ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПИКОСЕКУНДНЫХ ЛИНИЙ МАГНИТНОЙ КОМПРЕССИИ

В последние годы активное развитие получил новый тип устройств мощной импульсной техники - линии магнитной компрессии (MCL от англ. Magnetic Compression Lines). При помощи MCL были получены импульсы пикосекундной длительности с рекордными амплитудными параметрами. MCL являются разновидностью гиромагнитных импульсных устройств, то есть устройств, работа которых основана на взаимодействии магнитного поля, созданного импульсом тока, и вектора намагниченности в намагниченной среде, например в феррите. Одними из наиболее изученных гиромагнитных импульсных устройств являются гиромагнитные нелинейные линии передачи (GNLTL), перспективные источники импульсного сверхвысокочастотного излучения высокой мощности

В последние годы был предложен и опробован новый подход к использованию коаксиальных линий, заполненных ферритом

[3]

,

[4]

,

[5]

,

[6]

. Было установлено, что при длительности входного импульса, приблизительно равной одному периоду генерируемых линией колебаний, и амплитуде входного импульса около 500 кВ и выше, GNLTL может работать в режиме сжатия монополярного импульса во времени и усиления его мощности, при этом длительность выходного импульса приблизительно равна одному полупериоду генерируемых линией колебаний (рисунок 1, b). GNLTL, работающие в таком режиме, получили название MCL, и в настоящий момент используются для сжатия и усиления монополярных мегавольтных импульсов нано- и субнаносекундной длительности. Этот подход к генерированию коротких мощных импульсов уникален для мощной импульсной техники, так как не требует применения каких-либо коммутаторов, что позволяет преодолеть классический нижний порог длительностей импульсов в сотни пс, связанный с применением газовых разрядников в качестве коммутаторов. Также, поскольку MCL является твердотельной системой, её можно использовать как продолжение полностью твердотельного подхода в мощной импульсной технике

[4]

. Самый мощный импульсный генератор, использующий полностью твердотельный подход, описан в работах

[5]

,

[6]

. Он состоит из полностью твердотельного наносекундного драйвера S-500, основанного на SOS-диодах, и четырёх последовательных ступеней MCL, условно называемых MCL1-MCL4, включенных каскадно. Параметры импульса составляют: импульсная мощность 87 ГВт, напряжение 2.05 МВ на нагрузке 48 Ом, длительность импульса 92 пс. Полученное значение мощности импульса является наибольшим для твердотельных импульсных генераторов, а полученное значение скорости нарастания напряжения 28.4 МВ/нс - наибольшим для всех импульсных генераторов вообще.

Рисунок 1 - Два режима работы коаксиальной линии передачи, заполненной ферритом:

а - генератор СВЧ колебаний; б - усилитель мощности монополярных импульсов

DOI:10.60797/IRJ.2024.143.177.1

Дальнейшее развитие MCL-подхода требует проведения численного моделирования MCL. Численная модель MCL должна стать инструментом для изучения физики процессов, происходящих при работе MCL, а также для проектирования новых ступеней MCL-генераторов. В проведённом исследовании такая модель была создана с помощью программного комплекса COMSOL Multiphysics

[7]

, в двумерной осесимметричной и трёхмерной геометрических постановках.

При построении модели целью было поставлено наименьшее возможное количество упрощений, чтобы учесть все возможные электродинамические эффекты в коаксиальной линии. По этой причине не была использована популярная расчётная методика для GNLTL

(1)

(2)

Из определения A и калибровки Вейля следует, что напряжённость электрического поля E и магнитная индукция B определяются, как (3) и (4) соответственно.

(3)

(4)

Подставляя (3) и (4) в (2), получим окончательное выражение (5).

(5)

Здесь μ0 – магнитная постоянная, ε0 – диэлектрическая постоянная, ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды. Чтобы учесть нелинейные свойства феррита, в уравнение было включено слагаемое намагниченности M.

