ГИПОТЕЗА ХОКИНГА О ЕВКЛИДОВОЙ ПРИРОДЕ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

Константинов М.Ю.

Кандидат физико-математических наук, МГТУ им. Н.Э. Баумана

ГИПОТЕЗА ХОКИНГА О ЕВКЛИДОВОЙ ПРИРОДЕ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

Аннотация

В связи с современными проблемами общей теории относительности, гравитации и космологии анализируется гипотеза Хокинга о евклидовой природе пространства-времени. Показано, что в классической теории эта гипотеза естественным образом приводит к существованию темной материи и к полиметрическим моделям пространства-времени. Отмечено, что обсуждаемая гипотеза не противоречит существованию гравитационных волн. Отмечено также, что переход к ньютоновскому пределу осуществляется обычным образом.

Ключевые слова: пространство-время, гипотеза Хокинга, общая теория относительности, полиметрические теории пространства-времени, темная материя

Konstantinov M.Yu.

PhD in Physics and mathematics, N. E. Bauman Moscow State Technical University

THE HAWKING’S HYPOTHESIS ABOUT EUCLIDEAN STRUCTURE OF SPACE-TIME IN CLASSICAL PHYSICS

Abstract

In connection with current problems of General relativity, gravitation, and cosmology the hypothesis of Hawking about of Euclidean nature of space-time is analyzed. It is shown that in the classical theory this hypothesis leads naturally to the dark matter existence and to the polymetric space-time theories. It is pointed out that the hypothesis under consideration does not contradict to the gravitation waves existence. It is pointed out also that the Newtonian approximation is realized by the usual manner.

Keywords: space-time, the Hawking’s hypothesis, general relativity, polymetric space-time theories, dark matter

Введение

Для решения современных проблем общей теории относительности, гравитации и космологии требуется рассмотрение обобщенных структур пространства-времени, таких, как многомерные модели, включая модели с вариацией констант [1,2], модели Финслерова пространства-времени [3,4], модели эффективной теории поля [5] и другие. В связи с этим представляет интерес анализ предположения Хокинга о том, что «…квантовая теория (а в действительности вся физика) реально определена в евклидовой области и лишь особенности нашего восприятия приводят нас к ее интерпретации в лоренцевом режиме» [6].

В квантовой теории поля и в квантовой гравитации для улучшения сходимости континуальных интегралов часто используется поворот Вика, состоящий в переходе к мнимому времени путем замены . При этом пространство Минковского с лоренцевой метрикой сигнатуры (-,+,+,+) переходит в евклидово пространство с метрикой сигнатуры (+,+,+,+). Высокая эффективность такой процедуры и привела Хокинга к указанному предположению.

В классической теории поворот Вика не применим. Однако соответствие между псевдоримановыми и римановыми пространствами может быть установлено и без перехода к комплексному времени, что позволяет обсудить применимость гипотезы Хокинга к классическим моделям пространства-времени и рассмотреть некоторые следствия.

О соответствии между римановыми и псевдоримановыми пространствами

Соответствие между римановыми и псевдоримановыми метриками, не использующее перехода к комплексному времени, хорошо известно и состоит в следующем [7-8]. Пусть  - риманова метрика (сигнатура (+,+,+,+)) на некотором четырехмерном гладком многообразии , и пусть  - единичное (для простоты) векторное поле на этом многообразии, то есть . Тогда равенство

                                       (1)

определяет на  псевдориманову метрику лоренцевой сигнатуры (+,-,-,-), причем  является времениподобным векторным полем в метрике . Легко убедиться, что контравариантный тензор  определяется равенством, аналогичным равенству (1)

,                                              (1а)

причем .

Обратно, если  - некоторая псевдориманова метрика лоренцевой сигнатуры на  и  - произвольное единичное времениподобное векторное поле то равенство

                                                   (2)

определяет  риманову метрику сигнатуры (+,+,+,+).

Соответствие между римановой и лоренцевой метриками, устанавливаемое равенствами (1) – (2), в общем случае является локальным. Чтобы такое соответствие было справедливо на всём пространстве-времени, необходимо существование на  нигде не обращающегося в нуль векторного поля, что эквивалентно условию равенства нулю эйлеровой характеристики [9].

В случае произвольного (не обязательного единичного) векторного поля  равенства (1) – (2) перепишутся в виде

                      (3)

причем легко убедиться, что равенство  справедливо и в этом случае.

