АЛГОРИТМЫ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

АЛГОРИТМЫ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Научная статья

Сиромаха С.С.

Омский государственный технический университет, Омск, Россия

Аннотация

В статье изложены проблемы определения параметров качества электрической энергии, сравнение традиционных и вейвлет-методов анализа сигналов тока и напряжения.

Ключевые слова: вейвлет анализ, преобразование Фурье, качество электрической энергии, высшие гармоники.

Key words: wavelet analysis, Fourier transform, the quality of electric energy, the higher harmonics.

Проблемы электромагнитной совместимости относят к важнейшим проблемам в энергетике на сегодняшний момент.  Энергетика в России и «зарубежом» находятся на разных ступенях развития. Вследствие развития технического прогресса в области приборостроения и применения сложнейшего электропотребляющего оборудования в различных сферах жизнедеятельности человека предъявляют более жесткие требования к качеству электрической (КЭ) энергии.  До недавнего времени нормирование параметров  КЭ осуществлялось в соответствии  ГОСТ 13109-97 «Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения», который определяет 11 показателей качества электрической энергии. Каждый из этих показателей характеризует какое-либо свойство электрической энергии (отклонение напряжения, колебания напряжения и др.). Остановимся подробнее на показателе несинусоидальности напряжения (тока).

Нормируемые показатели: - коэффициент искажения синусоидальности кривой напряжения

где  - U_i действующее значение напряжения i-й гармоники;

- коэффициент n-й гармонической составляющей напряжения.

Причины выхода показателей за пределы норм состоят в использовании различных нелинейных электроприемников, таких как: выпрямительное и преобразовательное оборудование, силовое электрооборудование с тиристорным управлением, дуговые и индукционные электропечи, люминисцентные лампы, установки дуговой и контактной сварки, преобразователи частоты, бытовая техника (компьютеры, телевизоры и др.) [1].

В процессе работы эти устройства потребляют энергию основной частоты, которая расходуется не только на совершение полезной работы и покрытие потерь, но еще и на образование потока высших гармонических, который «вы­брасывается» во внешнюю сеть [2].

Наличие высших гармоник тока и напряжения негативно сказывается на работу электропотребителей, приводит к увеличению потерь электрической энергии, снижает сроки службы оборудования и нарушению работы систем релейной защиты и автоматики.

В отличии от европейских стандартов ГОСТ 13109-97 рассматривает только канонический ряд гармонических составляющих тока и напряжения (так называемые высшие гармоники - ВГ), которые можно определить следующим образом:

где f₁ - основная частота питающей сети

Международная энергетическая комиссия (МЭК) в соответствии с европейским стандартом EN 50160 «Качество питающего напряжения. Стандарт для коммунальных (общественных) электроснабжающих сетей» вводит в действие два стандарта IEC 61000-4-30 и IEC 61000-4-7, которые вводят более широкое понятие гармонических составляющих – интергармоники (ИГ). Для определения ИГ предложено следующее математическое определение:

Интергармоника Субгармоника Из чего можно сделать вывод, что канонический ряд ВГ и субгармоники являются частными случаями интергармоник.

С точки зрения математического анализа электрическую энергию можно назвать сигналом т.е. это изменение некоторой физической величины, например напряжения, представленное в виде некоторой функции, обозначаемой f(t), где t - независимая переменная любой физической природы (время, перемещение, частота и т.п.). Как правило, сигнал является носителем некоторой информации, доступ к которой возможен после предварительной обработки. Таким примером, как для аналоговых так и цифровых сигналов могут быть процедуры модуляции и демодуляции, свертки и т.д. В любом случае получение достоверной информации возможно лишь при использовании адекватной математической модели сигнала. В прикладном смысле процедуру получения информации принято называть обработкой сигнала.

Для описания электромагнитных процессов используются гармонические сигналы, или сигналы, базирующиеся на гармонической (частотной, спектральной) модели. Такие как Фурье-анализ и его различные модификации (быстрое преобразование, оконное преобразование Фурье и т.д.). Непрерывные функции задания сигнала  f(t) в основном являются математическими объектами, т.к. при сборе информации о параметрах электрической энергии имеют дело с дискретными значениями.

Для сигнала заданного дискретными значениями определено дискретное преобразование Фурье (ДПФ) [3] :

периодическая последовательность состоит из  f(x_j) значений, - тогда прямое ДПФ:

 

- обратное ДПФ имеет вид:

Непосредственное вычисление ДПФ по выше указанным формулам требует N² операций, что при нескольких тысячах точек измерений параметров электрической энергии требует существенные вычислительные ресурсы.

В 60 годы прошлого столетия был предложен алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), требующего N log₂ N операций, значительно снижающий объем вычислительных операций, эта особенность БПФ послужила широкому распространению алгоритма в задачах спектрального анализа составляющих тока и напряжения электрической энергии.

На сегодняшний день преобразования Фурье являются основой гармонического анализа в электроэнергетике.

Анализ произвольных функций в частотной области и точного восстановления сигнала с применением алгоритмов преобразования Фурье имеют ряд недостатков:

- при спектральном анализе нестационарных сигналов невозможность определения их особенностей (разрывов, пиков, изменения частоты и т.д.), т.к. в частотной области эти характеристики принадлежат всему частотному спектру;

- при ограничении числа членов ряда Фурье в окрестностях разрывов и скачков синусоидальные составляющие не способны отображать сигналы с «бесконечной» крутизной, что приводит к возникновению гармонических колебаний в указанных областях (эффект Гиббса);

- преобразование Фурье не может анализировать частотные характеристики сигнала в произвольные моменты времени;

- позволяет определить гармонический спектр с частотами составляющих кратными частоте основной гармоники.