Динамическое поведение намагниченности в феррите в состоянии магнитного насыщения может быть описано макроскопически уравнением Ландау-Лифшица с диссипативным слагаемым в форме Гильберта 

(6)

Здесь γ – гиромагнитное отношение электрона, равное 1.76⋅1011 рад/(с Тл), μ0 – магнитная постоянная, M – вектор намагниченности феррита, Ms – величина намагниченности насыщения феррита, Heff – эффективная напряжённость магнитного поля в феррите, α – безразмерный коэффициент затухания Гильберта, обычно лежащий в пределах 0.1-1 для напряжённостей магнитного поля около 106 А/м

Heff представляет собой суммарное эффективное магнитное поле внутри феррита, то есть векторную сумму внешнего магнитного поля, создаваемого подмагничивающим соленоидом, магнитного поля входного импульса, распространяющегося по линии, и размагничивающих полей. Размагничивающие поля в данном случае можно подразделить на статические и динамические. Статическая составляющая размагничивающего поля возникает всегда, когда тело произвольной формы с отличной от окружающей среды магнитной проницаемостью пронизывается магнитными линиями. Чтобы удовлетворять граничным условиям на границах тела и среды, напряжённость магнитного поля H перераспределяется, из-за чего внутри образца H снижается. Это явление можно рассматривать как возникновение внутреннего магнитного поля, направленного так, что его векторная сумма с внешним полем по величине оказывается ниже внешнего поля. Это внутреннее поле и называется статическим размагничивающим полем. Динамическая компонента размагничивающего поля в MCL возникает, когда намагниченность M изменяет своё направление под действием магнитного поля входного импульса. Изменение направления намагниченности приводит к изменению магнитного потока, пронизывающего поперечное сечение линии, что индуцирует токи проводимости и смещения в проводниках MCL и в пространстве между проводниками, соответственно. Эти токи создают свои собственные магнитные поля, которые, в зависимости от направления, усиливают или ослабляют суммарное магнитное поле. При достаточно быстрых изменениях направления M, характерных для GNLTL и MCL, влияние этих наведённых токов может быть весьма велико.

Чтобы распределение магнитного поля внешнего соленоида наиболее соответствовало реальному, в модель был включен предварительный шаг, в ходе которого решается магнитостатическая задача, согласно уравнению (7), в результате чего находится распределение магнитного поля, создаваемое в MCL внешним соленоидом известной геометрии, в который подаётся плотность тока J, однородная по сечению соленоида. Феррит задан как нелинейный материал, амплитуда намагниченности которого является функцией напряжённости магнитного поля, а направление намагниченности совпадает с направлением магнитного поля (как и должно быть в магнитостатическом случае). Такой расчёт автоматически учитывает величину и распределение статических размагничивающих полей в сечении феррита.

(7)

Распределения A и M, найденные на предварительном шаге, затем передаются в динамическую часть расчёта в качестве начальных условий для уравнений (5) и (6) соответственно. Намагниченность M, определяемая по уравнению (6), подставляется в слагаемое уравнения (5), содержащее M, что обеспечивает связь уравнений. Напряжённость поля H, вычисляемая из найденного по уравнению (5) векторного потенциала как H = ∇×(A/µ0), подставляется в качестве Heff в уравнение (6). С учётом предварительного шага поле H уже содержит в себе внешнее подмагничивающее поле, магнитное поле импульса, и статическое размагничивающее поле. Когда направление M изменяется, в результате чего, в соответствии с общим уравнением (5), индуцируются динамические размагничивающие поля, они также автоматически включаются в H. Таким образом, построенная модель учитывает все макроскопические способы взаимодействия H и M.

Для численного решения системы уравнений и создания необходимых граничных условий, был выбран полуграфический программный комплекс для численного моделирования COMSOL Multiphysics

(8)

Здесь r – радиальная координата поперечного сечения коаксиальной линии, D и d – внешний и внутренний диаметры коаксиальной линии соответственно, U(t) – зависимость входного напряжения от времени (форма входного импульса). Поскольку в основе такого способа возбуждения лежит поглощающее граничное условие, любые отраженные от неоднородностей линии волны будут им поглощены, что минимизирует влияние таких отражений на процессы, происходящие в модели.

