МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ПРОБЛЕМЫ СОЛЕОТЛОЖЕНИЯ В СКВАЖИНАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Шангараева Л.А.

Кандидат технических наук, Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ПРОБЛЕМЫ СОЛЕОТЛОЖЕНИЯ В СКВАЖИНАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Аннотация

В статье рассматривается процесс отложения солей с точки зрения современной теории сложных динамических систем.  В связи с неустойчивостью и сложностью динамических систем при их описании проявляется ограниченность детерминированного подхода. В этом случае возможен феноменологический подход к моделированию сложных динамических систем, каким и является процесс кристаллизации неорганических солей.

Ключевые слова: солеотложения, динамические системы, феноменологический подход.

Shangaraeva L.A.

Candidate of technical Sciences, National mineral resources university «Mining»

MATHEMATICAL MODELING IN SOLVING THE PROBLEM OF SCALE IN WELLS USING THE THEORY OF COMPLEX DYNAMICAL SYSTEMS

Abstract

The article considers the process of accumulation of salts in terms of modern theory of complex dynamic systems. Due to the of the instability and complexity of dynamic systems in their description appears limitations of the deterministic approach. In this case phenomenological approach is possible to modeling of complex dynamic systems, like the process of crystallization of inorganic salts.

Keywords: scale, dynamical systems, phenomenological approach.

Пластовая система: продуктивный коллектор – скважина представляет собой сложную динамическую систему для анализа, проектирования и управления которой необходимы подходы, основанные на принципах и методах теории больших систем. В настоящее время при математическом моделировании процессов разработки нефтяных месторождений превалирует дедуктивный подход, заключающийся в расчете фильтрационных течений в реальном пласте на основе численного решения уравнений движения жидкостей и газов в пористой среде [3]. Господствует убеждение в том, что к описанию месторождения в целом можно перейти, только поняв и описав в деталях частные механизмы и уравнения. Однако обширный опыт моделирования сложных природных объектов, накопленный в различных областях науки, показывает, что дедуктивный подход, несмотря на свою привлекательность, может иметь только ограниченное применение [1, 4].

Детерминированные модели (модели дедуктивного уровня) полезны как инструмент для проведения математических экспериментов, целью которых является выработка стратегии (идеологии) управления. Расчеты с использованием дедуктивных моделей, реализованных в виде стандартных пакетов программ (ECLIPSE, MORE и т. д.), весьма продуктивны, поскольку заменяют собой дорогостоящие натурные эксперименты, но они не могут быть использованы для реального мониторинга или же для прогноза реальной динамики развития. И дело здесь не только в том, что дедуктивные модели оказываются избыточно сложными. Основная проблема связана с утратой целостности описания [1].

Анализ промышленной и экспериментальной информации показывает, что случайные колебания, возникающие в технических системах, часто имеют детерминированный характер. Они порождаются самой системой и поэтому могут служить важным источником информации о ее внутренних характеристиках. В частности, о состоянии объекта управления можно судить по оценкам размерности странного аттрактора, полученным известными методами теории динамических систем [2, 5].

Задачи реального управления (мониторинга) процессами разработки нефтяных месторождений требуют привлечения иного подхода, когда сразу определяют законы, описывающие систему в целом. Такого рода модели называются феноменологическими, и они оказываются весьма плодотворными, когда детальная, микроскопическая картина явлений слишком сложна для понимания и описания.

Холистический (от англ. whole – «целый») подход подразумевает глобальное описание и необходим в случае сложных систем, когда традиционные редукционистские методы не позволяют выполнить обозримый анализ тенденций из-за чрезмерно большого числа значимых переменных. Возможность холистического описания связана со «сжатием» информации за счет введения параметров порядка. Как правило, холистические модели представляют собой «медленные» уравнения, связывающие друг с другом эти параметры [3].

Реальные природные процессы, которые происходят в открытых диссипативных системах, из-за их многофакторности характеризуются сложным хаотическим поведением измеряемых динамических переменных. Суть проблемы состоит в том, чтобы из измеряемых хаотических сигналов получить информацию о динамике и состоянии такой системы, для того чтобы спрогнозировать ее вероятное поведение. На сегодняшний момент решение данных проблем в рамках парадигмы детерминированного хаоса с применением систем обыкновенных дифференциальных уравнений на современных компьютерах имеет весьма ограниченные возможности.

Рассмотрим эксперимент: мы исследуем процесс кристаллизации соли, которая выпадает на поверхность из пересыщенного раствора, и с применением оптического микроскопа с фиксированным увеличением наблюдаем за изменением формы исследуемого фрагмента поверхности кристаллизующейся соли. В условиях данного опыта мы можем зафиксировать только некоторое скачкообразное изменение формы, а именно образование новых «микронаростов» на изучаемом фрагменте, происходящее через определенное время Δt, которое зависит от оптических возможностей микроскопа. Мы можем связать данные по изменению формы с возникновением локальных пересыщений изучаемого солевого раствора над поверхностью фрагмента и последующими фазовыми переходами с образованием новых микрокристаллов на данной поверхности. При этом из-за малости размеров используемого микроскопа каждый из образующихся микрокристаллов не фиксируется. С помощью микроскопа мы можем зафиксировать лишь образование относительно крупных конгломератов таких микрокристаллов, которые формируют «микронаросты». Очевидно, что при использовании микроскопа с большей возможностью увеличения, мы сможем зафиксировать изменения формы поверхностных фрагментов, которые менее значительны по сравнению с выше рассмотренными и происходят за меньшие характерные промежутки времени Δt.

