ОПТИМАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТОЛЩИНАМИ СЛОЕВ ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ АСИММЕТРИЧНОЙ МАГНИТОСТРИКЦИОННО-ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ

ОПТИМАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТОЛЩИНАМИ СЛОЕВ ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ АСИММЕТРИЧНОЙ МАГНИТОСТРИКЦИОННО-ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ

Научная статья

Филиппов Д.А.^1, *, Лалетин В. М.² , Поддубная Н.Н.³, Семенова С.А.⁴, Хиндриксон В.Д.⁵

¹ ORCID: 0000-0002-4359-7770;

² ORCID: 0000-0002-3531-0629;

³ ORCID 0000-0002-9809-487X;

^{1, 4, 5} Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого, Великий Новгород, Россия;

^{2, 3} Институт технической акустики, Витебск, Белоруссия

* Корреспондирующий автор (Dmitry.Filippov[at]novsu.ru)

Аннотация

Рассмотрен магнитоэлектрический эффект в трехслойной магнитострикционно-пьезоэлектрической структуре магнетик – пьезоэлектрик – магнетик с противоположными знаками магнитострикции магнетиков, обусловленный деформациями изгиба. Показано, что эффективность магнитоэлектрического преобразования структуры зависит от соотношения толщины слоев магнетиков и пьезоэлектриков. Максимальная эффективность преобразования достигается в случае, когда нейтральная линия совпадает с границей раздела пьезоэлектрика и магнетика. Получено соотношение между толщинами слоев для получения максимальной величины эффекта. Показано, что в зависимости от соотношения толщин слоев магнитоэлектрический коэффициент может изменять знак.

Ключевые слова: композиционные мультиферроики, магнитострикция, пьезоэлектричество, магнитоэлектрический эффект, магнитоэлектрический коэффициент.

OPTIMUM RELATIONSHIP BETWEEN THE THICKNESSES OF THE LAYERS FOR ASYMMETRIC THREE-LAYERED MAGNETOSTRICTIVE-PIEZOELECTRIC STRUCTURE

Research article

Filippov D.A.^1, *, Laletin V.M.², Poddubnaya N.N.³, Semenova S.A.⁴, Khindrikson V.D.⁵

¹ ORCID: 0000-0002-4359-7770;

² ORCID: 0000-0002-3531-0629;

³ ORCID 0000-0002-9809-487X;

^{1, 4, 5} Yaroslav-the-Wise Novgorod State University, Veliky Novgorod, Russia;

^{2, 3} Institute of Technical Acoustics, Vitebsk, Belarus

* Corresponding author (Dmitry.Filippov[at]novsu.ru)

Abstract

The current study examines the magnetoelectric effect in the three-layer magnetostrictive- piezoelectric magnetic-piezoelectric-magnetic material structure with opposite signs of magnetostriction of magnetic materials caused by flexural strain. The study demonstrates that the efficiency of the magnetoelectric transformation of the structure depends on the ratio of the thickness of the layers of magnetic and piezoelectric materials. The maximum conversion efficiency is achieved when the neutral line coincides with the interface between the piezoelectric and the magnetic materials. The research obtains the ratio between the layer thicknesses to achieve the maximum effect value. It is shown that the magnetoelectric coefficient can change the sign depending on the ratio of the thickness of the layers.

Keywords: composite multiferroics, magnetostriction, piezoelectricity, magnetoelectric effect, magnetoelectric coefficient.

