МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АВТОРЕГУЛИРУЕМОГО ПРОЦЕССА НАКОПЛЕНИЯ И РЕГЕНЕРАЦИИ ТЕПЛА В РЕГЕНЕРАТИВНОЙ ЗАЩИТНОЙ МАСКЕ

Наимов А.Н.¹, Синицын А.А.², Монаркин Н.Н.³

¹ORCID: 0000-0002-6194-7164, Доктор физико-математических наук, профессор, Вологодский государственный университет (ВоГУ), Вологодский институт права и экономики Федеральной службы исполнения наказаний (ВИПЭ ФСИН России), ²ORCID: 0000-0001-5238-696X, Кандидат технических наук, доцент, Вологодский государственный университет (ВоГУ), ³ORCID: 0000-0002-4411-5753, Аспирант, Вологодский государственный университет (ВоГУ)

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке грантов РФФИ 15-01-04713а, 16-01-00150а

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АВТОРЕГУЛИРУЕМОГО ПРОЦЕССА НАКОПЛЕНИЯ И РЕГЕНЕРАЦИИ ТЕПЛА В РЕГЕНЕРАТИВНОЙ ЗАЩИТНОЙ МАСКЕ

Аннотация

В статье построена математическая модель процесса накопления и регенерации тепла в регенеративной защитной маске в виде нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Нелинейные члены уравнения позволяют описывать переключения с режима накопления в режим регенерации и обратно. Для построенного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения введено понятие решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, и доказана теорема о существовании, единственности и свойствах решения. А также решена обратная задача по определению коэффициентов теплоотдачи на основе экспериментальных данных.

Ключевые слова: регенеративная защитная маска,  процесс накопления и регенерации тепла, математическая модель, решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения.

Naimov A.N.¹, Sinitsyn A.A.², Monarkin N.N.³

¹ORCID: 0000-0002-6194-7164, PhD in Physics and Mathematics, Professor, Vologda State University, Vologda Institute of Law and Economics of the Federal Penitentiary Service, ²ORCID: 0000-0001-5238-696X, PhD in Engineering, Associate professor, Vologda State University, ³ORCID: 0000-0002-4411-5753, Postgraduate student, Vologda State University

A MATHEMATICAL MODEL OF THE AUTO LEVELING OF THE PROCESS OF ACCUMULATION AND HEAT RECOVERY IN REGENERATIVE PROTECTIVE MASK

Abstract

The article builds the mathematical model the generation and heat recovery in regenerative protective mask in the form of a nonlinear ordinary differential equation of the first order. The nonlinear terms in the equation allow us to describe switching from the accumulation mode to the regeneration mode and back. For a nonlinear ordinary differential equation introduced the concept of the solution that satisfies initial conditions, and proved the theorem about  existence, uniqueness and properties of solution. And also solved the inverse problem by finding of heat transfer coefficients on the basis of experimental data.

Keywords: regenerative protective mask, process accumulation and heat recovery, mathematical model, solution nonlinear ordinary differential equations.

Введение

В статье построена математическая модель процесса накопления и регенерации тепла в регенеративной защитной маске. Регенеративная защитная маска применяется как средство индивидуальной защиты органов дыхания при низких температурах ([1],[2]) В регенеративной защитной маске теплообменным элементом является регенеративная насадка: насадка попеременно нагревается потоком горячего воздуха и охлаждается потоком холодного воздуха. На этапе нагрева происходит накопление тепла в насадке, а на этапе охлаждения - регенерация (отдача) тепла от насадки.

Математические модели процессов теплообмена в регенеративной защитной маске исследованы в работах [1-3]. В отличие от этих работ, в настоящей статье построена и исследована математическая модель в виде нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Нелинейные члены уравнения позволяют моделировать автоматические переключения с режима накопления тепла в режим регенерации тепла и обратно. Для построенного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения введено понятие решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, и доказана теорема о существовании, единственности и свойствах решения. Из этой теоремы вытекает, что согласно построенной модели процесс накопления и регенерации тепла происходит следующим образом: 1) начиная с некоторого момента τ₁, зависящего от начальной температуры маски, температура маски колеблется периодически; 2) переключение с режима накопления в режим регенерации происходит автоматически в момент времени, когда температура маски достигает заданного максимального значения v_max; 3) переключение с режима регенерации в режим накопления происходит автоматически в момент времени, когда температура маски достигает заданного минимального значения v_min; 4) период колебаний температуры маски зависит  от v_max, v_min, температуры наружного воздуха и физических характеристик маски.