Данный эксперимент показывает, насколько важна в эволюции сложных открытых систем в случае малых пространственно-временных масштабов возможность фазовых превращений. При моделировании данного типа эволюционного процесса нельзя использовать дифференциальные уравнения с непрерывно изменяющимся временем на всех характерных временах наблюдения, так как особенности динамики процесса кристаллизации «на малых временах» заведомо отличаются от закономерности изменения профиля поверхности выпадающей соли, которые фиксируются при помощи микроскопа. В этом случае введение совокупности малых временных интервалов, на каждом из которых система будет необратимо претерпевать вполне определенные, но различимые перестройки структуры, выглядит более естественно.

К настоящему моменту времени изучено немало механизмов роста и образования зародышей кристаллов солей. В отдельных работах на основании предложенных механизмов, относящихся в основном к «блочному» типу, построены математические модели процессов кристаллизации солей. Но при использовании существующих подходов к изучению механизмов кристаллизации малорастворимых веществ невозможно спрогнозировать и выявить флуктуации скорости роста кристаллов, которые зачастую встречаются на практике. Протекание процесса происходит на значительном удалении от равновесного состояния, подтверждением этого являются большие значения пересыщений, которые возникают при кристаллизации солей.

Доказано, что «в процессах объемной кристаллизации пересыщенных растворов при сильно нелинейной зависимости частоты нуклеации от степени метастабильности возникают автоколебательные режимы, причем переход к колебаниям происходит в результате нормальной бифуркации Хопфа стационарных режимов» [7]. В этом случае нелинейная зависимость скорости образования зародышей кристаллов солей от пересыщения считается основной причиной, которая приводит к возникновению колебательных режимов в процессах кристаллизации. При этом не рассматриваются возможные причины, заключающиеся в дискретности механизма роста кристаллов «блочного» типа. Исходя из выше сказанного, очень важно рассматривать процессы кристаллизации солей с точки зрения дискретных нелинейных динамических систем.

Согласно обзору механизмов зарождения и роста кристаллов солей кристаллизация малорастворимых веществ протекает спонтанно, т.е. проявляется механизм первичной нуклеации, в свою очередь зарождение кристаллов хорошо растворимых веществ реализуется при помощи механизма вторичной нуклеации (т.е. твердая фаза зарождается в присутствии кристаллов самого растворимого вещества) [7]. Известны твердо установленные зависимости между пересыщением раствора и скоростями нуклеации, а так же роста кристаллов в случае вторичной нуклеации. При кристаллизации из сильно пересыщенных растворов, какой и является кристаллизация малорастворимых веществ, корреляции подобного рода теряют силу.

При кристаллизации малорастворимых солей, как правило, пересыщение создается в результате протекания химических превращений, которые приводят к тому, что образовывается кристаллический осадок в объеме кристаллизатора. Ввиду неустойчивости пересыщенного раствора в результате нуклеации и роста кристаллов может произойти снятие пересыщения. В образующемся осадке солей, который также является достаточно неустойчивым, могут идти самопроизвольные процессы изменения размеров кристаллов, которые называются «старение» или «созревание». Например, растворение мелких кристаллов и рост крупных частиц может приводить к изменению спектра размеров, которое называется оствальдовским созреванием. Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что к основным стадиям уровня единичного кристалла и молекулярного уровня при кристаллизации труднорастворимых веществ относятся стадии химического превращения, нуклеации кристаллов, их роста и растворения. Обычно во время стадии химического превращения происходит быстрая ионная реакция, ввиду чего скорость создания пересыщения зависит от скорости подачи раствора, в котором содержится ион-осадитель [6]. В химической реакции скорость обычно нелинейно зависит от температуры и концентрации. В связи с этим процессы такого рода описывают с помощью нелинейных уравнений, которые имеют более одного решения. Необходимо отметить, что в случае кристаллизации малорастворимых солей зависимость скорости образования зародышей кристаллов также является нелинейной функцией пересыщения.

Некоторые исследователи до сих пор убеждены, что описание процессов нефтедобычи можно проводить только на основе дифференциальных уравнений движения жидкостей и газов в пористых средах и трубах. Однако процесс формирования отложений солей представляет собой сложную динамическую систему. Эта система является неравновесной, очень много факторов оказывают влияние на этот процесс, учесть каждый из которых не всегда представляется возможным. Поэтому прежде чем переходить к детерминированному подходу, необходимо изучить всю систему в целом, на чем и основан холистический подход.