Введение

Композиционные мультиферроики привлекают к себе все большее внимание ввиду наличия в них взаимосвязи электрических и магнитных характеристик, что открывает возможности создания на их основе принципиально новых устройств электроники, как в низкочастотной области, так и в СВЧ [1], [3], [4]. Особый интерес они представляют для нового направления электроники стрейнтроники – науки, основанной на эффектах, связанных с деформациями материала, которая активно развивается в последнее время [5]. Магнитоэлектрический (МЭ) эффект является перекрестным эффектом и заключается в возникновении электрического напряжения на обкладках образца при помещении его в магнитное поле. В композитах на основе магнетиков и пьезоэлектриков он возникает благодаря механическому взаимодействию между магнитострикционной и пьезоэлектрической фазами материала. При помещении образца в магнитное поле в магнетике вследствие магнитострикции возникают механические деформации. Через интерфейс эти деформации передаются в пьезоэлектрик и, вследствие пьезоэффекта, индуцируется электрическое напряжение между обкладками образца. На основе МЭ эффекта возможно создание принципиально новых устройств с управлением одновременно и электрическим полем и магнитным полем [6]. В настоящее время наибольшее распространение получили объемные (bulk) композиционные мультиферроики, изготавливаемые по керамической технологии и слоистые мультиферроики, получаемые методами склеивания, напыления или гальванического осаждения. Для достижения максимальной величины МЭ эффекта исследовались двухслойные и трехслойные структуры с последовательным соединением слоев [7] и параллельным [8], [12], [14] расположением слоев, прямоугольной и дискообразной формы с различными составами композитов. Вследствие нелинейности магнитострикции в магнитострикционно-пьезоэлектрических композитах возможен также нелинейный МЭ эффект, при котором индуцированное электрическое напряжение квадратично зависит от величины приложенного магнитного поля. При этом частота выходного сигнала равна удвоенной частоте входного сигнала [15], [16].

Возникновение МЭ эффекта в композитах связано с распространением в них продольных планарных колебаний, изгибных колебаний и распространением деформаций по толщине. При распространении колебаний возникает явление электромеханического резонанса, при котором имеет место пиковое увеличение амплитуды колебаний [17], [18], [19]. Резонансная частота зависит от модулей упругости и плотности слоев фаз, способов закрепления и геометрических параметров образца. При колебаниях по толщине частота резонанса наиболее высокая, а при изгибных колебаниях резонансная частота наиболее низкая. В трехслойных симметричных структурах реализуются только планарные колебания и колебания по толщине, а изгибные колебания отсутствуют. Величина МЭ эффекта при изгибных колебаниях зависит от физических параметров фаз и соотношения между толщиной магнитострикционного и пьезоэлектрического слоя [20], [21]. Для усиления МЭ эффекта авторы в работе [22] использовали биморфную структуру, состоящую из двух слоев магнетика с разными знаками магнитострикции и двух слоев пьезоэлектрика, имеющими противоположное направление поляризации. Им удалось получить величину МЭ коэффициента, превышающую величину МЭ коэффициента в двухслойных структурах с аналогичными параметрами. При изготовлении таких структур возникает необходимость поляризовать слои пьезоэлектрика в противоположных направлениях, что значительно усложняет процесс изготовления таких структур. В данной работе исследована асимметричная трехслойная структура, состоящая из двух слоев магнетика с положительной и отрицательной магнитострикцией и расположенного между ними пьезоэлектрика. Проанализирована зависимость величины МЭ взаимодействия от физических параметров и соотношений толщин пьезоэлектрического и магнитострикционных слоев.

Модель

Трехслойные асимметричные структуры интересны тем, что они позволяют достичь большей эффективности преобразования магнитного поля в электрическое поле, по сравнению с двухслойными структурами. Использование материалов с противоположными знаками магнитострикции позволяет увеличить изгибающий момент, как следствие, увеличить деформации в пьезоэлектрическом слое что приводит увеличению величины индуцированного электрического поля. В качестве материала с отрицательной магнитострикцией можно использовать никель или феррит-никелевую шпинель, а в качестве материалов с положительной магнитострикцией можно использовать пермендюр или метглас.

Согласно теории изгиба [23] имеют место следующие положения:

1) деформации по разные стороны от нейтральной линии имеют разные знаки, следовательно, структуры, у которых нейтральная линия совпадает с границей раздела между магнитострикционным слоем и пьезоэлектриком будут иметь максимальную эффективность;

2) положение нейтральной линии определяется толщиной модулями упругости слоев структуры. Изменение толщины одного из слоев приводит к смещению нейтральной линии и, как следствие, может привести к изменению знака деформаций в пьезоэлектрическом слое.

В качестве модели рассмотрим трехслойную структуру магнетик 1/ пьезоэлектрик/магнетик 2 с противоположными знаками магнитострикции. Схематичное изображение такой структуры представлено на рис. 1. Начало системы координат совместим с центром образца, а ось X (1) совместим с границей раздела между слоем пьезоэлектрика и слоем нижнего магнетика с отрицательной магнитострикцией.