На основе построенной модели решена задача определения коэффициентов теплоотдачи, применяя методологию решения коэффициентных обратных задач ([4-6]).

Таким образом, построенная математическая модель позволяют решать следующие практически значимые задачи:

1. Исследовать аналитически и графически изменение температуры регенеративной защитной маски в авторегулируемом процессе накопления и регенерации тепла.
2. Разработать алгоритм расчета коэффициентов теплоотдачи для всех этапов накопления и регенерации тепла в регенеративной защитной маске.
3. Оценить эффективность регенеративной защитной маски через период колебаний ее температуры.

Постановка задачи

В регенеративной защитной маске массы m, имеющей площадь S и коэффициент теплоемкости c, происходят два процесса – накопление и регенерация тепловой энергии ([1-3]). В процессе накопления тепла через маску протекает направленный в одну сторону поток горячего воздуха перпендикулярно поверхности маски. Вследствие этого маска нагревается и одновременно происходит теплопередача из внутренней среды во внешнюю (потеря тепла). Предполагается, что физические свойства маски и ее расположение позволяют накапливать значительное количество тепла, а теплопотеря при этом незначительна. В процессе регенерации тепла через маску протекает поток холодного воздуха в обратном направлении. Поток холодного воздуха нагревается за счет накопленной в маске тепловой энергии.

В работе [3] предполагалось, что процессы накопления и регенерации тепла в маске наблюдаются в интервалах времени фиксированной длины и переключения между ними происходят внешним управлением. При этом доказано, что при неограниченном возрастании времени переключения происходят в те моменты времени, когда температура маски близка к критическим значениям v_max и v_min. Когда температура маски близка к v_max происходит переключение с режима накопления в режим регенерации, а когда близка к v_min происходит переключение с режима регенерации в режим накопления. Значения  и  определяются экспериментальными измерениями. В связи с этим представляет интерес вопрос о построении математической модели, описывающей процессы накопления и регенерации тепла с авторегулируемыми переключениями при достижении критических значений  v_max и v_min.

Построение модели

Математическую модель процесса накопления и регенерации тепла в регенеративной защитной маске построим методом составления уравнения теплового баланса ([7]). Введем следующие обозначения:

m, S, c - масса, площадь и коэффициент теплоемкости маски;

v(t) - температура маски в момент времени t  в среднем по всей площади ;

v(0)=v₀ - температура маски в начальный момент времени;

u - температура внешней среды, она постоянна;

Q - поток тепла, поступающий в маску за единицу времени в процессе накопления тепла, величину Q считаем постоянной;

α - коэффициент теплоотдачи маски внешней среде в процессе накопления тепла;

β - коэффициент теплоотдачи маски холодному воздуху в процессе регенерации тепла. Коэффициенты α и β считаем постоянными.

Составим уравнение теплового баланса в процессе накопления тепла в маске. В промежутке времени от t до t + dt, где dt считаем достаточно малым, из внутренней среды поступает тепло в количестве Qdt. Одна часть поступившего тепла расходуется на нагрев маски, а другая часть расходуется на теплоотдачу маски внешней среде. Следовательно, уравнение теплового баланса имеет следующий вид:

  (1)

где  - количество тепла, которое расходуется на нагрев маски от температуры v(t) до температуры   - количество тепла, отдаваемое маской внешней среде. Количество тепла  и приращение температуры , согласно определению коэффициента теплоемкости ([8]), связаны между собой формулой

  (2)

А количество тепла , согласно закону Ньютона-Рихмана ([8]), определяется формулой

  (3)

В уравнении (1), вместо  и  подставляя правые части формул (2) и (3), получим:

  (4)

Полученное равенство можно считать уточненным уравнением теплового баланса в процессе накопления тепла в маске. Обе стороны равенства (4) поделим на dt и перейдем к пределу при . При этом воспользуемся тем, что отношение  при  стремится к v'(t) - производной функции v(t). В результате получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

  (5)

Уравнение (5) является математической моделью процесса накопления тепла в маске.

