ТЕОРИЯ K+/ Na+ СЕЛЕКТИВНОСТИ ВОДНОЙ ПОЛОСТИ В K+ КАНАЛЕ ДЛЯ ПОЛЮСНЫХ МОДЕЛЕЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РАСТВОРИТЕЛЯ
Рубашкин А.А.1, Цыганов А. Б.2, Воротынцев М. А.3
1ORCID: 0000-0002-9054-0574, Кандидат химических наук, Институт цитологии РАН, Санкт-Петербург, 2ORCID: 0000-0003-2245-3097, Кандидат физико-математических наук, ООО «Интро-Микро», Санкт-Петербург, 3ORCID: 0000-0002-0720-4300, Доктор физико-математических наук, МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 14-03-00221
ТЕОРИЯ K+/ Na+ СЕЛЕКТИВНОСТИ ВОДНОЙ ПОЛОСТИ В K+ КАНАЛЕ ДЛЯ ПОЛЮСНЫХ МОДЕЛЕЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РАСТВОРИТЕЛЯ
Аннотация
В статье рассмотрено применение нелокально-электростатической теории сольватации ионов к расчету K+/Na+ селективности в центральной полости, находящейся в центре K+ канала. Показано, что при увеличении корреляционной длины воды в полости в три раза по сравнению с ее значением в свободном растворе величина K+/Na+ селективности равна двум для расчета по двухполюсной модели диэлектрической функции растворителя. С учетом разницы концентраций K+ и Na+ внутри клетки из этого следует, что доля K+ каналов, в полости которых проникают катионы Na+, по крайней мере на порядок меньше, чем количество каналов, свободных для транспорта K+.
Ключевые слова: энергия сольватации, ионный обмен, нелокальная электростатика.Rubashkin A.A.1, Tsyganov A. B.2, Vorotyntsev M. A.3
1ORCID: 0000-0002-9054-0574, PhD in Chemistry, Institute of Cytology, Russian Academy of Sciences, Saint-Petersburg, 2ORCID: 0000-0003-2245-3097, PhD in Physics and Mathematics, Intro-Micro LLC, Saint-Petersburg,3ORCID: 0000-0002-0720-4300, PhD in Physics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University, Moscow
THEORY OF K+/ Na+ SELECTIVITY IN WATER CAVITY OF K+ CHANNEL FOR THE POLE MODELS OF DIELECTRIC FUNCTIONS OF THE SOLVENT
Abstract
The article considers the use of nonlocal-electrostatic theory of ion solvation to the calculation of K+/Na+ selectivity in the central cavity of K+ channel. It is shown that by increasing the correlation length of the water in the cavity is three times as compared with its value in free solution the magnitude of K+/Na+ selectivity is two for the calculation on the two-pole model of the dielectric function of the solvent. Considering the difference of concentrations K+ and Na+ inside the cell follows from this, that the proportion of K+ channels, in the cavity of which penetrate the cations Na+, at least an order of magnitude smaller than the number of channels available for the transport of K+.
Keywords: solvation energy, ion exchange, nonlocal electrostatics. Селективность центральной полости в K+ канале.В работе [1], выполненной в лаборатории Р. Маккиннона (R. MacKinnon) и за которую в 2003 г. он получил нобелевскую премию по химии, было экспериментально доказано существование центральной водной полости в середине бактериального Kcsa K+ канала. Эта работа обсуждалась в известной монографии Хилле [2], а существование водной полости в K+ каналах другого типа было показано в [3].
В [4-6] применялись теоретические методы для моделирования водной полости K+ канала. Так в [4] Маккиннон с соавтором применил методы молекулярной динамики и классической электростатики для моделирования процесса стабилизации катиона K+ в этой полости, а в [5-6] использовались методы квантовой механики для анализа селективности полости.
Величина K+/Na+ селективности K+ канала определяется селективным фильтром [1-3], однако водная полость канала также должна обладать некоторой K+/Na+ селективностью, хотя и значительно меньшей, чем его селективный фильтр. В противном случае значительная часть центральных полостей K+ каналов были бы заполнены катионами Na+, которые не могли бы двигаться дальше через канал из-за того, что селективный фильтр K+ канала не пропускал бы их. В этом случае катионы Na+ в полости находились бы в состоянии ион обменного равновесия с раствором, а катионы K+ не смогли бы проходить через такие каналы из-за электростатического отталкивания с катионами Na+.
