ПРИНЦИПЫ ФОРМИРОВАНИЯ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР

Иванов В.В.

Кандидат химических наук, доцент, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

ПРИНЦИПЫ ФОРМИРОВАНИЯ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР

Аннотация

Обсуждаются принципы формирования и строения регулярных простых (одномодульных) фрактальных структур в 2D пространстве.

Ключевые слова: модуль, генератор, фрактальная структура.

Ivanov V.V.

PhD in Chemistry, associate professor, South-Russian state Еngineering University (Novocherkassk Polytechnic Institute)

PRINCIPLES OF THE REGULAR SIMPLE FRACTAL STRUCTURES FORMATION

Abstract

The general principles of the regular simple (one-modular) fractal structures formation and building in 2D space are discussed.

Keywords: module, generator, fractal structure.

Главной особенностью фрактальных структур является их самоподобная иерархическая организованность в соответствующем метрическом пространстве. Свойство бесконечного самоподобия означает точную масштабную инвариантность геометрически регулярной фрактальной структуры относительно набора последовательных операций отображений подобия методом итераций. Формально в рамках итерационного метода существуют два принципиально разных подхода к формированию регулярной фрактальной структуры F: инъективный и сюръективный [1].

Будем рассматривать фрактальную топологию объектов в геометрическом 2D пространстве. Тогда в соответствии с представлениями теории фрактальных множеств [1 - 3] можно высказать следующее.

1. В рамках инъективного подхода - если S_I…S_N - набор сжимающих отображений метрического 2D пространства со структурой F на себя, то найдется единственная компактная фрактальная структура F⁽²⁾, такая что

F⁽²⁾ = S_I(F) c…c S_N(F), а S_i(F_i) = F_i+1 = ImF_i É F_i.

Инъективное отображение S_i предполагает вложение образа структуры ImF_i в подобный элемент структуры F_i. В результате бесконечной итерационной процедуры образы ImF_i компактной фрактальной структуры F⁽²⁾ становятся точками.

2. В рамках сюръективного подхода - если S_I…S_N - набор растягивающих отображений части 2D пространства (генератора G) на полное метрическое 2D пространство, то найдется единственная бесконечная фрактальная структура F⁽²⁾, такая что

F⁽²⁾ = S_I(G) c…c S_N(G), а S_i(G_i) = G_i+1 = ImG_i Ì  G_i.

Сюръективное отображение S_i предполагает такое расширение генератора, при котором возможно вложение прообраза его G_i в структурный элемент подобного ему образа ImG_i. В результате бесконечной итерационной процедуры полный образ ImG_i бесконечной фрактальной структуры F⁽²⁾ содержит упорядоченные в 2D пространстве структурные элементы в форме генератора G.

Отметим, что в обоих подходах при конечном числе итераций формируются предфракталы, каждый из которых состоит из самоподобных модулей. Однако только при сюръективном формировании предфракталов процесс их образования аналогичен росту поверхностных фрактальных структур из одинаковых модулей, размеры которых коррелируют с размерами молекул, атомных кластеров, наночастиц и других атомных ассоциатов. Естественное условие-ограничение в этом случае – максимальный размер лакунарных полостей, при значениях которых квазифрактальная структура еще может соответствовать реальному физическому фракталу химической природы. При инъективном подходе аналогичным условием-ограничением для модулярного предфрактала служит то минимальное межмодульное расстояние, которое еще не меньше размера минимальной структурной единицы – атома вещества.

В общем случае генератор формирования фрактальной структуры G в ячейке с реперами (a,b,c) ортогонального 3D пространства может быть сложным (составным). Он может быть представлен как результат совместного действия 3-х генераторов Gen(a), Gen(b), Gen(c) разного вида. Для формирования простой фрактальной структуры в пространственной ячейке необходимо, чтобы для образующих ее генераторов выполнялись следующие условия:

1) множество генераторов {Gen(i)} (Gen(a), Gen(b), Gen(c)) должно обладать свойствами мультипликативной полугруппы Gen = (Gen, *) , т.е. подчиняться аддитивному закону

Gen(a) * (Gen(b) * Gen(c)) = (Gen(a) * Gen(b)) * Gen(c);

2) для любых пар генераторов из множества {Gen(i)} должно быть задано множество отображений {j} таких, что

(Gen(a) o (Gen(b)) j_ab = (Gen(a) j_ab) * ((Gen(b) j_ab),

(Gen(a) o (Gen(c)) j_ac = (Gen(a) j_ac) * ((Gen(c) j_ac),

(Gen(b) o (Gen(c)) j_bc = (Gen(b) j_bc) * ((Gen(c) j_bc),

а при условии, что {j} - множество инъективных отображений {Gen(i)} в полугруппу E = (E, o) ячейки, отображения j суть изоморфизмы (или вложения), а полугруппа

E = Im(P Gen(i))

суть изоморфный образ результата отображения

(Gen(a) o (Gen(b) o Gen(c)) j_abc;

3) операция *, заданная на множестве {Gen(i)}, должна быть ассоциативной, т.е.