Вне окрестности особых точек векторного поля  равенства (1) – (2) полностью эквивалентны равенствам (3).

Тензоры кривизны Римана-Кристоффеля, Риччи и скалярная кривизна метрик  и  связаны хорошо известными формулами биметрического формализма. Например, для тензора кривизны Риччи имеем

,

где

,

точка с запятой обозначает ковариантную производную в соответствии с метрикой , а взятые в скобки индексы G и g обозначают величины, вычисленные по соответствующим метрикам.

Стоит отметить, что из того, что одна из метрик  или  плоская, вовсе не следует, что вторая метрика также будет плоской.

Гипотеза Хокинга в классической физике

Если следовать гипотезе Хокинга, то ареной классической физики следует считать риманово пространство, то есть пару , где  - четырехмерное гладкое многообразие, а  – некоторая риманова метрика сигнатуры (+,+,+,+) на . Соответствующий функционал действия будет иметь вид

,                                               (4)

где  - некоторая константа,  - скаляр Риччи метрики ,  - лагранжиан материальных полей, а .

Предположение Хокинга о том, что лоренцева структура пространства-времени обусловлена особенностями нашего восприятия фактически означает, что в некотором приближении кинетический член лагранжиана материальных полей  определяется лоренцевой метрикой , связанной с евклидовой метрикой  равенством (2) (или эквивалентным ему равенством (3)).

Если лагранжиан  рассматривать как лагранжиан полей наблюдателя, то риманов метрический тензор  и все производные от него величины, входящие в интеграл действия (4) естественно выразить через лоренцеву метрику , используя равенства (1) – (2). При этом функционал действия (4) примет вид

,                                 (5)

где

.

Очевидно, что

.

Последние два равенства доказывает эквивалентность функционалов (4) и (5).

Интеграл (5) представляет собой интеграл действия эйнштейновской общей теории относительности для гравитационного поля , источниками которого являются обычная материя и векторное поле . Заметим, что в общем случае поле  может присутствовать и в качестве источника и в интеграле (4).

Формально функционал действия (5) описывает пространство-время, порождаемое полями обычной материи (слагаемое  в (5)) и векторным полем  с минимальной связью. Однако в отличие от обычных моделей с минимальной связью, отсутствие связи между обычной материей и векторным полем  является точным, а не приближённым. Поэтому слагаемое  в интеграле (5) следует рассматривать как лагранжиан тёмной материи (тёмной энергии).

Таким образом, одним из следствий из классического варианта гипотезы Хокинга о евклидовой природе пространства-времени является неизбежное существование тёмной материи или тёмной энергии.

Полиметрическое пространство-время

С геометрической точки зрения векторное поле на римановом многообразии  ни чем не выделено по сравнению с другими единичными векторными полями. Это позволяет предположить возможность сосуществования в одном и том римановом пространстве  нескольких видов материи, движение которых описывается разными лоренцевыми структурами , порождаемых одной и той же положительной метрикой  и разными векторными полями , где  на одном и том же многообразии . Такое предположение впервые было впервые высказано автором в 1985 году [10] и вторично высказано недавно Героком [11].

Рассмотрим на многообразии  наряду с полем  систему векторным полей , где . С помощью аналогичных написанному выше соотношению получим систему псевдоримановых метрик  лоренцевой сигнатуры (+,-,-,-):

,                               (6)

где величины  имеют смысл максимальной скорости распространения сигнала в пространстве-времени с метрикой  и должны удовлетворять следующим условиям, исключающим совпадение метрик  если  и  если .

Для контравариантных компонент метрики  получим

,

где . Исключая тензор  находим связь между ковариантными и контравариантными компонентами метрик  и :

               (7)

где

.

Здесь .

Очевидно, что соответствие вида (7) существует не для любой пары лоренцевых метрик.

Если риманово пространство  порождено  видами материи, то функционал действия может быть записан в виде, аналогичном равенству (4)

,                (8)

где  - лагранжиан поля   - лагранжианы полей   - лагранжиан i-го вида материи, причём для материи, движущейся в пространстве-времени  классической теории относительности . Лагранжиан  включен в интеграл (8), чтобы все различные виды материи были формально равноправными.

С точки зрения наблюдателя, движущегося в пространстве-времени  действие (8) будет иметь вид, обобщающий действие (5):

,              (8а)

где  - лагранжиан i-го вида материи, а - лагранжиан взаимодействия полей  и .