В настоящей работе проведено изучение K+/Na+ селективности полости методами нелокальной электростатики [7-8], при этом использовались полюсные [9-10] модели диэлектрической функции растворителя.
Расчет энергии сольватации ионов методами нелокальной электростатики.Энергия сольватации W иона в свободном растворе будет вычисляться по формулам нелокально-электростатической теории [9-10] для случая, когда заряд иона имеет сферически-симметричное распределение и находится на борновской сфере радиуса, равному радиусу иона ri.
Приведем формулы для моделей нелокального диэлектрического отклика растворителя (заполняющего все пространство) ε(k), на которые будем ссылаться в дальнейшем изложении. В литературе эти модели называются ”приближениями нескольких (1, 2 или 3) дискретных мод” или “полюсными моделями” [8]. В этих формулах k - волновой вектор, ε1, ε2, ε3 - диэлектрические проницаемости, а λ1, λ2, λ3 - корреляционные длины, соответствующие электронным (индекс 1), инфракрасным (индекс 2) и дебаевским (индекс 3) степеням свободы. Согласно [8] численные значения диэлектрических проницаемостей для воды: ε1 = 1.8, ε2 = 5, ε3 = εS = 78 (εS - статическая диэлектрическая проницаемость воды), а корреляционных длин: λ1 = 0.5 Å, λ2 = 1 Å, а величина наибольшей из корреляционных длин λ3 (λ3 = Λo - корреляционная длина в цепочках водородной связи, где Λo – ее значение в свободном растворе) используется в качестве подгоночного параметра, который для свободного раствора принимается равным: Λo = 3 Å.
В трёхполюсной модели ε(k) имеет вид:
(1)Поскольку λ1 мало, то в знаменателе второго члена в правой части (1) 1 >> (kλ1)2 для интервала значений k, дающих основной вклад в энергию сольватации. При этом модель (1) переходит в двухполюсную модель [9], в которой ε(k) имеет вид:
(2)Приведем формулы для энергий сольватации в теории Корнышева [8-10] для модели, когда заряд иона равномерно распределен по поверхности сферы радиуса, совпадающего с радиусом иона (борновская модель иона). Энергия выражается через вспомогательную функцию f(y):
(3) В двухполюсной модели [9] энергия сольватации Wo зависит от радиуса иона ri: , (4)где e - заряд электрона, ri – радиус иона. Коэффициенты Ci (i = 1,2,3) определяются через диэлектрические константы:
. Для качественных оценок часто используется однополюсная модель ε(k) [10], которая получается пренебрежением дисперсии диэлектрического отклика в промежуточном интервале длин волн: ε2 = ε1. Тогда формула (2) переходит в формулу: (5)Для однополюсной модели [10] энергия сольватации Wo рассчитывается по следующей формуле, в которой функция f(y) определяется формулой (3).
. (6)Расчет изменения энергии сольватации при переходе катионов K+ и Na+ из свободного раствора в центральную полость K+ канала. Ионный обмен между раствором и полостью.
В этом разделе нелокально-электростатическая теория ионной сольватации [7-10] применяется к моделированию ионного обмена K+ и Na+ между раствором и полостью, окруженной белковым веществом. Наш подход к этому явлению основывается на предположении о том, что этот процесс определяется изменением энергии сольватации ионов δW при их переходе из свободного раствора в полость. В соответствии с нелокальной электростатикой энергия δW зависит как от радиусов ионов, так и от параметров воды в полости (корреляционных длин, коротковолновой и статической диэлектрических проницаемостей). Согласно [11], корреляционная длина воды в окрестности белков значительно превышает ее значение Λo в объёме раствора. Для полости это приводит к тому, что величина δW отличается от нуля, и как следствие к возникновению K+/Na+ селективности в ней.
Энергия K+ и Na+ в полости состоит из трех слагаемых. Первые из этих слагаемых δWK+ и δWNa+ определяются энергией пересольватации K+ и Na+ из-за перехода этих катионов в среду с другими параметрами, поскольку корреляционная длина воды в полости ΛCav (нижний индекс ‘Cav’ от английского ‘cavity’) превышает ее значение в свободном растворе Λo. Второе слагаемое Wim обусловлено ролью спиральных фрагментов белковых молекул, ограничивающих центральную полость канала [1-4]. Роль этого эффекта в изменении энергии иона при его переходе в полость для случая сферической полости была изучена нами в [12]. Вторые слагаемые Wim(K+) и Wim(Nа+) для K+ и Na+ в полости можно считать одинаковыми из-за того, что разница радиусов K+ и Na+ значительно меньше размеров центральной полости K+ канала. Третьи слагаемые - электростатическое взаимодействие ионов в полости с заряженными группами белков, окружающих полость: eφCav, где φCav – электростатический потенциал в полости.