Геометрически модель была реализована в двух постановках (рис. 2): двумерная осесимметричная (2D), в которой предполагается, что у искомых величин отсутствует зависимость от азимутального угла, и полная трёхмерная (3D), в которой отсутствуют упрощения, связанные с пространственной симметрией. Преимуществом 2D модели перед 3D является гораздо меньшее время расчёта, в то время как её очевидным недостатком является возможность наблюдать и учитывать только осесимметричные эффекты.

COMSOL решает описанную систему уравнений, используя метод конечных элементов. Система уравнений Максвелла и ЛЛГ является нелинейной, поскольку изменение вектора H вызывает движение вектора M, что в свою очередь вызывает новое изменение вектора H, и так далее. В настройках решателя COMSOL выставлена настройка «Fully Coupled», то есть система уравнений связана общей матрицей коэффициентов (другая опция – «Segregated», когда на каждом временном шаге решается сначала одно уравнение, после чего значения величин подставляются во второе уравнение). Обновление матрицы системы (матрицы Якоби) установлено на автоматическое («Automatic»). Указанные настройки решателя обеспечивают хорошую сходимость для нелинейных систем.

Максимальный размер элемента конечно-элементной сетки (треугольной в 2D геометрии и тетраэдральной в 3D геометрии) находится следующим образом. Сначала вручную задаётся минимальная ожидаемая длительность колоколообразного импульса Tmin. После этого вычисляется полоса пропускания сигнала, оцениваемая как fmax=0.441/Tmin (оценка взята для однополярного импульса Гаусса). Затем вычисляется наименьшая значимая длина волны в модели λmin=c⁄(√ε∙fmax), где c – скорость света в вакууме, ε – наибольшая относительная диэлектрическая проницаемость среди материалов, присутствующих в модели. Наконец, максимальный размер элемента сетки определяется как 0.2λmin. Функция формы в пределах конечного элемента выбрана квадратичной. При выборе линейной функции формы максимальный размер элемента сетки необходимо определять как 0.1λmin.

Рисунок 2 - Рисунок 2 - Варианты геометрии созданной модели:

a – двумерная осесимметричная геометрия; б – трёхмерная геометрия

Примечание: цветом обозначены: оранжевым – внешний соленоид, жёлтым – трансформаторное масло, чёрным – феррит, серым – проводники линии

DOI:10.60797/IRJ.2024.143.177.2

Для применения МКЭ к расчёту во временной области используется неявная схема «Generalized-α»

[13]

, при этом шаг по времени задаётся вручную, и вычисляется исходя из максимального размера элемента сетки в соответствии с критерием Куранта-Фридрихса-Леви, с числом Куранта равным 0.2.

Созданная модель была оптимизирована для наилучшего согласия с экспериментальными данными. Оптимизация заключалась в подборе неизвестных параметров: коэффициента затухания Гильберта α, а также суммарного коэффициента ослабления kloss, на который умножалась расчётная осциллограмма выходного импульса, чтобы учесть влияние отсутствующих в модели механизмов потери энергии, приводящих к снижению амплитуды импульса. В качестве экспериментальных данных были взяты выходные импульсы линий MCL3_38 и MCL3_50, приведённые в работе 

Значениями параметров, при которых достигается наилучшее согласие с экспериментальными данными, оказались α=0.2, kloss=0.92. Сравнение расчётной и экспериментальной осциллограмм после оптимизации показано на рис. 3. Наблюдается хорошее согласие расчёта и экспериментальных данных, особенно в области главного и вторичного пиков формируемого импульса.

