НОВОЕ В ТЕОРИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Научная статья
Выпуск: № 7 (38), 2015
Опубликована:
2015/08/15
PDF

Некрестьянова Ю.Н.

Аспирант, Государственный университет управления

НОВОЕ В ТЕОРИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Аннотация

В статье решена задача нахождения точки рыночного равновесия (где доход от производственной функции равен издержкам производства, при этом равны и max приросты их изменения) тремя различными способами: градиентным методом; методом Лагранжа; методом оптимальных весовых коэффициентов (метод, предложенный автором статьи). Тождественность результата – это доказательство достоверности метода оптимальных весовых коэффициентов.

Ключевые слова: производственная функция, принцип наименьшего действия, оптимальные весовые коэффициенты.

Nekrestianova U.N.

 Postgraduate student, State University of management

NEW IN THE THEORY OF PRODUCTION FUNCTIONS

Abstract

The article solves the problem of finding the point of market equilibrium (where the income from the production function is equal to cost of production, equal and max gain their modifications) in three different ways: gradient method; the method of Lagrange; by the method of optimal weighting coefficients (method proposed by the author of the article). The identity of the result is proof of the validity of the method of optimal weighting coefficients.

Keywords: production function, the principle of least action, optimal weighting coefficients.

Теория производственных функций давно и широко используется в экономической науке для решения задач как макро, так и микро экономики (например, в теории фирмы). Преподавание теории производственных функций обычно осуществляется на примере функций двух переменных (например, [1]), так как в этом случае легко использовать геометрические иллюстрации и доказательства. В качестве типичной производственной функции двух переменных используется известная функция Кобба-Дугласа в виде:

11-08-2015 10-36-12   (1)

Чаще ее представляют в виде:

11-08-2015 10-36-25   (2)

Параметры a0, a1, a2 обычно определяются путем обработки статистической информации, то есть апостериори (после опыта), что плохо для прогнозов. Производственная функция (2) – это функция дохода от макроэкономики (отрасли, региона, страны в целом). Под переменными (параметрами производства) K и L понимаются объемы привлекаемых в экономику за рассматриваемый временной интервал «T» капиталов (K) и затрат средств на трудовые ресурсы (L), функция издержек при этом имеет вид:

11-08-2015 10-37-27   (3)

Где b1, b2 – коэффициенты инфляции (средние) за период «Т».

Сразу же отметим важный факт, что g(x) является однородной функцией со степенью однородности единица. Это следует из того, что

11-08-2015 10-38-31   (4)

Из теории известно, что всегда существует точка  так называемого рыночного равновесия и в этой точке x*=(x1*,x2*) значения дохода  f(x*) и издержек g(x*) равны, то есть

11-08-2015 10-40-23  (5)

Из равенств (5) очевидно следует, что

11-08-2015 10-40-35   (6)

То есть по определению однородной функции f(x) – однородна со степенью однородности единица. Таким образом f(x) и g(x) всегда будут иметь одинаковую степень однородности. Так как из вида (2) производственной функции f(x) следует, что

11-08-2015 10-42-32

то получаем требование:

11-08-2015 10-42-40   (7)

Таким образом, параметры a1 и a2 можно рассматривать как весовые коэффициенты факторов производства K и L. Это очень важный результат, который при достаточно достоверной и объемной статистической выборке должен подтверждаться на практике. И действительно, в работ [3] это подтверждение есть. Для макроэкономической производственный функции Кобба-Дугласа в [3] для экономики США приведены значения параметров  и , полученные разными авторами для различных базовых временных промежутков. При этом особо подчеркивается, что авторами априори не предполагалось, что (a1+a2)=1. В таблице 1 представлены лишь два из представленных в работе [3] результата полученных известными в мире экономистами (Дугласом и Солоу).