При расчете SK+/Na+ - величины K+/Na+ селективности полости по формуле (7) сомножители, содержащие exp(Wim), как и сомножители exp(eφCav), сокращаются, и ее величина определяется только энергиями δWK и δWNa:
(7)При выводе формулы (7) мы использовали равенство электрохимических потенциалов ионов в полости и в свободном растворе, нашли их концентрации в полости, а K+/Na+ селективность полости определили, как отношение концентрации K+ в полости к концентрации Na+.
Энергия сольватации WCav в полости зависит от радиуса иона и от корреляционной длины ΛCav воды в полости. Формула (4), по которой энергия сольватации рассчитывалась для двухполюсной модели ε(k) при λ3 = Λo, для иона в полости (λ3 = ΛCav) имеет вид:
, (8) а для случая однополюсной модели ε(k) формула (6) для WCav переходит в: . (9) Разница энергии сольватации иона δW между её значением в свободным растворе и водной полости канала: . (10) Пользуясь формулой (10), определим энергии пересольватации Na+ и Cl- с помощью соотношений: (11) Селективность в полости определяется формулой (12), которая следует из формулы (7): . (12) Результаты расчета K+/ Na+ селективности водной полости. На Рис. 1 представлены результаты расчета K+/Na+ селективности водной полости, окруженной белками.Рис. 1 – K+/Na+ селективность в водной полости SK+/Na+ в зависимости от корреляционной длины ΛCav в полости
По оси ординат: SK+/Na+ рассчитанная по формуле (12). По оси абсцисс: отношение корреляционной длины воды ΛCav в полости к Λo – значению корреляционной длины в свободном растворе, равному 3 Å. Штриховая кривая 1 рассчитана для однополюсной модели ε(k), а сплошная кривая 2 - для двухполюсной модели ε(k). Радиусы Na+ и K+ взяты по шкале Гурари и Адриана [13]: rNa+ = 1.17 Å, rK+ = 1.49 Å.
Выводы из расчетов K+/Na+ селективности полости.При увеличении корреляционной длины воды в полости в 3 раза величина SK+/Na+ увеличивается в два раза для расчета, выполненного для двухполюсной модели ε(k), и в семь раз для однополюсной модели. Отметим, что согласно [8, 9] расчет изменения энергии сольватации ионов по двухполюсной модели ε(k) более точен, чем по однополюсной.
Главный вывод заключается в том, что водная полость в белковом окружении обладает K+/Na+ селективностью для обеих моделей диэлектрической функции. Из этого следует, что центральная полость в K+ канале будет преимущественно пропускать катионы K+, даже если концентрации K+ и Na+ в клетке сравнимы. В реальности концентрация K+ во внутриклеточной среде в несколько раз превосходит концентрацию Na+. Учитывая полученные результаты по селективности, из этого следует, что доля K+ каналов, в полости которых проникают катионы Na+, по крайней мере на порядок меньше, чем количество каналов, свободных для K+.
Литература
- DoyleDA, Morais Cabral J, Pfuetzner RA, Kuo A, Gulbis JM, Cohen SL, Chait BT, MacKinnonR. The structure of the potassium channel: molecular basis of K+ conduction and selectivity // Science. – 1998. - V. 280. - № 5360. – P. 69-77.
- Hille B. Ion channels of excitable membrane. (3rd ed.) Sunderland, Massachusetts U.S.A.: Sinauer Associates, Inc., 2001. 814 p.
- Hite R. K., Yuan P., Li Z., Hsuing Y., Walz T., MacKinnon R. Cryo-electron microscopy structure of the Slo 2.2 Na+ - activated K+ channel // Nature. – 2015. - V. 527. - № 7577. – P. 198-203.
- Roux B., MacKinnon R. The cavity and pore helices in the KcsA K+ channel: electrostatic stabilization of monovalent cations // Science. – 1999. - V. 285. - № 5424. – P. 100-102.
- KarievA., Green M. E. Quantum calculations on water in the KcsA channel cavitywith permeant and non-permeant ions. // Biochim. Biophys. Acta. – 2009. - V. 1788. - № 5 – P. 1188-1192.