В ходе расчётов было установлено, что в двумерной геометрической постановке модель также может адекватно учитывать потери в проводниках линии в явном виде, то есть без применения импедансных граничных условий. Для этого необходимо включить приповерхностный слой проводников линии в область расчёта с помощью конечно-элементной сетки типа Mapped толщиной в 2-3 элемента. При этом толщина одного элемента должна составлять характерную глубину диффузии магнитного поля в проводник dдифф за длительность импульса tи

(9)

где σ – проводимость материала проводников линии. В таком случае время расчёта 2D модели увеличивается приблизительно в 2-3 раза. На обратной стороне проводника линии вместо граничного условия по умолчанию «Идеальный электрический проводник» устанавливается граничное условие «Идеальный магнитный проводник», являющееся аналогом условия электрической изоляции, с целью предотвратить шунтирование материала стенок идеальным электрическим проводником. Для верификации описанной явной методики учёта омических потерь с её помощью была рассчитана переходная характеристика пассивного коаксиального кабеля, для которой известно аналитическое выражение

[12]

. Результат расчёта оказался очень близок к аналитическому решению, что позволяет использовать данную методику для анализа влияния потерь в проводниках на формирование импульса в MCL. Было обнаружено, что в модели MCL учёт потерь в проводниках дал весьма слабое искажение формы импульса относительно модели с идеальными проводниками, что можно объяснить большими диаметрами проводников MCL (как известно из техники сверхвысоких частот, потери в проводниках коаксиальной линии обратно пропорциональны её диаметру). Из этого можно сделать вывод, что основным механизмом потерь энергии при распространении импульса в MCL являются потери в диэлектриках, к которым можно отнести диэлектрические потери и потери на частичные разряды.

Рисунок 3 - Сравнение расчётной и экспериментальной осциллограмм для линии MCL3_38

DOI:10.60797/IRJ.2024.143.177.4

Созданная модель позволяет подробно изучать процесс формирования импульса в MCL. Изучение влияния гиромагнитного взаимодействия векторов H и M на формирование импульса с помощью составленной модели описано в

[15]

. Актуальным вопросом физики процессов, происходящих в MCL и GNLTL, является вопрос о возникновении в них высших типов волн, и их влиянии на формирование импульса. Сопоставление расчётов в двумерной и трёхмерной геометриях показало, что различия между расчётными осциллограммами выходных импульсов в них незначительны. При этом в трёхмерной геометрии намеренно было введено скачкообразное отклонение от соосности проводников линии, чтобы стимулировать потенциальное возникновение несимметричных по азимуту высших типов волн, таких как H11, учёт которых возможен только в 3D-модели. Отсутствие различий между выходными импульсами в проведённых расчётах говорит о том, что, как электрические, так и магнитные высшие волны коаксиальной линии, несимметричные по азимуту, не оказывают значительного влияния на формирование импульса в MCL.

Картина электрического поля в продольном сечении MCL при распространении по ней импульса приведена на рис. 4 (для каждой из трёх компонент поля показано распределение в верхней половине MCL). Применена симметричная цветовая шкала с контурным отображением, положительные и отрицательные направления каждой компоненты поля обозначены красным и синим цветами соответственно, ноль – зелёным цветом. Амплитудные значения каждой из компонент поля на графике составляют: радиальной – 2.1⸱108 В/м; азимутальной – 1.2⸱107 В/м; продольной - 3.2⸱107 В/м. На графике радиальной компоненты наблюдается два максимума амплитуды, соответствующие максимумам распространяющейся волны напряжения (главный пик и вторичный пик). Фронтам и спадам этих пиков соответствуют максимумы z-компоненты электрического поля, что является характерной чертой распространения квази-Т волны по двухслойной коаксиальной линии 

[9]

. Также наблюдается периодическое изменение азимутальной компоненты поля Eθ, причём её периодичность не связана с пиками импульса.

