 2, 3} Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н.Туполева-КАИ, Казань, Россия

* Корреспондирующий автор (vnailt[at]yandex.ru)

Аннотация

Формулируются локальный вариационный принцип (ЛВП), теорема о необходимом и достаточном условии существования V-функции, теорема о волне и траектории, рассматриваются прямая и обратная задачи динамики в новой постановке, которые составляют суть метода V-функции. Из метода V-функции следует, что волновое движение объекта неразрывно связано с его траекторным движением. Траекторное движение объекта описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а волновое движение моделируется уравнением в частных производных второго порядка. На базе метода V-функции оптико-механической аналогия получает новое продолжение. Показывается, что по физическому смыслу амплитуда волны  определяется действием, которое проявляется в движении объекта (частицы). Устанавливается, что энергетические уровни, полученные с помощью метода V-функции для случая прямолинейного равномерного движения квантового объекта, полностью совпадают с классическими результатами Шредингера для гармонического осциллятора.

Ключевые слова: вариационный принцип, волновая функция, волновое движение, траекторное движение, оптико-механическая аналогия.

MODELING OF RECTILINEAR TRAJECTORY-WAVE MOTION OF AN OBJECT

Research article

Valishin N.T.^1, *, Volkov I.A.², Selivanova V.A.³

¹ ORCID: 0000-0002-2972-0613;

^{1, 2, 3} Kazan National Research Technical University named after A. N. Tupolev-KAI, Russia, Kazan

* Corresponding author (vnailt[at]yandex.ru)

Abstract

The current study formulates the local variational principle (LVP), the theorem on the necessary and sufficient condition for the existence of a V-function, the wave and trajectory theorem, examines the direct and inverse problems of dynamics in a new formulation, which are the essence of the V-function method. The V-function method indicates that the wave motion of an object is inextricably linked with its trajectory motion. The trajectory motion of an object is described by a system of ordinary differential equations, and the wave motion is modeled by a second-order partial differential equation.  On the basis of the V-function method, the optical-mechanical analogy receives a new continuation. It is shown that in the physical sense, the wave amplitude is determined by an action that manifests itself in the movement of an object (particle). It is established that the energy levels obtained using the V-function method for the case of rectilinear uniform motion of a quantum object completely coincide with the classical Schrodinger results for a harmonic oscillator.

Keywords: variational principle, wave function, wave motion, trajectory motion, optical-mechanical analogy.

Введение

Данные исследования проводились в рамках продолжения Четаевской традиции. Н.Г.Четаев ввел постулат устойчивости [1], который является обобщением концепции возмущенного-невозмущенного движения, предложенной Ляпуновым для исследования задач устойчивости. В рамках концепции возмущенного-невозмущенного движения можно рассматривать также теорию управления, вариационные принципы механики. Здесь невозмущенное движение, и возмущенное движение имеют природу траектории, что имеет принципиальное значение. Поэтому, исходя из существующих вариационных принципов, оптико-механическая аналогия проводится только на уровне геометрической оптики [2]. Н.Г.Четаев же провел оптико-механическую аналогию на уровне волновой оптики, принимая, что всегда имеются неучтенные возмущения и они приводят к волновому движению.

Метод V-функции

Суть метода V-функции состоит в изначальном введении в математическое моделирование волновых измерений реальности. Такая постановка стала возможной на базе концепции процесса-состояния [3]. Опираясь на концепцию процесса-состояния, был сформулирован локальный вариационный принцип (ЛВП) с базовыми теоремами, была осуществлена новая постановка прямой и обратной задачи динамики [4], [6], [10].

Формулировка ЛВП:

Из всех возможных переходов в новое состояние осуществляется тот, при котором в каждый момент времени быстрота изменения волновой функции V(x,t) принимает стационарное значение

  (1)

где δ(.) - операция изохронной вариации; волновая функция есть кусочно-непрерывная, однозначная, конечная V-функция, удовлетворяющая уравнению:

   (2)

 — n-мерный вектор правых частей траекторных уравнений движения объекта:

    (3)

где x - n-мерный вектор фазовых координат.

Теорема о необходимом и достаточном условии существования V-функции:

Теорема I. Для перехода в новое состояние необходимо и достаточно существование V-функции, удовлетворяющей условию:

    (4)

где  - операция полной вариации.