Слагаемые

в последнем выражении для действия S естественно рассматривать как описывающие тёмную материю, а переход от действия (8) к действию (8а) – как аналог спонтанного нарушения симметрии.

Заключительные замечания

Таким образом, в классическом варианте гипотеза Хокинга о евклидовой природе пространства-времени приводит, во-первых, к выводу о существовании тёмной материи, и, во-вторых, к полиметрическим моделям пространства-времени, допускающим существование объектов, максимальная скорость распространения которых превышает скорость света в вакууме. Оба этих вывода нуждаются в небольших комментариях.

Во-первых, тёмная материя, возникающая в рамках гипотезы Хокинга, является следствием восприятия риманова пространства-времени как псевдориманова. При этом не исключается возможность существования других форм тёмной материи и тёмной энергии, обсуждаемых в литературе.

Во вторых, принято считать, что возможность распространения сигналов со сверхсветовой скоростью неизбежно приводит к нарушению причинности и различным парадоксам (см. напр. [12]). Однако прямой расчет показывает, что если движение частиц (распространение сигналов) со сверхсветовой скоростью описываются общековариантными уравнениями, то нарушение причинности в таких моделях возникает только в том случае, если изотропный конус будущего сверхсветовой материи пересекается с конусов прошлого обычной материи [13].

Легко видеть, что поскольку движение обычной материи обусловлено псевдоримановой метрикой , то переход к Ньтоновскому пределу не отличается аналогичного перехода в стандартной общей теории относительности. По той же причине рассмотренные модели не противоречат существованию гравитационных волн.