- KarievA. M., Green M. E. Quantum mechanical calculations on selectivity in the KcsA channel: the role of the aqueous cavity // J. Phys. Chem. B. – 2008. - V. 112. № 4. – P. 1293-1298.
- Dogonadze R., Kornyshev A. A. Polar-solvent structure in theory of ionic solvation // J. Chem. Soc. Faraday Trans. Pt.II. – 1974. - V. 70. – P. 1121-1132.
- Воротынцев М. А., Корнышев А. А. Электростатика сред с пространственной дисперсией. М.: Наука, 1993. С. 20-35.
- Kornyshev A. A., Volkov A.G. On the evaluation of standard Gibbs energies of ion transfer between 2 solvents // J. Electroanal. Chem. – 1984. - V. 180. – P. 363-381.
- Kornyshev A. A. Nonlocal screening of ions in a structurized polar liquid - new aspects of solvent description in electrolyte theory // Electrochim Acta. – 1981. - V. 26. – P. 1-20.
- Ebbinghaus S., Kim S. J., Heyden M., Yu X., Heugen U., Gruebele M., Leitner D. M., Havenith M. An extended dynamical hydration shell around proteins. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. – 2007. - V. 104. – P. 20749 -20752.
- Рубашкин А. А. Роль пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости сферической водной полости в уменьшении свободной энергии переноса иона в полость // Электрохимия. – 2014. - Т. 50. - № 11. – С. 1212-1217.
- Gourary B. S., Adrian F. J. Wave Function for Electron-Excess Color Centers in Alkali Halide Crystals // Solid State Phys. – 1960. - V. 10. – P. 127-247.
References
- DoyleDA, Morais Cabral J, Pfuetzner RA, Kuo A, Gulbis JM, Cohen SL, Chait BT, MacKinnonR. The structure of the potassium channel: molecular basis of K+ conduction and selectivity // Science. – 1998. - V. 280. - № 5360. – P. 69-77.
- Hille B. Ion channels of excitable membrane. (3rd ed.) Sunderland, Massachusetts U.S.A.: Sinauer Associates, Inc., 2001. 814 p.
- Hite R. K., Yuan P., Li Z., Hsuing Y., Walz T., MacKinnon R. Cryo-electron microscopy structure of the Slo 2.2 Na+ - activated K+ channel // Nature. – 2015. - V. 527. - № 7577. – P. 198-203.
- Roux B., MacKinnon R. The cavity and pore helices in the KcsA K+ channel: electrostatic stabilization of monovalent cations // Science. – 1999. - V. 285. - № 5424. – P. 100-102.
- KarievA., Green M. E. Quantum calculations on water in the KcsA channel cavitywith permeant and non-permeant ions. // Biochim. Biophys. Acta. – 2009. - V. 1788. - № 5 – P. 1188-1192.
- KarievA. M., Green M. E. Quantum mechanical calculations on selectivity in the KcsA channel: the role of the aqueous cavity // J. Phys. Chem. B. – 2008. - V. 112. № 4. – P. 1293-1298.
- Dogonadze R., Kornyshev A. A. Polar-solvent structure in theory of ionic solvation // J. Chem. Soc. Faraday Trans. Pt.II. – 1974. - V. 70. – P. 1121-1132.
- Vorotyntsev M. A., Kornyshev A. A. Elektrostatika sred s prostranstvennoj dispersiej. M.: Nauka, 1993. S. 20-35.
- Kornyshev A. A., Volkov A. G. On the evaluation of standard Gibbs energies of ion transfer between 2 solvents // J. Electroanal. Chem. – 1984. - V. 180. – P. 363-381.
- Kornyshev A. A. Nonlocal screening of ions in a structurized polar liquid - new aspects of solvent description in electrolyte theory // Electrochim Acta. – 1981. - V. 26. – P. 1-20.
- Ebbinghaus S., Kim S. J., Heyden M., Yu X., Heugen U., Gruebele M., Leitner D. M., Havenith M. An extended dynamical hydration shell around proteins. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. – 2007. - V. 104. – P. 20749 -20752.
- Rubashkin A. A. The role of spatial dispersion of the dielectric constant of spherical water cavity in the lowering of the free energy of ion transfer to the cavity // Russ. J. Electrochem. – 2014. - Т. 50. - № 11. – P. 1090-1094.
- Gourary B. S., Adrian F. J. Wave Function for Electron-Excess Color Centers in Alkali Halide Crystals // Solid State Phys. – 1960. - V. 10. – P. 127-247.