Теперь составим уравнение теплового баланса в процессе регенерации тепла в маске. Регенерация тепла происходит теплоотдачей маски холодному воздуху с температурой u. Уравнение теплового баланса в данном случае имеет вид

  (6)

где  - количество тепла, отдаваемое маской холодному воздуху,  - количество тепла, теряемое маской (теплопотеря). Согласно закону Ньютона-Рихмана,  определяется формулой

  (7)

А теплопотеря  приводит к понижению температуры от v(t) до v(t+dt):

  (8)

где . Подставляя (7) и (8) в (6), получаем уточненное уравнение теплового баланса в процессе регенерации тепла:

  (9)

Обе стороны уравнения (9) поделим на dt и перейдем к пределу при . В результате получаем следующее дифференциальное уравнение:

  (10)

Уравнение (10) является математической моделью процесса регенерации тепла в маске.

Модели (5) и (10) пока получены независимо друг от друга. Их необходимо связать между собой и тем самым получить единую модель чередующихся процессов накопления и регенерации тепла.

Предположим, что накопление тепла в маске протекает в промежутке времени от 0 до τ₁ c начальной температурой маски v(0)=v₀, а регенерация тепла в маске протекает  в промежутке времени от τ₁ до τ₂. Тогда, в силу выше проведенных рассуждений, один цикл накопления и регенерации тепла в маске описывается уравнениями

  (11)

  (12)

и условиями  (13)   (14)

Смысл условия (14) состоит в том, что в момент времени переключения τ₁ с режима накопления тепла в режим регенерации тепла температура маски v(t) не меняется.

Момент времени переключения τ₁ можно формально истолковать как момент времени, когда Q заменяется 0, коэффициент α заменяется коэффициентом β, и, вследствие этого, уравнение (11) преобразуется в уравнение (12). При наших предположениях такие замены возможны, если функция v(t) до момента времени τ₁ возрастает и в момент времени τ₁ достигает заданного максимального значения : . Учитывая это обстоятельство и полагая τ₁ неизвестным, уравнения (11), (12) вместе с условиями (13) и (14) можно представить в следующем виде:

  (15)

  (16)

Здесь функции a(x,y) и f(x,y) определяются формулами   (17)   (18)

Формулы (17) и (18) составлены так, что модель (15), (16) применима в описании не только первого цикла накопления и регенерации тепла, но и последующих циклов.

Таким образом, построена математическая модель процесса накопления и регенерации тепла в регенеративной защитной маске в виде нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (15) с начальным условием (16), где

1) моменты переключения с одного режима в другой явно не задаются;

2) переключения происходят авторегулируемым управлением либо при возрастании температуры маски и достижения заданного максимального значения v_max, либо при убывании температуры маски и достижения заданного минимального значения v_min.

Исследование решения В дальнейшем предполагаем, что выполнены следующие условия:   (19)   (20)

Определение. Решением задачи (15), (16) назовем функцию v(t), которая

1) определена и непрерывна на промежутке [0,+∞);

2) на любом конечном интервале значения v_min и v_max может принимать лишь конечное число раз;

3) непрерывна дифференцируема и удовлетворяет уравнению (15) на любом интервале, где она не принимает значения  v_min и v_max;

4) удовлетворяет условиям

  (21)

Условие 2) обеспечивает следующее свойство решения: если , то при  имеют места неравенства  и . Аналогично, если , то при  имеют места неравенства  и . Из условия 4) следует, что если  при , то  на интервале  удовлетворяет уравнению (11).

Введем обозначения:

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (19) и (20). Тогда решение v(t) задачи (15), (16) существует, единственно и обладает свойствами 1°, 2°, 3°:

1°. На интервалах  решение v(t) монотонно и представимо формулами

2°. Решение v(t) на промежутке [τ₁ , +∞) периодично с периодом, равным T.

3°. Решение v(t) в точках  принимает значение v_max, а в точках  принимает значение v_min.

Доказательство. Из начальных условий (21) и условий (19), (20) следует, что если v(t) - решение задачи (15), (16), то v(t) является решением уравнения (11) на любом интервале (0,τ₁), где имеет место неравенство . Пусть (0,τ₁) - интервал максимальной длины, где имеет место неравенство . На этом интервале найдем решение уравнения (11), удовлетворяющее начальному условию . В результате получаем, что решение задачи (15), (16) на интервале (0,τ₁) существует, единственно и представимо формулой (26). Правую часть формулы (26) приравнивая v_max, находим момент времени τ₁, при котором имеет место равенство ; тем самым получим формулу (22).