Рассмотрим дискретную функцию f_j состоящую из трех сигналов: постоянный сигнал с нулевой амплитудой; синусоидальное колебание с частотой ω₁ = 2π/50; синусоидальное колебание с частотой ω₂ = 2π/10 (рис.1)

На (рис.2) приведены модули коэффициентов F_p(l) ДПФ этой функции. По этому дискретному спектру невозможно определить положение составляющих сигнала на временной оси.

Рис. 1. Составной гармонический сигнал

Рис. 2. Модули коэффициентов ДПФ составного сигнала  

Вейвлет-анализ — это современный и перспективный метод обработки данных. Аппарат вейвлет-анализа получил свое развитие в начале 1980-х годов в работах Морле, Гроссмана и некоторых других авторов [4]. Результаты, полученные в самых различных областях с помощью вейвлет-анализа, усилили интерес к этому направлению и способствуют непрерывно продолжающемуся его развитию. Наибольший вклад в разработку теоретических основ вейвлетов внесли Мейер, Добеши и Маллат, опубликовавшие первые теоретические работы в этом направлении и донесшие их до широкой общественности.

Вейвлеты стали необходимым математическим инструментом во многих исследованиях. Их используют в тех случаях, когда результат анализа некоего сигнала должен содержать не только простое перечисление его характерных частот (масштабов), но и сведения об определенных локальных координатах, при которых эти частоты проявляют себя. Таким образом, анализ и обработка нестационарных (во времени) или неоднородных (в пространстве) сигналов разных типов представляют собой основное поле применений вейвлет-анализа.

Общий принцип построения базиса вейвлет-преобразования состоит в использовании масштабного преобразования и смещений. Любой из наиболее часто применяемых вейвлетов порождает полную ортонормированную систему функций с конечным носителем [5].

Допустим энергия сигнала f(t), равная  конечна в пространстве V сигнала с областью ограничения R. Прямое непрерывное вейвлет-преобразование (ПНВП) сигнала s(t) задается, по аналогии с преобразованием Фурье, путем вычисления вейвлет-коэффициентов по формуле (с учетом области определения:

вейвлет-коэффициенты определяются интегральным значением скалярного произведения сигнала на вейвлет-функцию заданного вида.

Для практического применения применяется дискретизация параметров сдвига и масштабирования b и a: a = 2^j и b = k2^j, где j и k – целые числа, в следствии чего вейвлет-функции может быть задана следующим образом:

В результате чего, прямое дискретное вейвлет-преобразование сводится к вычислению коэффициентов W(a,b) следующим образом:

где W(j, k) = d_j,k - детализирующие коэффициенты.

Иллюстрация алгоритма вычисления коэффициентов дискретного вейвлет-преобразования представлена на (рис.3).

Рис. 3. Алгоритм вычисления коэффициентов дискретного вейвлет-преобразования  

Рассмотрим вейвлет преобразования моделей сигналов, содержащих различные виды искажений (рис.4). Представлена модель искажения типичного для электрических сигналов - кратковременное отключение переменного напряжения. На Фурье-спектре (рис.5) этого сигнала видим лишь наличие основной гармоники с частотой 50Гц, но, при этом, никакой информации об отсутствии сигнала в течении двух периодов нет. На вейвлет-спектрограмме сигнала (рис.6) имеется незаполненная область, соответствующая этому отрезку, в которой значения вейвлет-коэффициентов малы или равны нулю.

Рис.4. Сигнал напряжения с кратковременным отключением

Рис. 5. Спектр преобразования Фурье сигнала с кратковременным отключением напряжения

Рис. 6. Вейвлет-спектр сигнала с временным отключением напряжения  

Таким образом, вейвлет-декомпозиция преобразует сигнал в двухмерную область, позволяя получить частотные компоненты и их расположение на временной оси одновременно. Причем полученные при анализе коэффициенты можно использовать при анализе параметров качества электроэнергии для выявления различных видов искажений переменного тока и напряжения в системах промышленного электроснабжения и позволяет основе вейвлет-преобразования реализовать алгоритмы идентификации искажений электроэнергетичеких сигналов.

 

Список литературы / References

1. Сапунов М.: Вопросы качества электроэнергии// Новости электротехники.- 2001.- №4. С.8-10.
2. Дрехслер Р. Измерение и оценка качества электроэнергии при несимметричной и нелинейной нагрузке: Пер. с чешек. - Энергоатомиздат, 1985, 112с.
3. Захарова Т.В. Вейвлет-анализ и его приложения: Учебное пособие.-2-е изд., перераб. и доп. / Т.В. Захарова, О.В. Шестаков. – М. : ИНФРА-М, 2012. – 158 с.
4. A. Grossman, J. Morlet. Decompression of Hardy Functions into Square Integrable Wavelets of Constant Shape. – SIAM J.Math. Anal., vol. 15. 1984.
5. В. Воробьев, В. Грибунин. Теория и практика вейвлет-преобразования. - С.-Пб.: Издательство ВУС, 1999.
6. ГОСТ 13109-97. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения : Переиздание – М. : 2006. – 32 с.