Gen(a) * (Gen(b) = Gen(a) · (Gen(b),

Gen(a) * (Gen(c) = Gen(a) · (Gen(c),

Gen(b) * (Gen(c) = Gen(b) · (Gen(c),

а полугруппа (Gen, ·) двойственна к полугруппе (Gen, *) (антиизоморфнa).

На основании изложенного выше сформулируем следующие основные принципы формирования простых фракталов.

1 Принцип модулярного строения регулярных фрактальных структур: Любая регулярная фрактальная структура может быть представлена из одинаковых минимальных модулей, строение и форма которых содержит структурную информацию как о самой фрактальной структуре, так и о любом ее предфрактале [4].

Такие модули выполнят функцию генератора G º F₁ модулярной фрактальной структуры и, в частности, любого ее предфрактала n-го поколения: F_n (F₁), где n – количество итераций. Как следствие – возможность определять размерность любой модулярной фрактальной структуры через размерность ее предфрактала 1-го поколения – генератора G:

Dim F = Dim F₁ º Dim G.

2 Принцип иерархии модулей самоподобных регулярных фрактальных структур: Самоподобная регулярная фрактальная структура может быть представлена как модулярная из любых ее предфракталов [4].

В частности, модулярное строение каждого предфрактала n–го поколения F_n может быть представлено модулями – предфракталами всех предыдущих поколений:

F_n (F_n-1 (F_n-2 (F_n-3… (F₁)…))),

а сами модули классифицируются по сложности в иерархической последовательности:

F_n Ì F_n-1 Ì F_n-2 Ì F_n-3 Ì … Ì F₁.

3 Принцип детерминистичности инъективно полученных фрактальных структур: Упорядоченное множество идентичных фрактальных структур, полученных инъективным способом в единичной ячейке структурированного пространства, представляет собою детерминистическую фрактальную структуру.

В соответствии с принципом иерархии модулей фрактал F_n, полученный инъективным способом, включает в себя множество предфракталов {F_(i)} (i < n) и занимает с ними одну и ту же ячейку структурированного пространства. Для каждого i-го поколения предфракталы F_(i) могут быть упорядочены в пространстве в соответствии с собственной локальной симметрией с помощью элементов симметрии дискретной группы трансляций T(t₁,t₂,t₃) ячеистого 3D пространства.

4 Принцип неограниченного роста (эволюционирования) сюръективно получаемых фрактальных структур: При итерировании генератора фрактала сюръективным способом фрактальная структура неограниченно эволюционирует из инициальной ячейки в окружающее ячеистое пространство в соответствии со своим коэффициентом подобия.

При сюръективном итерировании генератора GenF(K) º F₁(K) фрактальной структуры F(K), где K - коэффициент подобия, происходит «захват» новых пространственных ячеек таким образом, что «объем» каждого предфрактала n-го поколения с учетом лакунарного пространства возрастает по сравнению с «объемом» предфрактала предыдущего поколения в (1/K) раз. Общее количество пространственных ячеек, занятых предфрактальной структурой F_n(K), может быть определено по следующей формуле:

N(n) = K^{- (Dn/2)} ,

где D - размерность пространства существования фрактала.

Следующие три принципа сформулированы с учетом некоторых полугрупповых свойств непустого множества фракталообразующих генераторов.

5 Принцип изоморфного отношения между множеством 1D генераторов и соответствующего ему инъективного отображения.

6 Принцип идентичности любых изоморфных образов фрактальной структуры, полученной из множества попарно коммутирующих 1D генераторов.

7 Принцип ассоциативности бинарной операции любых пар антиизоморфных полугрупп для 1D генераторов из множества образующих фрактал генераторов.

Сформулированные выше принципы положены в основу эволюционных моделей формирования детерминистических фрактальных структур, упорядоченных в 2D пространстве множеств и мультимножеств замкнутых фрактальных кривых [5 - 19] и использованы при целенаправленном поиске и интерпретации трибологических свойств поверхности композиционных материалов и покрытий [20 – 25].