Таблица 1 - Значения параметров a1 и a211-08-2015 10-43-37

Из [3] и таблицы 1 следует, что a1 a2 и что a1  и a2 отстоят от 1/2 на одном расстоянии, то есть ā – a1 a2 - ā. При этом (a1 + a2) = 1. Однако главный результат получен в [2], где показано, что существуют оптимальные значения весовых коэффициентов 11-08-2015 10-47-42 по критерию принципа наименьшего действия. При этом не только всегда 11-08-2015 10-47-59, но и существуют конкретные оптимальные числовые значения весовых коэффициентов 11-08-2015 10-47-42, которые являются функциями их числа n. В случае n = 2 получаются оптимальные значения a1 = 0,382 b a2 = 0,618. Это известное «золотое сечение» единицы на две оптимальные части (при этом 0,5 – 0,382 = 0,618 – 0,5 = 0,118). Это подтверждается, учитывая статистическую погрешность, и таблица 1 (особенно результат Солоу). В работе [2] получена формула расчета оптимальных значений весовых коэффициентов ai в случае произвольного их числа n в виде:

11-08-2015 10-52-26   (8)

Здесь p > 0 – максимальный действительный корень полинома вида: 11-08-2015 10-52-36. Таким образом для производственной функции Кобба-Дугласа получаем оптимальный вариант 11-08-2015 10-53-02; 11-08-2015 10-53-23; a0 = const. То есть

11-08-2015 10-54-21   (9)

Для многофакторных производственных функций известна производственная функция Ричарда Стоуна, следующего вида:

11-08-2015 10-54-36   (10)

где 11-08-2015 10-54-48. Здесь также оптимальный вариант будет при ai определяемых по формулам (8), причем 11-08-2015 10-55-12. Таким образом доказано, что в теории производственных функций типа Ричарда Стоуна (производственная функция Кобба-Дугласа здесь частный случай при n = 2) параметры ai действительно являются весовыми коэффициентами факторов производства 11-08-2015 10-56-13. Более того, получена формула (8) для расчета их оптимальных значений при каждом n.

Для определения величины константы 11-08-2015 10-56-25 нужно воспользоваться точкой x* рыночного равновесия, где f(x*) = g(x*). В общем случае (n - мерном) функция издержек

11-08-2015 10-56-37   (11)

Здесь bi - коэффициент инфляции. Тогда из равенства 11-08-2015 10-56-50, получаем

11-08-2015 10-57-03   (12)

Для определения координат точки x* рыночного равновесия можно использовать результат работы [2]. А именно из g(x*) = I0 имеем:

11-08-2015 10-59-56   (13)

Из (13) получаем равенства

11-08-2015 11-00-04   (14)

Таким образом, координаты xi* находятся без решения задачи оптимизации производственной функции. Но при этом используется оптимизация по принципу наименьшего действия. Для доказательства правильности определения величин xi* найдем их из решения задачи max прибыли

11-08-2015 11-01-14   (15)

Покажем, что точкой max φ(x) будет та же самая точка рыночного равновесия x*, где  f(x*) = g(x*) = I0. Для этого вычислим дифференциал φ(x) и приравняем его нулю. Из (15) получаем

11-08-2015 11-01-29  (16)

Из (16) следует, что  df(x) = dg(x), то есть

11-08-2015 11-01-40 для 11-08-2015 11-01-49    (17)

Так как  – мерные поверхности

11-08-2015 11-01-57   (18)

касаются в точке x* = (x1*,…, xn*), то при величине g(x*) = I0 и величина f(x*) = I0. Тогда из (17) имеем

11-08-2015 11-05-27   (19)

То есть действительно

11-08-2015 11-05-36   (20)

Равенства (20) и (14) являются тождественными. При этом (14) получены через принцип наименьшего действия, а (19) при решении задачи максимизации прибыли φ(x). Таким образом, доказана справедливость равенств (14) и подхода (способа) их получения.

