УЧЕБНО-ПРОГРАММНАЯ СРЕДА: РАСЧЕТ, МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ УСТРОЙСТВЕ И ИСПЫТАНИЕ НЕРЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Вследствие невозможности выполнения вручную из-за больших затрат на вычислительные процедуры и графические построения характеристик, проектирование и испытание цифровых устройств обработки сигналов проводят в программных средах типа Mathcad, Delta Design и др. [1].

В связи с уменьшением объема часов на изучение электротехники и электроники и на планирование курсовых работ по дисциплине в учебных планах многих направлений бакалавриата в области техники и технологий, преподаватель теперь проводит занятия в 5-6 группах: с 80-90 студентами в семестре, из которых 15-20 % по разным причинам нерегулярно изучают дисциплину. В этих условиях выполнение студентами заданий или курсовых работ в семестре в установленные сроки помогла бы (практически не реализуемая на практике) установка на их ВУ (ноутбук, планшет и др.) лицензионной среды моделирования и анализа электронных устройств.

 В данной статье рассматриваются методологические основы проектирования нерекурсивных цифровых фильтров (НЦФ), а также разработка учебно-программной среды DNF [2] для расчета, моделирования и испытания НЧФ нижних частот по заданным параметрам к его амплитудно-частотной характеристике (АЧХ). Среда DNF разработана с использованием языков Visual C++ 6.0 и DHTML для инсталляции на студенческие ВУ с ОС Windows 10 или 11, с браузером Edge и объемом свободной памяти не менее 20 МБ.

Цифровой фильтр - дискретная систе­ма, преобразующая последовательность x(k) отсчётов входного сигнала в последовательность y(k) отсчётов выходного сигнала.  Среди фильтров выделяют нерекурсивные (КИХ-фильтры) и рекурсивные (БИХ-фильтры) соответственно с конечными и с бесконечными импульсными характеристиками, а по расположению частотных полос пропускания и задержки сигналов их подразделяют на фильтры нижних и верхних частот, полосовые и заграждающие (режекторые) [3], [4] и [5]. 

Цифровые фильтры используют для цифровой фильтрации и спектрального анализа сигналов [6]: в радиолокации, в медицинской аппаратуре, в каналах связи телекоммуникаций для передачи информации и т.п.

В учебных планах подготовки инженеров уделено большое внимание изучению процессов цифровой обработки сигналов, в частности, расчёту и моделированию цифровых систем для их преобразования [7], [8] и [9].

Работа основана на изучении литературы по данной теме и анализе личного многолетнего опыта преподавания электротехнических дисциплин.

Проектирование НЦФ нижних частот выполнялось на основе аппроксимации заданной идеальной АЧХ фильтра модифицированным гармоническим рядом Фурье (метод «окон») [1], [10].

Разработка ПО учебно-программной среды DNF проводилась с использованием языков Visual C++ 6.0 и DHTML.

В реализации НЦФ в виде программы для ВУ использовалась прямая структурная схема, построенная на базе трех типов электронных элементов: сумматоров, умножителей и элементов задержки.

Проверка функциональных возможностей синтезированного НЦФ проводилась по стандартной методике посредством подачи на его вход типовых (тестовых) сигналов: единичного отсчета, единичной последовательности, дискретизированных синусоидального и косинусоидального сигналов.

Проверка значений выходных отсчетов сигналов фильтра, рассчитанных по подпрограмме DNF, выполнялась по их равенству выходным отсчетам, найденных вручную посредством операции свертки двух сигналов: подаваемой на вход фильтра четырехточечной последовательности отсчетов, задаваемых вручную с клавиатуры ВУ, с дискретной импульсной функцией НЦФ.

Алгоритмы фильтрации, структурные схемы и характеристики НЦФ

Главной характеристикой линейного НЦФ, работающего во временной области, является алгоритм фильтрации, описываемый линейным разностным уравнением N-го порядка

(1)

где , - постоянные фильтра; - номер отсчёта входной последовательности (сигнала) ; и - шаг и частота дискретизации аналогового сигнала.

Максимально допустимый шаг , соответственно минимальную частоту дискретизации входного сигна­ла , выбирают на основе теоремы отсчётов (теоремы Котельникова) [1, C. 57]:

где - максимальная частота спектра сигнала , определяемая на основе, например, энергетического критерия.

В общем случае выходной сигнал (при ) в текущий момент времени определяется значением входного сигнала в тот же момент времени , значениями входного сигнала в предшествующие моменты времени    и описывается разностным уравнением вида

(2)

где - задержанный соответственно на n отсчётов входной сигнал.