Приведем также теорему о волне и траектории:

Теорема II. Движение объекта (3) происходит так, что в каждый момент времени вектор фазовой скорости сонаправлен с градиентом волновой функции т.е.

    (5)

Данная теорема показывает, что волна управляет движением объекта, т.е. она согласуется с концепцией волна-пилот Луи де Бройля, выдвинутый им для объяснения корпускулярно-волнового дуализма [9].

На базе метода V-функции прямую задачу динамики можно поставить в следующем виде:

Заданы дифференциальные уравнения, описывающие траекторию движения объекта (3).

Требуется определить волновую функцию V(x,t), удовлетворяющей уравнению (2).

Начальные и граничные условия для уравнения (2) вытекают из условий связанности волны с траекторией и теорем I и II.

Обратная задача динамики на базе метода V-функции ставится следующим образом:

Для заданной волновой функции V(x,t), удовлетворяющей уравнению (2), которую запишем в виде

    (10)

требуется определить траекторные уравнения движения объекта (3).

При заданной волновой функции из (5) сразу следует решение обратной задачи динамики:

    (11)

Рассмотрим решение прямой и обратной задачи динамики для случая равномерного прямолинейного движения объекта с постоянной скоростью. Тогда уравнения (3) и (2) принимают вид:

Если подставить правую часть уравнения (12) в уравнение (13) мы получим классическое волновое уравнение:

    (14)

для которого условия (6)-(7) остаются такими же, а (8)-(9) принимают вид:

    (15)

Для решения уравнения (14) с начальными и граничными условиями (6),(7),(15) применим метод разделения переменных 

    (16)

Тогда общее решение уравнения (14) принимает вид:

    (17)

Выразим константы в (17) через начальные и граничные условия (6), (7), (15), т.е.    (18) Отсюда получим Подставляя значения констант в (17), будем иметь:     (19) Будем рассматривать распространение волны в направлении движения объекта, тогда из (19) получим V-функцию в таком виде:    (20) Надо отметить, исходя из метода V-функции, решение (20) должно удовлетворять условию: Постоянная в правой части (22) действительное число, поэтому для того, чтобы удовлетворить условию (21), фаза должна принимать дискретные значения    (23) Так как , то равенство (23) принимает вид:     (24) Продолжение оптико-механической аналогии Рассмотрим свободное прямолинейное движение частицы со скоростью . Траекторному движению частицы, как следует из (14) соответствует волновое движение. Пусть в (20)    (25)

где h - постоянная Планка. Тогда из (22) с учетом (23) и (24) следует правило квантования энергии, такое же как у Шредингера в случае планковского осциллятора. При этом из равенства (11) с учетом (20),(25) получаем

  (26)

Отсюда с учетом размерности действия  следует, что

   (27)

где m - масса частицы. Используя полученные результаты, можно провести такие соответствия между волной и частицей

     (28)

Первое соотношение (28) показывает равенство скорости частицы и фазовой скорости волны. В результате решения обратной задачи получается условие квантования энергии и при этом из второго соотношения в (28) следует, что энергия переносится частицей. Исходя из третьего соотношения в (28), импульс частицы определяет длину волны, что совпадает с известной формулой Луи де Бройля.

Заключение

По физическому смыслу волна  характеризует свойства действия, проявляющегося в движении частицы. Таким образом, волна своим узлом связана с местоположением частицы и таким образом ведёт её, вместе с тем и частица (траектория) порождает распространяющуюся с ней волну. Проведенные исследования показывают что, если волновая функция (V-функция ) имеет размерность действия (), то квантование энергии объекта (частицы) для случая равномерного прямолинейного движения происходит по такому же правилу, что и у Шредингера для гармонического осциллятора [11].

