АЛГОРИТМ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ МЕМБРАННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Морозова Н.Е.¹, Аль-Згуль С.Х.²

¹ ORCID: 0000-0002-3063-7550, Кандидат технических наук,

Южный федеральный университет

²ORCID: 0000-0001-6182-786X, Студент 4-го курса

МГТУ им. Н.Э.Баумана,

АЛГОРИТМ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ МЕМБРАННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Аннотация

В статье изложен алгоритм оптимизации топологии мембранных конструкций. Использован метод последовательных нагружений в сочетании с методом конечных элементов. В качестве стандартного выбран треугольный конечный элемент с девятью степенями свободы. Рассмотрен алгоритм реализации МКЭ с использованием вариационного уравнения Лагранжа в итерационном методе адаптивной эволюции, позволяющий оптимизировать топологию мембраны. В качестве варьируемого параметра топологии мембраны  рассмотрена ее толщина.

Ключевые слова: мембрана, абсолютно гибкая пластина, самоорганизация, адаптивная эволюция, метод конечных элементов, топологическая оптимизация.  

 

Morozova N. E.¹, Al-Zgul S.H. ²

¹ ORCID: 0000-0002-3063-7550, PhD in Engineering,

Southern Federal University

²ORCID: 0000-0001-6182-786X, Student of the 4th course

Bauman Moscow State technical university,

TOPOLOGICAL OPTIMIZATION ALGORITHM OF MEMBRANE SRUCTURES

Abstract

The article describes an algorithm for optimizing the topology of membrane structures. The method of successive loading in combination with the finite element method was used in the research. We have chosen a triangular finite element with nine degrees of freedom as a standard. The paper considers an algorithm for the implementation of the finite element method in combination with Euler–Lagrange equation in the iterative method of adaptive evolution. It enables the optimization of the membrane topology. The thickness of the membrane is considered as a variable parameter of the membrane topology.

Keywords: membrane, absolutely flexible plate, self-organization, adaptive evolution, finite element method, topological optimization.

Широкое распространение мембранных покрытий вызвано тем, что эти конструкции широко используются и в новом строительстве зданий и сооружений различного назначения, и при реконструкции.  Приоритетной задачей проектирования мембранных конструкций, является оптимизация геометрических характеристик, при соблюдении требований прочности, жесткости и устойчивости на всех этапах жизненного цикла. В статье [7] приводится подробный обзор истории развития направления оптимизационной топологии, рассматриваются способы решения задач оптимизации.

Целью данного исследования является разработка алгоритма реализации МКЭ с использованием вариационного уравнения Лагранжа в итерационном методе адаптивной эволюции, позволяющего оптимизировать топологию мембраны. В качестве варьируемого параметра топологии мембраны  будем рассматривать ее толщину. Оптимальной будет являться энергетически равнопрочная мембранная конструкция с учетом ограничения на нормируемую плотность энергии деформации.

Основные зависимости, описывающие поведение абсолютно гибких пластин, построены на гипотезах технической теории пластин о недеформируемости плоских нормалей и пренебрежимой малости поперечных нормальных напряжений. В соответствии с принятыми гипотезами о поведении абсолютно гибких пластин в процессе деформирования, вектор напряжений и деформаций имеют следующий вид:

Компоненты тензора конечных деформаций  выражаются через перемещения  срединной поверхности мембраны [1]:

                                                (1)

Для получения более точной картины напряженно-деформированного состояния мембраны, исследование работы конструкции в физически линейной стадии работы недостаточно. Поэтому на втором этапе должна быть учтена физическая нелинейность, предполагающая упругопластический характер работы с использованием уравнения деформационной теории пластичности.

В первом приближении расчетной схемы будем предполагать, что физические зависимости принимаются в виде обобщенного закона Гука:

Эффективным прямым методом для построения процедур по отысканию числовых полей неизвестных функций на основе вариационных принципов механики, является метод конечных элементов. Связь полных деформаций с полными перемещениями осуществляется через матрицу В₁ и матрицу операций дифференцирования А : .

Геометрические зависимости в инкрементальной постановке имеют следующий вид:

 - вектор приращений деформаций

Физические зависимости в инкрементальной форме:

Система уравнений для физически линейного расчета имеет вид:

                                                   (2)

При получении основных конечноэлементных соотношений расчета мембран используется вариационный принцип Лагранжа [6].

                                                    (3)

где

 - удельная потенциальная энергия;  - вектор поверхностных сил;  - заданный вектор поверхностных сил;  - деформированная элементарная площадь;  - элементарная площадь до деформации;  - перемещения срединной поверхности мембраны;  - вектор объемных сил;  - деформированный элементарный объем;  - элементарный объем до деформации;  - заданный вектор объемных сил;

Условие стационарности функционала П₁ определяется следующим уравнением

δП₁=0,                                                                         (4)

где

Выделяя правую часть, получаем следующую запись вариационного уравнения  Лагранжа:

                                      (5)

 В качестве типового используется треугольный конечный элемент с девятью степенями свободы, позволяющий аппроксимировать плоскую поверхность практически любой формы.

Для получения конечноэлементных зависимостей функцию перемещений представляем в виде:

                                                 (6)

При построении локальных интерполяционных функций используем естественные координаты. Введя обозначение,  перепишем вариационное уравнение (5) в следующем виде:

                                              (7)

Из (7) в силу произвольности вариаций  следует:

                                                                (8)

В результате получаем основное матричное соотношение для расчета мембран в физически линейной постановке:

                                                               (9)

где

 - касательная матрица жесткости треугольного конечного элемента;

 - вектор узловых сил, порожденный внешней нагрузкой;

 - вектор неуравновешенных сил

                                                  (10)

где  - секущая матрица жесткости.