Рис. 1 – Схематичное изображение структуры:

1 - m1 – слой (положительный), 2 – m2 – слой (отрицательный), 3 – p – слой (пьезоэлектрик PZT), 4 – нейтральная линия, 5 – электроды

 

В дальнейшем мы будем предполагать, что длина образца много больше его ширины и толщины. В этом приближении материальные уравнения для пьезоэлектрической и магнитострикционных фаз будут иметь следующий вид:

 

где  – компоненты тензора деформаций пьезоэлектрического, первого и второго магнитострикционных слоев,   – их модули Юнга,  – компоненты вектора напряженности электрического поля и электрической индукции,  – компоненты тензора напряжений пьезоэлектрической и магнитострикционной фаз,  – пьезоэлектрический и пьезомагнитные коэффициенты,  – компонента тензора диэлектрической проницаемости пьезоэлектрика.

Результаты и обсуждение

Используя гипотезу Бернулли, и условие равенства нулю X – проекции результирующей силы, для координаты нейтральной линии z₀ получим следующее выражение:

    (5)

где – толщины слоев,  – полная толщина образца,  – среднее значение модуля Юнга.

Параметр z₀ может быть как положительным, так и отрицательным. Структура будет оптимальной, если его значение будет равным либо z₀=0 либо . В этом случае будет испытывать только один тип деформаций – либо растяжение (z₀=0), либо сжатие (). В этом случае электрическое поле будет иметь одно направление по всей толщине пьезоэлектрика. В противном случае, когда нейтральная линия лежит внутри пьезоэлектрика часть слоев пьезоэлектрика испытывает растяжение, другая часть сжатие. Электрическое поле в различных частях имеют разные направления, в результате чего суммарное электрическое поле уменьшается.

Используя уравнение (5), получим соотношение между толщинами слоев для оптимальной асимметричной структуры в виде: для случая z₀=0 для случая  Уравнения (6) и (7) позволяют, зная толщину двух слоев, легко определить оптимальную толщину третьего слоя.

Заключение

Трехслойные асимметричные магнитострикционно-пьезоэлектрические структуры, состоящие из пьезоэлектрика и двух магнетиков с противоположными знаками магнитострикции, обладают большей эффективностью магнитоэлектрического преобразования по сравнению с двухслойными структурами. Для достижения максимальной эффективности преобразования между толщинами слоев должно выполняться определенное соотношение, при котором нейтральная линия лежит на границе раздела пьезоэлектрика либо с первым магнетиком, либо со вторым.