Начиная с момента времени τ₁, решение v(t) уравнения (15), удовлетворяющее условию , будет решением уравнения (12). Пусть (τ₁, τ₂) - интервал максимальной длины, где имеет место неравенство . На этом интервале найдем решение уравнения (12), удовлетворяющее начальному условию . В результате получаем, что решение задачи (15), (16) на интервале (0,τ₂) существует, единственно и имеет место формула (27). Правую часть формулы (27) приравнивая v_min, находим момент времени τ₂, при котором имеет место равенство ; тем самым получим формулу (23).

Далее, находим v(t), как решение уравнения (11), удовлетворяющее начальному условию . В результате получим представление (28). Из условия  находим τ₃ и выводим формулу (24). Начиная с момента времени τ₃ поведение решения v(t) будет таким же, как с момента времени τ₁. Следовательно, решение v(t) задачи (15), (16) периодическое и имеет период .

Из выше проведенных рассуждений также следует, что при  имеют место равенства

Теорема 1 доказана.

Из теоремы 1 вытекает, что согласно построенной модели процесс накопления и регенерации тепла происходит следующим образом:

1) начиная с некоторого момента τ₁, зависящего от начальной температуры маски, температура маски колеблется периодически;

2) переключение с режима накопления в режим регенерации происходит автоматически в момент времени, когда температура маски достигает заданного максимального значения v_max;

3) переключение с режима регенерации  в режим накопления происходит автоматически в момент времени, когда температура маски достигает заданного минимального значения v_min;

4) период колебаний температуры маски зависит от v_max, v_min, температуры наружного воздуха и физических характеристик маски.

Определение коэффициентов теплоотдачи

Рассмотрим задачу определения коэффициентов теплоотдачи α, β и потока тепла Q на основе экспериментальных данных. Для этого применим методологию решения коэффициентных обратных задач ([4-6]).

Предположим, что экспериментальными измерениями установлены значения , и установлены моменты времени  при которых имеют место равенства

  (29)

Уравнение (15) на интервале (0,τ₁) равносильно уравнению (11), а на интервале (τ₁, τ₂) равносильно уравнению (12). Поэтому пользуясь уравнениями (11), (12) и полагая m, c, S, u заданными можно находить α, β, Q. Для этого поступим следующим образом:

1) найдем решение  уравнения (11), удовлетворяющее начальному условию ;

2) найдем решение   уравнения (12), удовлетворяющее начальному условию ;

3) коэффициент β найдем из условия ;

4) коэффициент α и поток тепла Q найдем из условий .

Решение  уравнения (11), удовлетворяющее начальному условию , имеет вид

А решение  уравнения (12), удовлетворяющее начальному условию , имеет вид

В силу условия  найдем β:   (30) Для нахождения неизвестных α и Q воспользуемся условиями  :   (31)

Проверим, что система алгебраических уравнений (31) с неизвестными α и Q имеет единственное решение.

Лемма 1. Пусть выполнены условия

Тогда система алгебраических уравнений (31) с неизвестными α и Q имеет единственное решение и это решение можно находить формулами

  (32)

  (33)

Здесь z₀ - единственный корень скалярного уравнения   (34) из интервала (0, z₁), где 

Замечание 1. Левая часть уравнения (34), как функция переменной z, возрастает и выпукла вверх на интервале (0, z₁). Поэтому корень z₀ уравнения (34) можно находить приближенно численным методом Ньютона или методом хорд ([9]).

Доказательство леммы 1. Из первого уравнения системы (31) исключая Q, имеем:

  (35)

Обозначим . Тогда неизвестные α и Q  можно выразить через z:   (36) в силу первого уравнения системы (31)   (37) Согласно (35), неизвестное z является корнем уравнения

где . Данное уравнение после упрощений принимает вид (34). Таким образом, решение системы (31) сведено к решению скалярного уравнения (34). Очевидно, z=1 является корнем уравнения (34). Но, в силу формулы (36), через этот корень находить решение системы уравнений (31) невозможно.

Для того, чтобы убедиться в существовании решения скалярного уравнения (34), отличного от 1, рассмотрим функцию

Найдем критическую точку функции :

В силу условий 1)-3), имеем . Легко проверить, что  при . Следовательно, z₁ - точка максимума и

Отсюда следует, что на интервале (0, z₁) существует единственный корень z₀ скалярного уравнения (34). В формулах (36) и (37) вместо z подставляя z₀, получаем формулы (32) и (33) для нахождения решения системы алгебраических уравнений (31). Так как скалярное уравнение (34) кроме 1 и z₀ других корней не имеет, поэтому решение системы уравнений (31) единственно. Лемма 1 доказана.

