ОПЕРАТОР АНАЛОГА НЕРАВЕНСТВА КОШИ — БУНЯКОВСИЙ

Рузимбой М.М.¹, Садокат Б.А.², Абдикаримов Ф.Б.³, Юсупов Б.Б.⁴

¹Кандидатов наук, заведующие кафедрой теории функции, Ургенчского Государственного университета; ²преподаватель кафедры теории функции, Ургенчского Государственного университета; ³магистр, Физико-математический факультет, Ургенчского Государственного университета; ⁴студент, Физико-математический факультет, Ургенчского Государственного университета

ОПЕРАТОР АНАЛОГА НЕРАВЕНСТВА КОШИ — БУНЯКОВСИЙ

Аннотация

В статье рассмотрены определения левых и правых абсолютных значений оператора и их свойства. Получен операторный аналог  неравенства Коши — Буняковского.

Ключевые слова: неравенство оператор, левое и правое абсолютное значение, аналог, неравенство Коши — Буняковского, лемма.

Ruzimboy M.M.¹, Sadoqat B.A.², Abdikarimov F.B.³, Yusupov B.B.⁴

¹PhDs , chairs of department of theory of functions, Urgench State university; ²Assistant-teacher, department of theory of functions, Urgench State university; ³Master, Physical and mathematical faculty, Urgench State university; ⁴Student, Physical and mathematical faculty, Urgench State university,

THE OPERATOR ANALOGUE OF INEQUALITY OF CAUCHY-BUNYAKOVSKIY

Abstract

The article describes the determination of the left and right of the absolute values of the operator and their properties. The operator analogue of the inequality of  Cauchy – Bunyakovski is obtained.

Keywords: inequality the operator, the left and right absolute value, analogue, inequality of Cauchy — Bunyakovsky, lemma.

Определение 1 (см. [7]).

Пусть H – Гильбертово пространство. Оператор  называется положительным, если  для всех . Мы пишем , если A положителен, и .

Теорема(см. [7]).

Пусть . Тогда существует единственный оператор . Боле того, B коммутирует с любым ограниченным оператором, коммутирующим с A.

Определение 2.

Пусть . Тогда - правый  (- левый) называется правая (левая) абсолютная значения оператора A.

Правая абсолютная значения оператор имеют следующая свойства:

1) 

2) 

В общем случае не верны

Для неравенство  треугольники приведем пример Э.Нельсона. Пусть

Не верны.

Пусть . Очевидно, что для свойства абсолютная значения оператора верны для левая абсолютная значения оператора.

Для каких пространств верны неравенство (1) и равенство (2). Нетрудно доказывается следующая теорема.

Теорема 2.

Для пространств действительных чисел, комплексных чисел, квартернион, октанион и  диагональных операторов справедливо неравенство (1) и равенство (2).

Операторный аналоги неравенство Коши Буняковский когда обобщение неравенство (2).

Теорема 3.

Для  и верны следующие неравенство:

(Очевидно, это неравенство верно левый абсолютная значения оператора).

Для доказательства теоремы 3 мы используем следующему лемму.

Лемма:

Для  верный следующие неравенство:

Доказательство.

Пусть  тогда легко доказать, что

   (3)

Из неравенства (3) находим, что,

Лемма доказана.

Доказательство теоремой 3.

 Рассмотрим  следующие случае:

1-случай. Для . Тогда очевидно будить  равенства.

2-случай. Для  . Для  

операторы выполняет условие леммы.

Тогда выполняет следующие неравенства:

Значит Отсюда следуют неравенства: 3-случай. Для  . тогда,  для  выполняет следующие неравенства: Значит, Таким оброзом, теорема доказана.

Литература

1. Ф.Р.Гантмахер. «Теория матриц». часть I, II .Москва. “Наука”1988.
2. Р.М.Мадрахимов, Ф.К.Атаев. «Коши-Буняковский тенгсизлигининг матрицавий аналоги» .Хоразм Маъмун академияси aхборотномаси.2008, № 3/4(8).9-11.
3. Г.Г.Харди, Дж.Е.Литтльвуд и Г. Полиа. Неравенства. Москва Государственное издательство иностранной литературы. 1948 г.
4. Bellman, A. Hoffman, A note on an inequality of Ostrowski and Taussky, Arkiv. Math., 5 (1954), 123-127.
5. F.Beckenbach, An inequality for definite hermitian determinants, Bull. Am. Math. Soc., 35 (1929), 325-329/
6. Hadamard, The psychology of invention in the mathematical field, Princeton, N.J., Princeton University Press, 1949.
7. М. Рид, Б. Саймон. Функциональный анализ.  1-часть  Издательство  «Мир» Москва 1977.