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

1. Tu C. Mechanical-Resonance-Enhanced Thin-Film Magnetoelectric Heterostructures for Magnetometers, Mechanical Antennas, Tunable RF Inductors, and Filters / C. Tu, Z. Chu, B. Spetzler et al, //Materials – 2019 – V. 12 – P. 2259. DOI: https://doi.org/10.3390/ma12142259.
2. Dwight Viehland Tutorial: Product properties in multiferroic nanocomposites / Dwight Viehland, Jie Fang Li, Yaodong Yang, Tommaso Costanzo, Amin Yourdkhani et al. // J. Appl. Phys. – 2018 – V.124 P. 061101.
3. Vopson M. M. Fundamentals of Multiferroic Materials and Their Possible Applications / M. M. Vopson // Critical Reviews in Solid State and Materials Sciences – 2015 – V.40 –P. 223 .
4. Composite Magnetoelectrics: Materials, Structures, and Applications, Eds: G. Srinivasan, S. Priya, and N. X. Sun, Woodhead Publishing Series in Electronic and Optical Materials, No.62, 2015.
5. Бухараев А.А. Стрейнтроника — новое направление микро- и наноэлектроники и науки о материалах / А.А. Бухараев, А.К. Звездин, А.П. Пятаков, Ю.К. Фетисов Стрейнтроника // УФН – 2018 – Т. 188 – P. 1288
6. Zhang J. Bidirectional tunable ferrite-piezoelectric trilayer magnetoelectric inductors / Zhang, D. Chen, D. A. Filippov, K. Li, Q. Zhang et al. // Appl. Phys. Lett. – 2018 - v. 113 - p. 113502; https://doi.org/10.1063/1.5044738
7. Филиппов Д.А. Теория магнитоэлектрического эффекта в гибридных феррит-пьезоэлектрических композиционных материалах / Д.А. Филиппов // Письма в ЖТФ – 2004 – т. 30- №9 – с. 6 - 11.
8. Srinivasan G. Magnetoelectric bilayer and multilayer structures of magnetostrictive and piezoelectric oxides / G. Srinivasan, E.T. Rasmussen, J. Gallegos, R. Srinivasan, Yu. I. Bokhan, V.M. Laletin // Phys. Rev. B. – 2001 – V. 64 –P. 214408
9. Филиппов Д.А. Инверсный магнитоэлектрический эффект в дискообразных образцах из феррит-пьезоэлектрических композитов / Д.А. Филиппов, Т.А. Галкина, В.М. Лалетин //Физика твердого тела – 2011 - Т. 53 - №9 - С. 1737-1742.
10. Amirov Direct Magnetoelectric Effect in a Sandwich Structure of PZT and Magnetostrictive Amorphous Microwires / Abdulkarim Amirov, Irina Baraban, Larissa Panina, Valeria Rodionova // Materials – 2020 – V. 13 – Iss. 4, P. 916; https://doi.org/10.3390/ma13040916
11. Филиппов Д.А. Магнитоэлектрический эффект в тонкопленочных магнитострикционно-пьезоэлектрических структурах, выращенных на подложке / Д.А. Филиппов // ФТТ - 2012 - т. 54 - №6 - с. 1112-1115
12. Sreenivasulu G. Magnetoelectric interactions in layered composites of piezoelectric quartz and magnetostrictive alloys / G. Sreenivasulu, V.M. Petrov, L.Y., Fetisov, Y.K., G. Srinivasan // Phys. Rev. B - 2012 – V. 86 – P. 214405 .
13. Филиппов Д.А. Магнитоэлектрический эффект в двухслойной магнитострикционно-пьезоэлектрической структуре / Д.А. Филиппов, В.М. Лалетин, T.A. Galichyan // ФТТ – 2013 – т. 55 - №9 – С.1728 -1733.
14. Peng Zhou Magnetoelectric Interactions in Composites of Ferrite Films on Lattice-Matched Substrates and Ferroelectrics / Peng Zhou, Amit V. Singh, Z. Li, M.A. Popov, Ying Liu, D.A. Filippov et al.// Phys. Rev. Appl.- 2019 – V. 11 – P. 054045
15. Филиппов Д.А. Нелинейный магнитоэлектрический эффект в композиционных мультиферроиках / Д.А. Филиппов, В.М. Лалетин, Т.О. Фирсова // Физика твердого тела – 2014 - том 56 - вып. 5 - с. 944-948
16. Лалетин В.М. Нелинейный резонансный магнитоэлектрический эффект в магнитострикционно-пьезоэлектрических структурах / В.М. Лалетин, Д.А. Филиппов, Т.О. Фирсова // Письма в ЖТФ – 2014 - том 40 - вып. 6 - с. 11-18
17. Bichurin M.I. Resonance magnetoelectric effects in layered magnetostrictive-piezoelectric composites / M.I. Bichurin, D.A. Filippov, V.M. Petrov, V.M. Laletsin, N.N. Paddubnaya, G. Srinivasan // Phys. Rev. B, 2003. – 68. – P. 132408 DOI: 10.1103/PhysRevB.68.132408
