МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ИССЛЕДОВАНИЯ БЛОЧНЫХ СТРУКТУР С РАЗНОТИПНЫМИ БЛОКАМИ

Зарецкая М.В.¹, Зарецкий А.Г.²

¹ ORCID: 0000-0002-9857-2693, доктор физико-математический наук, доцент, ² студент, Кубанский государственный университет

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 16-08-00191_а

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ИССЛЕДОВАНИЯ БЛОЧНЫХ СТРУКТУР С РАЗНОТИПНЫМИ БЛОКАМИ

Аннотация

В настоящей статье представлен  математический аппарат, основанный на факторизационном подходе, для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных произвольного порядка с постоянными коэффициентами. Его применение к конкретным граничным задачам механики деформируемого твердого тела и механики сплошных сред позволяет сформулировать методы оценки напряженно-деформированного состояния блочно-структурированной среды, блоки которой формируются разнотипными материалами. Полученные результаты могут  применяться в сейсмологии для оценки естественной и наведенной техногенной сейсмичности территорий.

Ключевые слова: промышленность, сейсмология, мониторинг, структура, методы, естественная и наведенная сейсмичность

Zaretskaya M.V. ¹, Zaretskiy A.G. ²

¹ ORCID: 0000-0002-9857-2693, PhD in Physics and Mathematics, assosiate professor, ² student, Kuban State University

MATHEMATICAL APPARATUS FOR THE STUDY OF BLOCK STRUCTURES WITH BLOCKS OF VARIOUS TYPES

Abstract

This article presents a mathematical apparatus, based on the factorization approach for solving systems of partial differential equations of arbitrary order with constant coefficients. Its application to concrete boundary problems of solid mechanics and continuum mechanics allows us to formulate methods for evaluating the stress-strain state of a block-structured medium, which blocks are formed heterogeneous materials. The results can be used in seismology to assess the natural and anthropogenic induced seismicity areas.

Keywords: industry, seismology, monitoring, structure, methods, natural and induced seismicity

Мировой и российский опыт наглядно демонстрируют, что сегодня реальная угроза землетрясений уже не ограничивается естественными процессами. Интенсивная хозяйственная деятельность человека в земной коре воздействует на геодинамические процессы, создает локальные очаги аномально высоких напряжений, которые способны провоцировать землетрясения. Толчком к возникновению наведенных землетрясений могут стать разработка полезных ископаемых, добыча углеводородов, создание и заполнение водохранилищ, проведение подземных ядерных взрывов, строительство крупных подземных инженерных сооружений.  К возникновению землетрясений может привести также ежегодная закачка сточных вод в глубокие водоносные горизонты, закачка поверхностных вод в разрабатываемые нефтяные пласты.

При прогнозировании сейсмической ситуации на освоенных и промышленно-развитых территориях большое значение имеют данные об уровне естественной и техногенной сейсмической напряженности территории, что требует их специального комплексного рассмотрения и развития превентивных мер для снижения риска возникновения техногенного землетрясения.

Для определения уровня естественной и техногенной напряженности земной коры  широко применяются системы  сейсмомониторинга [1–3]. Процесс состоит в создании  сети высокоточных сейсмостанций по регистрации сейсмических событий, анализе  интенсивности,  районировании территории по геодинамической активности с учетом данных о геологическом строении, тектоническом режиме [1, 4]. Мониторинг в течение длительного времени позволяет выявить наличие значительных техногенных изменений в верхней части земной коры в результате деятельности человека. К недостаткам относится:

1) при сейсмологическом мониторинге на месторождениях различного типа приходиться сталкиваться с проблемой выделения сравнительно слабых сейсмических сигналов на фоне интенсивных микросейсмических шумов, источниками которых являются движущийся транспорт,  работающие механизмы, и т.д. [3, 4];

2) для интерпретации данных сейсмониторинга необходимо привлекать сложный математический аппарат решения обратных задач, чего на практике не делается, как правило, применяются приближенные методы геологии и геофизики, что снижает точность и достоверность полученных результатов;

3) полученные данные и закономерности справедливы только для территории наблюдения, они не обладают общностью и прогностической ценностью.

