ОСОБЕННОСТИ "ЦЕНТР" И "СЕДЛО" В ТЕНЗОРНЫХ РАСШИРЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

Берзин Д.В.

Кандидат физико-математических наук, доцент Финансового университета при Правительстве Российской Федерации, Москва

ОСОБЕННОСТИ "ЦЕНТР" И "СЕДЛО" В ТЕНЗОРНЫХ РАСШИРЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

Аннотация

В теории гамильтоновых систем важное место занимают перестройки типа "центр" и "седло". В статье рассмотрены эти особенности на примере тензорного расширения классической задачи Эйлера о движении твердого тела.

Ключевые слова: Гамильтоновы системы, тензорные расширения, бифуркации, задача Эйлера.

Keywords: Hamiltonian systems, tensor extensions, bifurcations, Euler problem.

В теории интегрируемых гамильтоновых систем важным является метод тензорного расширения алгебр Ли, который впервые был предложен В.В.Трофимовым [1], а затем развит А.В.Браиловым [2]. Этот метод, в частности, дает весьма эффективный способ построения инволютивных семейств функций на орбитах коприсоединенного представления групп Ли. Особое место здесь занимает тензорное расширение алгебр Ли посредством фактор-кольца . Имеется алгоритм, принадлежащий С.Ж.Такиффу [3] и В.В.Трофимову [1], позволяющий из интегралов и инвариантов для исходной алгебры Ли получить соответствующие интегралы и инварианты для расширенной алгебры. В частности, с помощью этого алгоритма можно из классических и известных систем получать интегрируемые системы с перестройками некомпактных инвариантных подмногообразий.

Известно, что движение трехмерного твердого тела вокруг точки, закрепленной в центре масс, можно описать уравнениями Эйлера для алгебры Ли  группы движений трехмерного евклидового пространства. Такие системы гамильтоновы на четырехмерных орбитах коприсоединенного представления (диффеоморфных касательному расслоению двумерной сферы) и для полной интегрируемости по Лиувиллю кроме гамильтониана указывается еще один (дополнительный) интеграл .

В результате тензорного расширения получаем 12-мерную алгебру Ли . Имеем отображение момента , где – орбита общего положения коприсоединенного представления для тензорного расширения, , где – инволютивный относительно скобки Пуассона-Ли набор, получаемый из  при тензорном расширении [4]. Доказывается, что орбита  общего положения диффеоморфна , где – двумерная сфера.

Рассмотрим перестройки типа "центр" (обозначим через "A") и "седло" (обозначим через  "B"). В канонических координатах  в окрестности начала координат двумерной плоскости они задаются отображениями [5]:

Теорема. В результате операции тензорного расширения особенности "центр" и "седло", заданные в локальных канонических координатах  выражениями (1) и (2), перейдут во особенности, определяемые (3) и (4) соответственно:

При этом отображения момента и  заданы в окрестности точки  в четырехмерном симплектическом пространстве . Особенности нулевого ранга (3) и (4) – вырожденные и относятся к типам 14a и 14b соответственно (см. таблицу в конце [6]).

Литература

1. Трофимов В.В. Расширения алгебр Ли и гамильтоновы системы / Изв. АН СССР, серия матем., 1983, т.47, № 6, с. 1303-1321

2. Браилов А.В. Инволютивные наборы на алгебрах Ли и расширения кольца скаляров / Вестник МГУ, Сер.1 Математика, механика / 1983, №1, с. 47-51

3. Takiff S.J. Rings of invariant polynomials for a class of Lie algebras. –Trans. Amer. Math. Soc., 1971, V.160, p.249-262

4. Берзин Д.В. Инварианты коприсоединенного представления для алгебр Ли некоторого специального вида / Успехи мат. наук, 1996, т.51, №1, с.141

5.  Eliasson L. Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals. Elliptic case / Comment.Math.Helvetici, №65, 1990, p.4-35

6. Lerman L.M., Umanskii Ya.L. Structure of the Poisson action of on a four-dimensional symplectic manifold / Selecta Mathematica Sovietica, 1987, v.6, №4, p.365-396.