18. Филиппов Д.А. Гигантский магнитоэлектрический эффект в композиционных материалах в области электромеханического резонанса / Д.А. Филиппов, М.И. Бичурин; В.М. Петров; В.М. Лалетин; Н.Н. Поддубная; G. Srinivasan // Письма в ЖТФ. - 2004. - Т. 30. - № 1. - С. 15-20
19. Филиппов Д.А. Резонансное усиление магнитоэлектрического эффекта в композиционных феррит-пьезоэлектрических материалах / Д.А. Филиппов, М.И. Бичурин; В.М. Петров; В.М. Лалетин; G. Srinivasan // ФТТ. – 2004. - Т. 46. - №9. – С. 1621-1627
20. Petrov V. M. Theory of magnetoelectric effect for bending modes in magnetostrictive-piezoelectric bilayers / V. M. Petrov, G. Srinivasan,_ M. I. Bichurin, T. A. Galkina. // J. Appl. Phys. – 2009 – V.105 – P. 063911
21. Sreenivasulu G. Magneto-electric interactions at bending resonance in an asymmetric multiferroic composite: Theory and experiment on the influence of electrode position / Sreenivasulu, P. Qu, V. M. Petrov, Hongwei Qu, and G. Srinivasan. // J. Appl. Phys. – 2015 – V.117 – P. 174105
22. Fetisov L.Y. Resonance magnetoelectric interactions in an asymmetric ferromagnetic-ferroelectric layered structure /Y. Fetisov, N.S. Perov, Y.K. Fetisov, G. Srinivasan, V.M. Petrov. // J. Appl. Phys. – 2011 – V. 109 – P. 053908
23. Дарков А.В. Сопротивление материалов Изд. 4-е / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. М., Высшая школа. (1975). 654 с.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Tu C. Mechanical-Resonance-Enhanced Thin-Film Magnetoelectric Heterostructures for Magnetometers, Mechanical Antennas, Tunable RF Inductors, and Filters / C. Tu, Z. Chu, B. Spetzler et al, //Materials – 2019 – V. 12 – P. 2259. DOI: https://doi.org/10.3390/ma12142259.
2. Dwight Viehland Tutorial: Product properties in multiferroic nanocomposites / Dwight Viehland, Jie Fang Li, Yaodong Yang, Tommaso Costanzo, Amin Yourdkhani et al. // J. Appl. Phys. – 2018 – V.124 P. 061101.
3. Vopson M. M. Fundamentals of Multiferroic Materials and Their Possible Applications / M. M. Vopson // Critical Reviews in Solid State and Materials Sciences – 2015 – V.40 –P. 223 .
4. Composite Magnetoelectrics: Materials, Structures, and Applications, Eds: G. Srinivasan, S. Priya, and N. X. Sun, Woodhead Publishing Series in Electronic and Optical Materials, No.62, 2015.
5. Buharaev A.A. Strejntronika — novoe napravlenie mikro- i nanojelektroniki i nauki o materialah [Straintronics: a new trend in micro- and nanoelectronics and materials science] / A.A. Buharaev, A.K. Zvezdin, A.P. Pjatakov, Ju.K. Fetisov Strejntronika // UFN – 2018 – Vol. 188 – P. 1288 [in Russian]
6. Zhang J. Bidirectional tunable ferrite-piezoelectric trilayer magnetoelectric inductors / J. Zhang, D. Chen, D. A. Filippov, K. Li, Q. Zhang et al. // Appl. Phys. Lett. – 2018 - v. 113 - p. 113502; https://doi.org/10.1063/1.5044738
7. Filippov D.A. Teorija magnitojelektricheskogo jeffekta v gibridnyh ferrit-p'ezojelektricheskih kompozicionnyh materialah [Theory of magnetoelectric effect in ferrite-piezoelectric hybrid composites] / D.A. Filippov // Pis'ma v ZhTF [Technical Physics Letters] – 2004 – Vol. 30- №9 – p. 6 - 11. [in Russian]
8. Srinivasan G. Magnetoelectric bilayer and multilayer structures of magnetostrictive and piezoelectric oxides / G. Srinivasan, E.T. Rasmussen, J. Gallegos, R. Srinivasan, Yu. I. Bokhan, V.M. Laletin // Phys. Rev. B. – 2001 – V. 64 –P. 214408
9. Filippov D.A. Inversnyj magnitojelektricheskij jeffekt v diskoobraznyh obrazcah iz ferrit-p'ezojelektricheskih kompozitov [Inverse Magnetoelectric Effect in Disk-Shaped Samples of Ferrite Piezoelectric Composites] / D.A. Filippov, T.A. Galkina, V.M. Laletin // Fizika tverdogo tela [Physics of the Solid State] – 2011 - Vol. 53 - № 9 - P. 1737-1742. [in Russian]