Рисунок 4 - Картина электрического поля в линии MCL3_38 при распространении по ней импульса

Примечание: пояснения см. в тексте

DOI:10.60797/IRJ.2024.143.177.5

Наблюдаемую картину поля можно интерпретировать как суперпозицию двух типов волн, распространяющихся в линии – основной волны квази-Т и высшей волны коаксиальной линии типа H01. Вероятно, возбуждение именно этого типа высшей волны можно объяснить тем, что при изменении направления вектора M с продольного на азимутальное, в поперечном сечении линии наводятся кольцевые ёмкостные токи, соответствующие по направлению волне H01. Картина магнитного поля в линии также соответствует суперпозиции указанных волн – наблюдаются два максимума компоненты Hθ, соответствующей главной волне, и периодические колебания компонент Hr и Hz, соответствующих волне H01, причём пространственный период их колебаний совпадает с таковым для компоненты Eθ. Амплитуды компонент магнитного поля в момент времени, соответствующий рис. 3, составили: 73 кА/м для радиальной компоненты, 1150 кА/м для азимутальной, и 185 кА/м для продольной (за вычетом внешнего продольного поля соленоида). Интегрирование электромагнитной энергии по компонентам Eθ, Hr и Hz показало, что полная энергия, уходящая в эту волну за время прохождения импульсом MCL, составляет примерно 0.7% от энергии входного импульса.

Для изучения влияния волны H01 на формирование выходного импульса было сделано следующее. В расчёте была введена высокая анизотропная электрическая проводимость феррита в азимутальном направлении. Такая проводимость не оказывает влияния на ёмкостные токи основной волны, текущие в радиальном направлении, но эффективно рассеивает энергию индуцируемых кольцевых токов в джоулево тепло. Это привело к исчезновению волны H01 в расчёте, при этом форма выходного импульса осталась неизменной. Это позволяет сделать вывод, что высшие волны магнитного типа, симметричные по азимуту, присутствуют в MCL, но не необходимы для её работы.

Проведённый анализ не позволяет установить влияние на формирование импульса высших волн электрического типа, симметричных по азимуту, например волны E01, так как их компоненты полей перекрываются с компонентами полей основной волны квази-Т (которая сама по себе является волной электрического типа, на низких частотах вырождающейся в Т-волну), поэтому провести между ними чёткое разграничение в расчёте затруднительно. Тем не менее, из проведённого анализа можно сделать вывод, что формирование импульса в MCL обеспечивается взаимодействием нелинейного ферритового материала с одной или несколькими волнами электрического типа, в качестве которых выступают либо основная волна двухслойной коаксиальной линии типа квази-Т (квази-ТЕМ), либо её суперпозиция с высшими волнами электрического типа, симметричными по азимуту (например, E01). Отметим, что этот результат согласуется с результатом, полученным для ферритовых линий, работающих в режиме GNLTL, в работе

В ходе данного исследования была создана расчётная модель пикосекундной мультигигаваттной линии магнитной компрессии, основывающаяся на уравнениях Максвелла и уравнении Ландау-Лифшица-Гильберта, описывающем динамическое поведение намагниченности в феррите. Система уравнений решается численно с помощью программного комплекса COMSOL Multiphysics в двумерной и трёхмерной геометрических постановках. Модель показывает хорошее согласие с имеющимися экспериментальными данными. Также была предложена явная методика учёта омических потерь в проводниках линии при расчёте во временной области, показывающая хорошее согласие с аналитическими решениями.

Исследования процессов, происходящих в MCL, с помощью построенной модели, показали, что на формирование импульса в MCL не оказывают значительного влияния омические потери в проводниках линии, высшие волны двухслойной коаксиальной линии магнитного и электрического типов с азимутальным индексом 1 и выше, а также симметричные по азимуту магнитные волны (с азимутальным индексом 0). Таким образом показано, что процесс формирования импульса в линии магнитной компрессии основывается на взаимодействии нелинейного ферритового материала с основной волной двухслойной коаксиальной линии типа квази-Т, или с суперпозицией волны квази-Т и высших волн электрического типа с азимутальным индексом 0.