Для преодоления указанных недостатков более полезным является подход, состоящий в развитии математического аппарата для анализа техногенной сейсмичности и прогностических выводов.  Для корректного решения указанной задачи  необходимо рассматривать геофизическую среду, максимально приближенной к естественной, и модели линейной и нелинейной теории упругости, адекватно описывающие напряженность и деформации состояние материалов, характеризующихся различными физическими и механическими параметрами. Для исследования предлагается принять модель блочной структуры среды литосферных плит, которая формируется в горных породах совокупностью трещин и иных неоднородностей.

Математически проблема сводится к созданию совокупности методов анализа и решения начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Применим для решения поставленных  задач для блочной структуры с разнотипными блоками факторизационный метод, в основе которого лежит  дифференциальный метод факторизации, специально адаптированный для представленного  класса задач [5].

Ниже излагается базовый математический аппарат – дифференциальный метод факторизации [6], который позволяет определить уровень напряженности блочной структуры земной коры с учетом трещиноватости и наличия включений сред иной природы.  Зная естественную напряженность коры до техногенного воздействия, можно установить изменения поля напряженности на различных этапах выработки, оценить закономерности изменения сейсмичности во времени, дать прогнозные оценки.

Рассмотрим последовательность применения дифференциального метода факторизации к граничной задаче общего вида.

Пусть граничная задача формируется системой L дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Область определения – выпуклая трехмерная область  с гладкой границей . Система может иметь произвольный порядок, быть однородной или неоднородной. В операторной форме она запишется  следующим образом:

,                                                                                (1)

, , , , .

Граничные условия имеют вид:

 .                                                                               (2)

Обозначения:   – неизвестные функции, подлежащие определению,  ,  – дифференциальные операторы, соответствующие системе дифференциальных уравнений в частных производных и граничным условиям,  и  – вектора функций, элементами которых служат внешние воздействия.

Если исследуемая область является полупространством,  математический аппарат факторизации  позволяет решить задачу в конечном виде. Если область  – выпуклая, задача сводится к решению системы нормально разрешимых псевдодифференциальных уравнений меньшей размерности.

Далее используем естественные системы  координат , , связанных с границей , где оси  и  лежат в касательной плоскости к границе, а   – нормальна к ней;  – максимальное число касательных плоскостей к границе .

Применим интегральное преобразование Фурье

,

к  системе (1) – (2), получим в естественных координатах систему функциональных уравнений вида

.                                                                   (3)

Здесь  – матрица порядка L в естественной системе координат с номером , элементами являются полиномиальные функции;  – вектор параметров преобразования Фурье; ; ; ;  – вектор внешних форм, значениями которого будут искомые функции , их нормальные производные на границе , заданные граничными условиями, неизвестные значения и производные. Последние возникают и определяются из псевдодифференциальных уравнений, получаемых  далее при реализации факторизационных процедур.

Пусть , тогда (3)  записывается  в виде:

.                                                             (4)

Применяя алгоритм дифференциального метода факторизации [5, 6], приходим к системе псевдодиффернециальных уравнений, из которой после  выполнения некоторых громоздких преобразований  получаем искомые неизвестные величины  в интегральной форме:

.               (5)

Схема дифференциального метода факторизации в настоящей работе изложена для одного блока. Она легко применяется к  блочным структурам и дополняется  процессом  «сшивания» решений, получаемых в каждом блоке [7, 8], что осуществляется автоматически при удовлетворении граничных условий. Если материал неоднороден, в нем имеются  трещины, включения из другого материала или меньших размерностей, их следует  рассматривать как границы блоков. В результате получается единообразный алгоритм, который можно применять как к однородным средам, так и к блочным структурам с указанными неоднородностями.

Вычисление интегралов в соотношениях  (5) можно выполнить численным или аналитическим путем. Однако для ряда частных значений  параметров и характеристик  можно получить аналитический интегральный вид решения, например, в задачах об устойчивости и резонансах подобных структур с некоторой степенью приближенности [9].