10. Amirov A. Direct Magnetoelectric Effect in a Sandwich Structure of PZT and Magnetostrictive Amorphous Microwires / Abdulkarim Amirov, Irina Baraban, Larissa Panina, Valeria Rodionova // Materials – 2020 – V. 13 – Iss. 4, P. 916; https://doi.org/10.3390/ma13040916
11. Filippov D.A. Magnitojelektricheskij jeffekt v tonkoplenochnyh magnitostrikcionno-p'ezojelektricheskih strukturah, vyrashhennyh na podlozhke [Magnetoelectric Effect in Thin Film Magnetostriction– Piezoelectric Structures Grown on a Substrate] / D.A. Filippov // FTT - 2012 - Vol. 54 - №6 - P. 1112-1115[in Russian]
12. Sreenivasulu G. Magnetoelectric interactions in layered composites of piezoelectric quartz and magnetostrictive alloys / G. Sreenivasulu, V.M. Petrov, L.Y., Fetisov, Y.K., G. Srinivasan // Phys. Rev. B - 2012 – V. 86 – P. 214405 .
13. Filippov D.A. Magnitojelektricheskij jeffekt v dvuhslojnoj magnitostrikcionno-p'ezojelektricheskoj strukture [Magnetoelectric Effect in a Magnetostrictive–Piezoelectric Bilayer Structure] / D.A. Filippov, V.M. Laletin, T.A. Galichyan // FTT [Physics of the Solid State] – 2013 – Vol. 55 - №9 – P.1728 -1733. [in Russian]
14. Peng Zhou Magnetoelectric Interactions in Composites of Ferrite Films on Lattice-Matched Substrates and Ferroelectrics / Peng Zhou, Amit V. Singh, Z. Li, M.A. Popov, Ying Liu, D.A. Filippov et al.// Phys. Rev. Appl.- 2019 – V. 11 – P. 054045
15. Filippov D.A. Nelinejnyj magnitojelektricheskij jeffekt v kompozicionnyh mul'tiferroikah [Nonlinear Magnetoelectric Effect in Composite Multiferroics] / D.A. Filippov, V.M. Laletin, T.O. Firsova // Fizika tverdogo tela [Physics of the Solid State]– 2014 – Vol 56 - issue. 5 - P. 944-948 [in Russian]
16. Laletin V.M. Nelinejnyj rezonansnyj magnitojelektricheskij jeffekt v magnitostrikcionno-p'ezojelektricheskih strukturah [The Nonlinear Resonance Magnetoelectric Effect in Magnetostrictive-Piezoelectric Structures] / V.M. Laletin, D.A. Filippov, T.O. Firsova // Pis'ma v ZhTF [Technical Physics Letters] – 2014 -Vol 40 - iss. 6 - p. 11-18[in Russian]
17. Bichurin M.I. Resonance magnetoelectric effects in layered magnetostrictive-piezoelectric composites / M.I. Bichurin, D.A. Filippov, V.M. Petrov, V.M. Laletsin, N.N. Paddubnaya, G. Srinivasan // Phys. Rev. B, 2003. – 68. – P. 132408 DOI: 10.1103/PhysRevB.68.132408
18. Filippov D.A. Gigantskij magnitojelektricheskij jeffekt v kompozicionnyh materialah v oblasti jelektromehanicheskogo rezonansa [Giant Magnetoelectric Effect in Composite Materials in the Region of Electromechanical Resonance] / D.A. Filippov, M.I. Bichurin; V.M. Petrov; V.M. Laletin; N.N. Poddubnaja; G. Srinivasan // Pis'ma v ZhTF [Technical Physics Letters]. - 2004. - Vol. 30. - № 1. - P. 15-20[in Russian]
19. Filippov D.A. Rezonansnoe usilenie magnitojelektricheskogo jeffekta v kompozicionnyh ferrit-p'ezojelektricheskih materialah [Resonant amplification of the magnetoelectric effect in ferrite-piezoelectric composites] / D.A. Filippov, M.I. Bichurin; V.M. Petrov; V.M. Laletin; G. Srinivasan // FTT. – 2004. - Vol. 46. - №9. – P. 1621-1627[in Russian]
20. Petrov V. M. Theory of magnetoelectric effect for bending modes in magnetostrictive-piezoelectric bilayers / V. M. Petrov, G. Srinivasan,_ M. I. Bichurin, T. A. Galkina. // J. Appl. Phys. – 2009 – V.105 – P. 063911
21. Sreenivasulu G. Magneto-electric interactions at bending resonance in an asymmetric multiferroic composite: Theory and experiment on the influence of electrode position / G. Sreenivasulu, P. Qu, V. M. Petrov, Hongwei Qu, and G. Srinivasan. // J. Appl. Phys. – 2015 – V.117 – P. 174105
22. Fetisov L.Y. Resonance magnetoelectric interactions in an asymmetric ferromagnetic-ferroelectric layered structure / L.Y. Fetisov, N.S. Perov, Y.K. Fetisov, G. Srinivasan, V.M. Petrov. // J. Appl. Phys. – 2011 – V. 109 – P. 053908
23. Darkov A.V. Soprotivlenie materialov [Strength of materials] Ed. 4th / A.V. Darkov, G.S. Shpiro. M., Vysshaja shkola. (1975). 654 p. [in Russian]