Получим теперь уравнения (14) еще одним способом: методом Лагранжа. Для этого решим задачу на условный экстремум (max) для производственной функции вида 11-08-2015 11-06-45 при бюджетном ограничении 11-08-2015 11-06-58. В рассматриваемой задаче функция Лагранжа будет иметь вид:

11-08-2015 11-07-06   (21)

Как известно, решение находится путем решения системы уравнений (нахождения величин xi) вида:

11-08-2015 11-07-21   (22)

Так как 11-08-2015 11-07-39  и 11-08-2015 11-07-49, то из (22) имеем уравнения:

11-08-2015 11-08-01   (23)

Умножая уравнения (23) на xi и суммируя по  11-08-2015 11-08-15 получаем:

11-08-2015 11-08-25   (24)

Так как из единичной степени однородности f(x) и g(x) следует, что 11-08-2015 11-08-36 и справедливо равенство 11-08-2015 11-08-50, то из (24) получаем, что:

11-08-2015 11-09-00    (25)

Подставляя это значение λ в уравнения (23), получаем равенства:

11-08-2015 11-09-10   (26)

то есть

11-08-2015 11-09-16   (27)

Здесь ai  - весовые коэффициенты факторов производства xi, которые находятся по формулам (8).

Уравнения (27) и (14) являются тождественными. Таким образом, решение (14) получено тремя различными методами, что доказывает и его достоверность и достоверность всех трех методов решения. В итоге получено еще одно доказательство оптимального по принципу наименьшего действия разложения любой const = I0 на n частей в виде: 11-08-2015 11-15-02, где ai  - весовые коэффициенты (т.е. 11-08-2015 11-15-14) определяемые формулами (8).

Заметим, что в более общем случае, когда функция издержек g(x) имеет степень однородности величиной p (то есть g(x) не будет линейной формой, а будет, например, квадратичной формой вида 11-08-2015 11-15-58, то есть однородной степени p = 2), функция дохода f(x) в виде (10) также будет иметь степень однородности

11-08-2015 11-16-38   (21)

Преобразуя (21) к виду 11-08-2015 11-16-51, где γi – весовые коэффициенты (определяемые по формуле (8)) факторов производства Xi. При этом параметры ai также всегда вычисляются через γi и p в виде ai = γi p.

Кроме того, метод оптимизации через оптимальные весовые коэффициенты применим к зависимым переменным (либо функциям)! В нашем случае 11-08-2015 11-18-37, где zi = fi(xi) = φ(xi,ai) это зависимые через параметры (весовые коэффициенты)  переменные - функции. Например, если в виде zi(xi,ai) = cixiai (вектор параметров a = (a1,…,an)) рассмотреть локальные критерии оптимальности процесса производства, которые очевидно всегда зависимы, то интегральный критерий может быть выражен, например, их средним геометрическим 11-08-2015 11-21-23 (либо в виде lnf(x,a)=Φ(x,a), что при дифференцировании обеспечит безразмерность).

В заключение, необходимо отметить, что предложенный в статье метод оптимальных весовых коэффициентов позволяет легко решать целый ряд задач экономики (например, задача оптимального распределения ресурсов бюджета по статьям расходов и т.п.).

Литература

  1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемых Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: Дело и сервис, 2001.
  2. Некрестьянова Ю.Н. Оптимизация значений весовых коэффициентов критериев эффективности инвестиционного проекта / Ю.Н. Некрестьянова // Эффективные механизмы инновационно-технологического развития современного общества : материалы IX Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции, г. Сочи, 23-24 мая 2013 г. / НОУ ВПО СИЭИТ – Сочи: «Стерх ГРУП», 2013. – с. 60 – 62. – 0,15 п.л.
  3. Терехов Л.Л. Производственные функции. – М.: Статистика, 1974.

References

  1. Zamkov O. O., Tolstopyatenko A.V., Jeremih Yu. Mathematical methods in Economics. – M.: Delo I SERVIS, 2001.
  2. Nekrestyanova U. N. Optimization of the weighting factors of criteria of efficiency of the investment project / U. N. Nekrestyanova // Effective mechanisms of innovative-technological development of modern society : materials of the IX all-Russian (with international participation) scientific-practical conference, Sochi, 23-24 may 2013 / NOU VPO SIIT – Sochi: "Siberian crane GROUP, 2013. – p. 60 – 62.
  3. Terekhov, L. L. the Production function. – M.: Statistics, 1974.