 

Литература

1. Козырев А.А., Панин В.И. Общесистемные закономерности в горнотехнических системах для прогноза и профилактики техногенной сейсмичности // Горн. информ.-анал. бюл. – 2012. – № 10. – С. 140-144.
2. Адушкин В.В., Родионов В.Н., Турунтаев С.Б., Юдин А.Е. Сейсмичность месторождений углеводородов // Нефтегазовое обозрение. Весна 2000. –Т. 5. –№ 1. –С. 4-15.
3. Маловичко А.А., Маловичко Д.А. Применение методов численного моделирования сейсмических волновых полей для изучения разномасштабных проявлений техногенной сейсмичности // Современные математические и геологические модели природной среды: Сборник научных трудов. – М.: ОИФЗ РАН, 2002. – С. 120–138.
4. Хаврошкин О.Б. Некоторые проблемы нелинейной сейсмологии. – М.: ОИФЗ РАН, 1999. – 286 с.
5. Зарецкая М.В. Математические модели деструктивных процессов в структурно-неоднородной геофизической среде // Защита окружающей среды в нефтегазовом комплексе. – 2014. – № 2. – С. 25–30.
6. Зарецкая М.В. Математические методы исследования неустойчивых геологических структур // Защита окружающей среды в нефтегазовом комплексе. – 2013. – № 7. – С. 33–38.
7. Бабешко В.А., Бабешко О.М.,  Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова А.В. Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры // Доклады академии наук. – 2009.  – Т. 424.  – № 1. – С. 36–39.
8. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О блочных элементах в приложениях // Физическая мезомеханика. –2012. –Т.15. –№1. –С. 95–103.
9. Зарецкая М.В. Приближенные методы исследования процессов в блочных структурах геофизической среды // Защита окружающей среды в нефтегазовом комплексе. – 2015. – № 5. – С. 19–24.

References

1. Kozyrev A.A., Panin V.I. Obshhesistemnye zakonomernosti v gornotehnicheskih sistemah dlja prognoza i profilaktiki tehnogennoj sejsmichnosti // Gorn. inform.-anal. bjul. – 2012. – № 10. – S. 140-144.
2. Adushkin V.V., Rodionov V.N., Turuntaev S.B., Judin A.E. Sejsmichnost' mestorozhdenij uglevodorodov // Neftegazovoe obozrenie. Vesna 2000. – T. 5. – № 1. –S. 4-15.
3. Malovichko A.A., Malovichko D.A. Primenenie metodov chislennogo modelirovanija sejsmicheskih volnovyh polej dlja izuchenija raznomasshtabnyh projavlenij tehnogennoj sejsmichnosti // Sovremennye matematicheskie i geologicheskie modeli prirodnoj sredy: Sbornik nauchnyh trudov. – M.: OIFZ RAN, 2002. – S. 120–138.
4. Havroshkin O.B. Nekotorye problemy nelinejnoj sejsmologii. – M.: OIFZ RAN, 1999. – 286 s.
5. Zareckaja M.V. Matematicheskie modeli destruktivnyh processov v strukturno-neodnorodnoj geofizicheskoj srede // Zashhita okruzhajushhej sredy v neftegazovom komplekse. –2014. – № 2. – S. 25–30.
6. Zareckaja M.V. Matematicheskie metody issledovanija neustojchivyh geologicheskih struktur // Zashhita okruzhajushhej sredy v neftegazovom komplekse. –2013. –№ 7. –S. 33–38.
7. Babeshko V.A., Babeshko O.M., Evdokimova O.V., Zareckaja M.V., Pavlova A.V. Differencial'nyj metod faktorizacii dlja blochnoj struktury //  Doklady akademii nauk. – 2009.  –T. 424.  –№ 1. – S. 36–39.
8. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. O blochnyh jelementah v prilozhenijah // Fizicheskaja mezomehanika. –2012. –T.15. –№1. –S. 95–103.
9. Zareckaja M.V. Priblizhennye metody issledovanija processov v blochnyh strukturah geofizicheskoj sredy // Zashhita okruzhajushhej sredy v neftegazovom komplekse. – 2015. –№ 5. – S. 19–24.