Пренебрегая при малом шаге по нагрузке величиной , переходим к итерационным уравнениям метода последовательных нагружений:

                                                                       (11)

Для получения на 1-м шаге не вырожденной матрицы жесткости может быть использована процедура нахождения начальных перемещений  с использованием известных решений Феппля [1], либо любых других решений, удовлетворяющих граничным условиям. Также для решения этой проблемы можно использовать возможность получения статического решения динамическим методом [3].

С целью оптимизации геометрических и физических параметров рассматриваемой абсолютно гибкой пластины, используем законы сохранения самоорганизующихся механических систем, изложенные в [5, C. 94-112].

Для построения уравнения адаптивной эволюции, оптимизирующего топологию мембран принимаем гипотезу о возникновении структурообразующей интервальной константы – нормируемой плотности энергии деформации. Эта интервальная константа зависит от механических характеристик материала – модуля упругости, допускаемого напряжения и т.д.

В процессе топологической оптимизации мембранной конструкции, возникающие самоорганизующиеся системы, имеющие зоны разрушения не рассматриваются.

В частности будем считать, что для элементарного объема самоорганизующейся системы разность потенциальной энергии деформации текущего состояния  и идеального изоэнергетического  стремится к нулю:  - соответственно объем материала в текущем и изоэнергетическом состоянии.

Последовательность операций итерационного алгоритма, моделирующего эволюционный процесс, имеет следующий вид:

                                                                        (12)

s₁ – число итераций внутреннего цикла, равное числу приращений нагрузки, s₂ – число итераций внешнего цикла, необходимых для стабилизации решения, s₃ – общее число элементов.

На первом шаге внешнего цикла полагаем заданной толщину мембраны h=h⁽¹⁾. После определения узловых перемещений q^m во внутреннем цикле, для каждого конечного элемента вычисляется средняя плотность энергии деформации и уточненная толщина конечного элемента пластины h:

                                                         (13)

                                                            (14)

- площадь r-го конечного элемента

Количество итераций внешнего цикла s₂ определяется условием достижения объемом материала заданной погрешности. В процессе топологической оптимизации мембранной конструкции необходимо задавать диапазон изменения толщины, исходя  из конструктивных соображений.

Изложенный в данной статье алгоритм топологической оптимизации мембранных конструкций на основе метода адаптивной эволюции самоорганизующихся механических систем, может быть реализован в виде дополнительного оптимизационного модуля к программному комплексу ЛИРА-САПР, с целью использования удобной графической среды для ввода исходной расчетной схемы и визуализации полученных результатов.

Список литературы / References

1. Kirchhoff G. Vorlesungen über mathematische Physik. Mechanik./ G.Kirchhoff— Leipzig: B. G. Teubner, 1876. —466 P.
2. Трофимов В.И., Еремеев П.Г. Мембранные конструкции зданий и сооружений / В.И. Трофимов, П.Г. Еремеев– М.: Стройиздат, 1990. – 213 с.
3. Васильков Г.В., Морозова Н.Е. Статический расчет мембранных покрытий в физически нелинейной постановке // Рост. инж.-строит. ин-т. – Ростов н/Д, 1991.  – C. 19.- Деп в ВИНИТИ 2.04.1991. №1405-В-91
4. Васильков Г.В. Теория адаптивной эволюции механических систем/ Г.В. Васильков. – Ростов н/Д.: Терра-Принт, 2007. – 248 c.
5. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки / А.С. Вольмир. – М.: Гостехиздат, 1956. – 420 с.
6. Сысоева В.В., Чедрик В.В. Алгоритмы оптимизации топологии силовых конструкций / В.В. Сысоева, В.В. Чедрик // Ученые записки ЦАГИб. – – Т. XLII–C. 91-102.

Список литературы на английском языке /References in English

1. Kirchhoff G. Vorlesungen über mathematische Physik. Mechanik. [Lectures on mathematical physics. Mechanics.] / G.Kirchhoff— Leipzig: B. G. Teubner, 1876. — 466 p.
2. Trofimov V.I., Eremeev P.G. Membrannye konstrukcii zdanij i sooruzhenij [Design of membranes for buildings and structures.] / V.A. Trofimov – M.: Strojizdat, 1990. – 213 р. [in Russian]
3. Vasil'kov G.V., Morozova N.E. Staticheskij raschet membrannyh pokrytij v fizicheski nelinejnoj postanovke [Static analysis of membrane coating in physically nonlinear statement] / G.V.Vasil'kov, N.E. Morozova // Rost inzh -stroit in-t [Rostov civil engineering Institute].– Rostov, 1991. – P. 19. –  deposited in VINITI 2.04.1991. №1405-V-91. [in Russian]
4. Vasil'kov G.V. Teorija adaptivnoj jevoljucii mehanicheskih system [Theory of adaptive evolution of mechanical systems] / G.V.Vasil'kov – Rostov: Terra-Print, 2007. –248 p.[in Russian]
5. Vol'mir A.S. Gibkie plastinki i obolochki [Flexible plates and shells] A.S. Vol'mir – M.: Gostehizdat, 1956. –420 p. [in Russian]
6. Sysoeva V.V., Chedrik V.V. Algoritmy optimizacii topologii silovyh konstrukcij [Algorithms topology optimization of the power structures] V.V.Sysoeva, V.V.Chedrik // Uchenye zapiski TSAGIb [Scientific notes of SAHIb].  – 2011. – T. XLII–P. 91-102. [in Russian]