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

1. Chetaev N.G. The Stability of Motion / N.G. Chetaev // The Works on Analytical Mechanics. Moscow: Publishing house Acad. Nauk SSSR. 1962.
2. Polak L.S. The Variational Principles of Mechanics and Their Development and Application in Physics / L.S. Polak. Moscow: Fizmatgiz. 1960.
3. Valishin F. T. The problem of the beginning and the strategy of dynamism / F. T. Valishin. Moscow: Encyclopedist-Maximum. 2018.
4. Valishin N.T. Variational principle and the problems dynamics / F. T. Valishin // Life Science Journal. 2014, 11(8), pp. 568-574
5. Valishin N.T. An Optical-Mechanical Analogy And The Problems Of The Trajectory-Wave Dynamics / F. T. Valishin // Global Journal of Pure and Applied Mathematics. Volume 12, Number 4 (2016), pp. 2935-2951
6. Valishin N.T. Application of the method of V-functionfor solving direct and inverse dynamics problems for the motion of an object in the central force field / N.T. Valishin, K.E. Pavlova, A.I. Khalilova // Vestn. Tupolev Kazan Gos. Tekhn. Univ., 2010. 3: 84–92.
7. Valishin N. T. V-Function Method: Some Solutions Of Direct And Inverse Dynamics Problems / N. T. Valishin, F. T. Valishin // A New Statement Latvian Journal Of Physics And Technical Sciences 2019. 1 70-81
8. Valishin N. A method of V-function: ultimate solution to the direct and inverse problems of dynamics for a hydrogen-like atom / N. Valishin, S. Moiseev // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2017. 5(88) 23-32
9. Valishin N. T. To Physical Statement of a Controllability Problem / N. T. Valishin // Jour of Adv Research in Dynamical & Control Systems 2019. 11(5) 1708-13
10. Valishin, N.Т. A Trajectory-Wave Approach to Electron Dynamics in a Hydrogen Atom / N.Т. Valishin, F.T. Valishin, S.A. Moiseev // Butlerov Proc., 2011. 25(5): 1–12.
11. Schrödinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem (I Mitt) / E. Schrödinger // Annalen der Physik, 1926, Bd 79, S.361-376; (II Mitt) – Ibid., S.489-527; (III Mitt) – Ibid., Bd 80, S.437-490; (4 Mitt) – Ibid., Bd 81

Список литературы на английском языке / References in English

1. Chetaev N.G. The Stability of Motion / N.G. Chetaev // The Works on Analytical Mechanics. Moscow: Publishing house Acad. Nauk SSSR. 1962.
2. Polak L.S. The Variational Principles of Mechanics and Their Development and Application in Physics / L.S. Polak. Moscow: Fizmatgiz. 1960.
3. Valishin F. T. The problem of the beginning and the strategy of dynamism / F. T. Valishin. Moscow: Encyclopedist-Maximum. 2018.
4. Valishin N.T. Variational principle and the problems dynamics / F. T. Valishin // Life Science Journal. 2014, 11(8), pp. 568-574
5. Valishin N.T. An Optical-Mechanical Analogy And The Problems Of The Trajectory-Wave Dynamics / F. T. Valishin // Global Journal of Pure and Applied Mathematics. Volume 12, Number 4 (2016), pp. 2935-2951
6. Valishin N.T. Application of the method of V-functionfor solving direct and inverse dynamics problems for the motion of an object in the central force field / N.T. Valishin, K.E. Pavlova, A.I. Khalilova // Vestn. Tupolev Kazan Gos. Tekhn. Univ., 2010. 3: 84–92.
7. Valishin N. T. V-Function Method: Some Solutions Of Direct And Inverse Dynamics Problems / N. T. Valishin, F. T. Valishin // A New Statement Latvian Journal Of Physics And Technical Sciences 2019. 1 70-81
8. Valishin N. A method of V-function: ultimate solution to the direct and inverse problems of dynamics for a hydrogen-like atom / N. Valishin, S. Moiseev // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2017. 5(88) 23-32.
9. Valishin N. T. To Physical Statement of a Controllability Problem / N. T. Valishin // Jour of Adv Research in Dynamical & Control Systems 2019. 11(5) 1708-13.
10. Valishin, N.Т. A Trajectory-Wave Approach to Electron Dynamics in a Hydrogen Atom / N.Т. Valishin, F.T. Valishin, S.A. Moiseev // Butlerov Proc., 2011. 25(5): 1–12.
11. Schrödinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem [Quantization as Eigenvalue Problem] (I Mitt) / E. Schrödinger // Annalen der Physik [Annals of Physics], 1926, Bd 79, P.361-376; (II Mitt) – Ibid., P.489-527; (III Mitt) – Ibid., Bd 80, P.437-490; (4 Mitt) – Ibid., Bd 81. [in German]