Варьируя величинами и в уравнении (1) или (2), создают набор алгоритмов для реализации структуры схемы фильтра на базе трех типов электронных элементов: сумматоров (условное обозначение на схемах ), умножителей  и элементов задержки .

Системную функцию прямой структуры НЦФ (рис. 1, а), выражающую соотношение между выходными и входными дискретными сигналами, обычно выражают в -области, т.е.

(3)

где ,  - комплексная частота (в рад/с), ,

 а в каскадной структуре, состоящей из звеньев 2-го порядка (рис. 1, б),

(4)

Рисунок 1 - Прямая структурная схема НЦФ (а) и структурная схема звена 2-го порядка (б)

DOI:10.23670/IRJ.2022.126.4.1

Отсчеты импульсной функцию НЦФ, равные коэффициентам алгоритма фильтрации (2), получают при подаче на его вход единичного импульса :

(5)

Системная функция фильтра в частотной области

(6)

является прямым z-преобразованием импульсной функции фильтра, которая, в свою очередь, равна обратному преобразованию системной функции:

(7)

Интегрирование выражения (7) обычно ведут по контуру единичного радиуса, при котором  подставив которое в (3) получают комплексную передаточную функцию НЦФ:

(8)

или

(9)

где  и  - модуль и аргумент комплексной передаточной функции, называемые соответственно амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками фильтра.

Из выражения (9) следует, что характеристики АЧХ и ФЧХ НЦФ являются периодическими функциями частоты с периодом, равным частоте дискретизации , и определяются весовыми коэффициентами в прямых связях схемы НЦФ (см. рис. 1, а), а также шагом дискретизации (рис.  2, а), поэтому требования к ним дос­таточно задавать на интервале угловых частот , а для построении графика модуля АЧХ фильтра в диапазоне от 0 до - при изменении угла от 0 до .

Рисунок 2 - Частотные характеристики АЧХ H(ω) и ФЧХ Ψ(ω) НЦФ (а) и границы полос пропускания wп и задерживания wз(б)

DOI:10.23670/IRJ.2022.126.4.2

При проектировании цифровых фильтров угловую частоту обычно задают в долях от дискретной угловой частоты , т.е. при ,

где  - относительная циклическая частота НЦФ.

Тогда требования к частотным характеристикам фильтра следует задавать на интервале w = [0…0,5], а реальная шкала частот равна f = wfд. При этом изменяются аргументы в обозначениях характеристик: , , .

Методы расчета НЦФ с заданными требованиями к АЧХ

Для разработки учебно-программной среды DNF, с помощью которой по заданным параметров АЧХ можно определить минимальный порядок N НЦФ нижних частот, синтезировать его и провести анализ его временных и частотных характеристик, необходимо выбрать метод расчета параметров НЦФ нижних частот и получить математические выражения его характеристик.

Метод расчёта НЦФ с заданной идеальной АЧХ связан с выбранным из сгруппированных в три группы [1] критерием ее аппроксимации. Первая группа включает метод разложения в ряд Фурье и метод наименьших квадратов, вторая и третья – алгоритм Ремеза и некоторые другие сравнительно редко используемые алгоритмы.

Выбираем метод разложения в ряд Фурье, так как для его реализации требуется наименьший объём вычислений, особенно при числе отсчетов N > 5000…10000.

Комплексный ряд Фурье [1, С. 238] периодической функции при нечётном и симметричных коэффициентах (рис. 3, а)

(10)

где коэффициенты ряда Фурье ck (рис. 3, б)

(11)

а соответствующий ряд Фурье

(12)

Выполнив замену переменных в (12) при , получим ряд Фурье

(13)

с коэффициентами ck, совпадающими с отсчётами функции g(k) фильтра.

Рисунок 3 - Графики функций при поэтапном выводе выражения системной функции НЦФ по заданной АЧХ при ее аппроксимации модифицированным рядом Фурье

DOI:10.23670/IRJ.2022.126.4.3

Прямое использование формул (12) и (13) приводит к физически нереализуемым фильтрам, так как порядок фильтра N оказывается бесконечным и суммирование начинается от отсчёта , поэтому в (13) отбрасывают коэффициенты ck с индексами после некоторого значения L (рис. 3, г):

Однако простое усечение ряда Фурье приводит к явлению Гиббса, которое проявляется на графике АЧХ в виде выбросов (до 9%) в зоне пропускания сигнала и пульсаций АЧХ (рис. 3, в). Увеличение числа N не уменьшает максимальную амплитуду пульсаций, а уменьшает лишь ширину выбросов.