В итоге можно сделать вывод, что в статье составлена математическая модель авторегулируемого процесса накопления и регенерации тепла в регенеративной защитной маске, которая позволяет исследовать температуру внутри маски и находить коэффициенты теплоотдачи при неизвестном заранее периоде аккумуляции/регенерации тепловой энергии.

Список литературы / References

1. Находкин В.П. Разработка средств индивидуальной защиты органов дыхания и методических рекомендаций по их применению в условиях отрицательных температур: Диссертация на соискание ученой степени к. т. н. – Якутск: Охрана труда, 2005. – 135 с.
2. Гудков С.В., Филатова Е.Ю., Туголуков Е.Н., Алексеев С.Ю., Романенко А.В. Выбор рациональной конструкции регенеративного теплообменника для использования в системе автоматизированного проектирования индивидуальных дыхательных аппаратов // Вопросы современной науки и техники. Университет им. В.И. Вернадского. – 2006. № 2(4), С. 69-76.
3. Монаркин Н.Н., Синицын А.А., Наимов А.Н. Построение и исследование простейшей математической модели регенеративного теплообменника // Вестник ЧГУ. - 2016. № 3 (72). С. 11-15.
4. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. - Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. - 457 с.
5. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - 208 с.
6. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. - М.: Машиностроение, 1988. - 280 с.
7. Капля Е.В., Кузеванов В.С., Шевчук В.П. Моделирование процессов управления в интеллектуальных измерительных системах. - М.: Физматлит, 2009. - 512 с.
8. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. - М.: Энергоиздат, 1981. - 416 с.
9. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1966. - 664 с.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Nahodkin V.P. Razrabotka sredstv individual'noj zashhity organov dyhanija i metodicheskih rekomendacij po ih primeneniju v uslovijah otricatel'nyh temperatur: Dissertacija na soiskanie uchenoj stepeni k. t. n. [The development of means of individual protection of respiratory organs and methodological recommendations for their application in the conditions of negative temperatures: Ph.D. thesis] – Jakutsk: Ohrana truda, 2005. – 135 P. [in Russian]
2. Gudkov S.V., Filatova E.Ju., Tugolukov E.N., Alekseev S.Ju., Romanenko A.V. Vybor racional'noj konstrukcii regenerativnogo teploobmennika dlja ispol'zovanija v sisteme avtomatizirovannogo proektirovanija individual'nyh dyhatel'nyh apparatov [The choice of the rational design of regenerative heat exchanger for use in computer-aided design of personal breathing apparatus] // Voprosy sovremennoj nauki i tehniki. Universitet im. V.I. Vernadskogo. [Issues of modern science and technology. University. V. I. Vernadsky] – 2006. # 2(4), P. 69-76. [in Russian]
3. Monarkin N.N., Sinicyn A.A., Naimov A.N. Postroenie i issledovanie prostejshej matematicheskoj modeli regenerativnogo teploobmennika [Build and study a simple mathematical model of the regenerative heat exchanger] // Vestnik ChGU [Cherepovec State University]. - 2016. # 3 (72). P. 11-15. [in Russian]
4. Kabanihin S. I. Obratnye i nekorrektnye zadachi [Inverse and ill-posed problems]. – Novosibirsk: Sibirskoe nauchnoe izdatel'stvo, 2009. – 457 P. [in Russian]
5. Denisov A. M. Vvedenie v teoriju obratnyh zadach [Introduction to the theory of inverse problems]. - M.: Izd-vo MGU, 1994. - 208 P. [in Russian]
6. Alifanov O. M. Obratnye zadachi teploobmena [Inverse problems of heat exchange]. - M.: Mashinostroenie, 1988. - 280 P. [in Russian]
7. Kaplja E.V., Kuzevanov V.S., Shevchuk V.P. Modelirovanie processov upravlenija v intellektual'nyh izmeritel'nyh sistemah [Modeling of management processes in smart metering systems]. - M.: Fizmatlit, 2009. - 512 P. [in Russian]
8. Isachenko V.P., Osipova V.A., Sukomel A.S. Teploperedacha [Heat transmission]. - M.: Jenergoizdat, 1981. - 416 P. [in Russian]
9. Demidovich B.P., Maron I.A. Osnovy vychislitel'noj matematiki [Foundations of computational mathematics]. - M.: Nauka, 1966. - 664 P. [in Russian]