Список литературы / References

1. Pavsic M. Extra Time-Like Dimensions, Superluminal Motion, and Dark Matter / M. Pavsic [Electronic resource] – URL: https://arxiv.org/abs/1110.4754 (accessed: 30.11.16)
2. Bronnikov K. A. Variation of the fine-structyre constant in multidimensional space / K. A. Bronnikov, V. N. Melnikov, I. V. Svadkovski, S. G. Rubin // Physical Interpretation of Relativity Theory: Proceedings of International Meeting. 1 – 4 July 2013. / Ed. by M. C. Duffy, V. O. Gladyshev, A. N. Morozov, V. Pustovoit, P. Rowlands. – Moscow : BMSTU, 2013. – P. 40-49.
3. Zotikov V. G. Principle of general relativity in Finsler geometry and in its generalizations / V. G. Zotikov // Physical Interpretation of Relativity Theory: Proceedings of International Meeting. 1 – 4 July 2013. / Ed. by M. C. Duffy, V. O. Gladyshev, A. N. Morozov, V. Pustovoit, P. Rowlands. – Moscow : BMSTU, 2013. – P. 380-396.
4. Bogoslovsky G. Yu. On relativistic symmetry of Finsler spaces with mutually opposite preferred directions / G. Yu. Bogoslovsky // Physical Interpretation of Relativity Theory: Proceedings of International Meeting. 1 – 4 July 2013. / Ed. by M. C. Duffy, V. O. Gladyshev, A. N. Morozov, V. Pustovoit, P. Rowlands. – Moscow : BMSTU, 2013. – P. 30-39.
5. Koslowski N. F. Shape Dynamics and Effective Field Theory / F. Koslowski // TheInternational Journal of Modern Physics. – 2013. – Vol. 28. – N 13.
6. Hawking S. Euclidian Quantum Gravity, in Recent Developments in Gravitation / Hawking ; ed. by S. Deser. – Plenum Press, 1978.
7. Хокинг С. Крупномасштабная структура пространства-времени / С. Хокинг, Дж. Эллис. – М. : Мир, 1977.
8. Мицкевич Н. В. Отображение псевдоримановых пространств на римановы в общей теории относительности, в кн.: Гравитация и теория относительности / Н. В. Мицкевич. – Казань, 1982. – С. 115-119.
9. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. – М. : Наука, 1979. – 760 с.
10. Константинов М. Ю. Топологические переходы в классической теории гравитации: скалярно-тензорный формализм / М. Ю. Константинов // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. Вып. 16. / Под ред. К. П. Станюковича и В. Н. Мельникова. – М. : Энергоатомиздат, – C. 148-157.
11. Geroch R. Faster Than Light? / Geroch [Electronic resource] – URL: https://arxiv.org/abs/1005.1614 (accessed: 30.11.16)
12. Hawking S. Chronology Protection Conjecture/ S. Hawking [Electronic resource] – URL: https://doi.org/10.1103/PhysRevD.46.603 (accessed: 30.11.16)
13. Константинов М. Ю. Сверхсветовые частицы в полиметрических теориях пространства-времени специального вида / М. Ю. Константинов // Известия вузов. Физика. – 2012. – N– С. 65-70.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Pavsic M. Extra Time-Like Dimensions, Superluminal Motion, and Dark Matter / M. Pavsic [Electronic resource] – URL: https://arxiv.org/abs/1110.4754 (accessed: 30.11.16)
2. Bronnikov K. A. Variation of the fine-structyre constant in multidimensional space / K. A. Bronnikov, V. N. Melnikov, I. V. Svadkovski, S. G. Rubin // Physical Interpretation of Relativity Theory: Proceedings of International Meeting. 1 – 4 July 2013. / Ed. by M. C. Duffy, V. O. Gladyshev, A. N. Morozov, V. Pustovoit, P. Rowlands. – Moscow : BMSTU, 2013. – P. 40-49.
3. Zotikov V. G. Principle of general relativity in Finsler geometry and in its generalizations / V. G. Zotikov // Physical Interpretation of Relativity Theory: Proceedings of International Meeting. 1 – 4 July 2013. / Ed. by M. C. Duffy, V. O. Gladyshev, A. N. Morozov, V. Pustovoit, P. Rowlands. – Moscow : BMSTU, 2013. – P. 380-396.
4. Bogoslovsky G. Yu. On relativistic symmetry of Finsler spaces with mutually opposite preferred directions / G. Yu. Bogoslovsky // Physical Interpretation of Relativity Theory: Proceedings of International Meeting. 1 – 4 July 2013. / Ed. by M. C. Duffy, V. O. Gladyshev, A. N. Morozov, V. Pustovoit, P. Rowlands. – Moscow : BMSTU, 2013. – P. 30-39.
5. Koslowski N. F. Shape Dynamics and Effective Field Theory / F. Koslowski // TheInternational Journal of Modern Physics. – 2013. – Vol. 28. – N 13.
6. Hawking S. Euclidian Quantum Gravity, in Recent Developments in Gravitation / Hawking ; ed. by S. Deser. – Plenum Press, 1978.
7. Hawking Krupnomasshtabnaja struktura prostranstva-vremeni [The Large Scale Structure of Space Time] / S. Hawking, G. F. R. Ellis. – Moscow : Mir, 1977.
8. Mitzkevich N. V. Otobrazhenie psevdorimanovykh prostanstv na rimanovy v obshchey teorii otnositel’nosty. [ The mapping of Pseudo Riemannian Spaces on the Riemannian one in General Relativity] / N. V. Mitzkevich // Gravitatsiya i teoriya otnositel’nosty [Gravitation and Relativity]. – Kazan, 1982. – P. 115-119 [in Russian]
9. Dubrovin B. A. Sovremennaya geometriya [The Modern Geometry] / B. A. Dubrovin, S. P. Novikov, A. T. Fomenko. – Moscow : Nauka, 1979. – 760 p. [in Russian]
10. Konstantinov M. Yu. Topologicheskie perekhody v klassicheskoy teorii gravitatsii: skalyarno-tenzorny formalyzm. [Topological transitions in classical gravitational theory: the scalar-tensor formalizm] / M. Yu. Konstantinov // Problemy teorii gravitatsii I elementarnykh chastits [The Problems of gravitational theory and elementary particles] / Ed. by K. P. Stanyukovich, N.V. Melnikov. – Moscow : Energoatomizdat Publ., 1985. – iss. 16. – P. 148-157. [in Russian]
11. Geroch R. Faster Than Light? / Geroch [Electronic resource] – URL: https://arxiv.org/abs/1005.1614 (accessed: 30.11.16)
12. Hawking S. Chronology Protection Conjecture/ S. Hawking [Electronic resource] – URL: https://doi.org/10.1103/PhysRevD.46.603 (accessed: 30.11.16)
13. Konstantinov M. Yu. Sverhsvetovye chasticy v polimetricheskih teorijah prostranstva-vremeni special'nogo vida [Super-Light Particles in Some Kind of Polymetric Theories of Space-Time] / M. Yu. Konstantinov // Izvestiya vuzov. Ser. Fizika [Proceedings of the universities. Physics] – 2012. – N 5. – P. 65-70. [in Russian]