Чтобы исключить явление Гиббса, коэффициенты сk ряда Фурье (см. рис. 3, г) умножают на множители прямоугольной весовой функцию v(k) (рис. 3, е) с передаточной функцией V(w) (рис. 3, д) при    и на нуль при |k| > L. Этот процесс приводит к сглаживанию передаточной функции (рис. 3, ж). При использовании других весовых функций («окон»): треугольного «окна», функций Хемминга, Блэкмана или Кайзера уменьшается колебательный характер у окончательной передаточной функции, но одновременно увеличивается ширина промежуточной полосы.

Для физической реализации НЦФ ограниченную последовательность коэффициентов сk Фурье (см. рис. 3, г) сдвигают вправо на L отсчётов и рассчитывают комплексную передаточную функцию  по формуле

(14)

а после умножения ее коэффициентов сk на коэффициенты функции vk получают модифицированную передаточную функцию

(15)

где L = (N-1)/2; ak - коэффициенты импульсной функции g(k) фильтра, определяемые по формулам: a0 = с'L, aL = с'0; аk = с'L- k, k = 1, 2,…, L.

Если выполняется условие ak=aN-k-1, то ФЧХ НЦФ

(16)

т.е. ФЧХ нерекурсивного фильтра является линейной периодической функцией c областью определения для циклической частоты w от -0,5 до 0,5 со скачком на графике ФЧХ  от до на границе указанного диапазона.

Полученные выражения (10)…(16) использованы при разработке ПО среды DNF, в которой вычисления ведутся с числами конечной длины, определяемой разрядностью микропроцессора типа Pentium, равной 64 битам (вычисления ведутся с двойной точностью), что позволяет не проводить анализ влияния ограничений разрядности чисел на точность выходных отсчетов.

Проектирование НЦФ c заданными требованиями к его АЧХ

Из проведенного выше анализа следует, что расчет НЦФ сводится к определению коэффициентов правых частей уравнений (2) или (3) по заданным требованиям к его АЧХ в несколько этапов:

· анализ требований к АЧХ фильтра;

· формулировка задачи аппроксимации заданной его АЧХ;

· схемная реализация фильтра;

· проверка работоспособности синтезированного фильтра: он должен быть устойчивым и физически реализуемым.

Исходными данными для расчёта ЦФ являются граничные частоты и полос пропускания и задерживания, допуски (в дБ) на отклонение АЧХ от номинального уровня (равного единице) в полосе пропускания и (в дБ) в полосе задерживания (см. рис. 2, б), а также частота дискретизации входного анало­гового сигнала .

Требования к АЧХ НЦФ при решении задачи ее аппроксимации обычно трансформируются в требования к его коэффициен­ту затухания (в дБ):

т.е. исходными данными являются: максимальное отклонение коэффициента затухания  от номинального уровня в полосе пропускания

и гарантированное затухание   сигнала в полосе .

Прежде чем начать проектирование НЦФ, студент должен изучить материалы лекций по цифровой обработке сигналов, методику расчета НЦФ и пройти «Опрос по теме» (рис. 4), правильно ответив на ³75 % тестовых заданий.

Рисунок 4 - Фрагменты тестовых заданий

DOI:10.23670/IRJ.2022.126.4.4

Проектирование НЦФ выполняется с использованием учебно-программной среды DNF, главное меню которой состоит из следующих пунктов (рис. 5):

Рисунок 5 - Главное меню учебно-программной среды DNF

DOI:10.23670/IRJ.2022.126.4.13

- New (проектирование нового НЦФ),

- ЦФ (заставка для ввода параметров ЦФ),

- АЧХ (вывод на экран графика АЧХ фильтра),

- ЛАЧХ (вывод на экран графика логарифмической АЧХ фильтра),

- ФЧХ (вывод на экран графика логарифмической ФЧХ фильтра),

- ИХ (вывод на экран графика импульсной характеристики фильтра),

- ВО (вывод на экран графика весового окна),

- Тест (вывод на экран заставки для выбора тестовых сигналов и ввода их параметров),

- ВхС (вывод на экран графика тестового входного сигнала),

- ВыхС (вывод на экран графика выходного сигнала фильтра),

- About (информация о разработчиках ПО среды DNF).

Проектирование НЦФ начинается со щелчка мышью на кнопке «New» в главном меню среды DNF. При этом всплывает окно «ЦФ» (рис. 6, а) ввода исходных данных для проектирования, например, варианта 1 (табл. 1) фильтра.

Вначале, посредством щелчка мышью на кнопке «ЛАЧХ» на экран дисплея ВУ выводится окно с графиком ЛАЧХ фильтра (рис. 6, б), а после щелчка мышью на кнопке «Enter» клавиатуры ВУ и ввода значений частот wп и wз в окна «Частота 1» и «Частота 2», выводятся значения коэффициентов  и  при заданном порядке, например, N = 17 фильтра.

Так как полученные коэффициенты  и  меньше заданных:

то порядок N фильтра необходимо увеличить, щелкая каждый раз мышью с его увеличением на кнопках «За­пом­нить» и «ЛАЧХ» в меню среды DNF для автоматического обновления как графика ЛАЧХ, так и ниже него значений новых коэффициентов.

Наконец, при N = 31 (рис. 6, г) требования к АЧХ выполнены и даже перевыполнено требование для  в полосе пропускания:

вследствие необходимости обеспечить второе требование к АЧХ: коэффициент ç-aminç должен быть равен или больше 40 дБ.

После выбора окна «Хемминга» (см. рис. 6, в) и щелчка мышью на кнопках «ВО» и «ЛАЧХ», на экран ВУ выводится график выбранного окна (рис. 6, д) и график LАЧХ (рис. 6, е), на котором видно, что границы полос пропускания и задерживания «размылись» и расширилась переходная полоса wз-wп, что свидетельствует о снижение разрешающей способности фильтра при одновременном уменьшении пульсаций АЧХ в полосе пропускания и лучшем их подавлении в полосе задерживания.

Графики АЧХ фильтра (рис. 6, ж) и его импульсной функции g(k) (рис. 6, з) выведены на экран дисплея ВУ посредством щелчков мышью на кнопках «АЧХ» и «ИХ» главного меню среды DNF. Значения коэффициентов ak центральной части импульсной характеристики g(k), выведенные слева от ее графика, равны:

a15 = 0,5; a14 = a16 = 0,27324; a13 = a17 = 0; a12 = a18 = -0,011 и т.д.

Рисунок 6 - Заставки среды DNF (а, в) и графики характеристик НЦФ:

б - ЛАЧХ при N=17; г - при N= 31; е- с окном Хемминга; д - окна Хемминга; ж- АЧХ; з- ИХ

DOI:10.23670/IRJ.2022.126.4.7

На выведенном на экран графике ФЧХ (рис. 7, а) видны скачки на радиан выходных отсчетов угла сдвига фаз на частотах , где k – четное.

Рисунок 7 - График ФЧХ спроектированного НЦФ (а) и заставка (б) для выбора и ввода тестовых сигналов в подпрограммы среды DNF

DOI:10.23670/IRJ.2022.126.4.14

Обобщенная структурная схема прямой структуры спроектированного НЦФ аналогична схеме (см. рис. 1, а), с изменением в ней только записи последнего коэффициента на . Запишем выражения системной функции

и импульсной функции фильтра

Проверка нерекурсивных ЦФ на устойчивость не проводится, так как они принципиально устойчивые.

Испытание синтезированного НЦФ

При разработке цифрового фильтра в виде специального устройства на базе сигнального процессора типа TSP-320хх и др. предварительно выполняют его синтез в виде программы на базе микропроцессора ВУ и анализируют графики выходных характеристик, полученных посредством подачи на его вход следующих тестовых сигналов: единичного отсчета, единичной последовательности, дискретизированных синусоидального и косинусоидального сигналов, произвольной последовательности отсчетов, задаваемой вручную с клавиатуры ВУ, и, реже, полигармонический синусоидальный сигнал для демонстрации его цифровой фильтрации.

После щелчка мышью на кнопке «Тест» в выведенной на экран заставке (см. (рис. 7, б) выбирают входные сигналы, последовательно подают их на вход НЦФ и выводят на экран ВУ графики входных и выходных сигналов посредством щелчков мышью на кнопках «ВхС» и «ВыхС»:

 а) при подаче на вход единичного отсчёта  на выходе НЦФ получают импульсную функцию ИХ g(k) фильтра (см. рис. 6, з), на  графике которой видны ярко выраженные отсчеты в центральной ее части (a15 = 0,5, a14 = a16 = 0,27324) и резкое снижение коэффициентов ak при удалении от ее центральной части;

б) далее, при подаче на вход фильтра единичной последовательности  (рис. 8, а) на экран ВУ выводится график переходной функции h(k) (рис. 8, б), время установления которой (от 0 до 0,9 уровня 1) равно ;

Рисунок 8 - Единичная последовательность (а) и переходная характеристика h(k) (б) НЦФ

DOI:10.23670/IRJ.2022.126.4.9

в) для построения АЧХ НЦФ на его вход поочередно подают синусоидальный сигнал х(k) = sin(2πwk), 0 < w < 0,5 (рис. 9, а), затем косинусоидальный сигнал х(k) = cos(2πwk) (рис. 10, а), 0 < w < 0,5, а отсчеты АЧХ выполнены по программе среды DNF по формуле

На рис. 9, б и рис. 10, б представлены графики выходных сигналов с нормированной частотой w = 0,01, на которых заметны 1/w = 100 отсчетов за период, задержка выходных сигналов на L = 15 отсчетов и заметное искажение первой полуволны косинусоидального сигнала;

Рисунок 9 - График входного синусоидального сигнала (а) и его график на выходе НЦФ (б)

DOI:10.23670/IRJ.2022.126.4.10

Рисунок 10 - График входного косинусоидального сигнала (а) и его график на выходе НЦФ (б)

DOI:10.23670/IRJ.2022.126.4.11

Согласно заданию (см. табл. 1, вариант 1) проверим рассчитанные по программе среды DNF и выведенные на экран ВУ значения отсчетов y15 ≈ 0,715, y16 ≈ -0,499 и y17 ≈-0,999 (рис. 11, б)

операции свертки двух дискретных сигналов: четырехточечной последовательности х(k) = {2, -1, -2, 1}, введенной вручную с клавиатуры ВУ и поданной на вход фильтра (рис. 11, а), и импульсной функции g(k) (см. рис. 6. з) фильтра, посредством сравнения с рассчитанными вручную значениями отсчетов операции свертки указанных сигналов х(k) и g(k) при k = L= 15, L + 1 = 16 и L + 2 = 17 следующим образом [1, C. 136]:

· отсчеты входного сигнала записывают в обратном направлении, т.е.

· выписывают в одну строку значения отсчетов, например, а11…а19 импульсной характеристики g(k) (см. рис. 6, з, слева);

· размещают полученную последовательность отсчетов х(-k)= {1, -2, -1, 2} ниже строки с последовательностью отсчетов центральной части импульсной функции g(k) фильтра таким образом, чтобы отсчет х0 оказался напротив центрального отсчета L15;

- вычисляют значение выходного отсчета

значения отсчетов y16 ≈ - 0,5 и y17 ≈ -1 определены посредством  cуммирования произведений соответствующих значений x(k) и значений отсчетов импульсной функции фильтра g(k) при сдвиге вправо на один и два шага  последовательности {1, -2, -1, 2}.

Количества всех отсчетов выходного сигнала в данной свертке сигналов

(см. рис. 11, б),

где N = 31 - число отсчетов импульсной функции g(k); Х = 4 - число отсчетов входного сиг­нала x(k).

Рисунок 11 - Графики входной последовательности x(k) (а) и последовательности выходных отсчетов y(k) свертки входного сигнала x(k) и ИХ g(k) НЦФ (б)

DOI:10.23670/IRJ.2022.126.4.12

Разработан свободно распространяемый электронный ресурс (учебно-программная среда DNF с требуемым объемом памяти для установки 20 МБ) для проектирования цифровых нерекурсивных фильтров и анализа выводимых на экраны ВУ студентов его графиков временных и частотных характеристик.

 В сравнение с лицензионными средами типа Mathcad и др., используемые студентами на кафедрах вуза, и на освоение которых требуется определенное время, затраты же времени на освоение среды DNF, предназначенной для инсталляции на ВУ студентов, сведены к минимуму: она имеет простой и понятный интерфейс, выполненный в виде одной командной строки кнопок. После щелчка мышью на каждой из них на экран дисплея ВУ выводится заставка для ввода исходных данных или график соответствующей характеристики синтезированного в виде программы НЦФ.

Разработаны варианты заданий на проектирования НЦФ; приведен пример расчета одного из вариантов, а также синтез структурной схемы фильтра и его испытание по стандартной методике с подачей на его вход тестовых сигналов и анализом выводимых на экран ВУ графиков характеристик фильтра.

Представлен подробный вывод формулы модифицированного ряда Фурье с построением графиков получаемых временных и частотных промежуточных функций, используемых студентами для сравнения с видом графиков характеристик спроектированных фильтров при их анализе.

Наличие программной среды DNF обуславливает выполнение курсовых работ в удобное студентам время и их защиту в установленный срок, а невыполненные курсовые работы в срок одним или двумя студентами в группах вызваны, в основном, уважительными причинами.

Программная среда DNF включена в программный комплекс УМК-Э2 по электронике [8] и используется преподавателями для демонстрации ее фрагментов на лекциях и практических занятиях при любом нечетном числе порядка фильтра N (вплоть до 9999 и более).