ВИЗУАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦЫ УПРУГИХ СВОЙСТВ КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ С ПОМОЩЬЮ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ ГРАФИЧЕСКИХ ПАКЕТОВ

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦЫ УПРУГИХ СВОЙСТВ КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ С ПОМОЩЬЮ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ ГРАФИЧЕСКИХ ПАКЕТОВ

Научная статья

Муслов С.А.^1, *, Корнеев А.А.², Синицын А.А.³, Зайцева Н.В.⁴, Самосадная И.Л.⁵, Гавриленкова И.В.⁶, Перцов С.С.⁷

^{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Московский Государственный Медико-Стоматологический Университет (МГМСУ) им. А.И. Евдокимова, Москва, Россия

* Корреспондирующий автор (muslov[at]mail.ru)

Аннотация

Выполнен обзор средств визуализации упругих свойств кубических кристаллов на основании матрицы упругих постоянных. В качестве примера использованы данные измерений c_ij кубических монокристаллов TiNi, известных мартенситными превращениями, эффектами памяти формы и сверхэластичности, а также изоморфных никелиду титана кристаллов TiFe. Матрица упругих постоянных кристаллов была визуализирована с помощью программы компьютерной алгебры Mathcad, расчетно-графических программ ELATE: Elastic tensor analysis и SC-EMA: Self-Consistent Elasticity of Multi-phase Aggregates. Получены характеристические поверхности модуля Юнга, сдвига и коэффициента Пуассона.

Ключевые слова: кубические кристаллы, упругие свойства, постоянные, модули, коэффициент Пуассона, специализированные графические пакеты.

VISUALIZATION OF MATRIX OF ELASTIC PROPERTIES OF CRYSTALS USING SPECIALIZED GRAPHIC PACKETS

Research article

Muslov S.A.^1, *, Korneev A.A.², Sinitsyn A.A.³, Zaitseva N.V.⁴, Samosadnaya I.L.⁵, Gavrilenkova I.V.⁶, Pertsov S.S.⁷

^{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} State-Financed Educational Institution of the Higher Professional Education Moscow State Medical Stomatological University (MSMSU) named after A.I.Evdokimov of the Ministry of Health of the Russian Federation, Moscow, Russia

* Corresponding author (muslov[at]mail.ru)

Abstract

A review of the means of visualizing elastic properties of cubic crystals by the matrix of elastic constants is performed. As an example, the measurement data for cij cubic TiNi single crystals is used. It is known for its martensitic transformations, shape memory effects and super-elasticity, as well as TiFe crystals isomorphic to nickelide titanum. The matrix of elastic constants of crystals was visualized using the program of computer algebra Mathcad, ELATE calculation and graphics programs: Elastic tensor analysis and SC-EMA: Self-Consistent Elasticity of Multi-phase Aggregates. The characteristic surfaces of Young’s modulus, the shift, and the Poisson’s ratio are obtained.

Keywords: cubic crystals, elastic properties, constants, modules, Poisson's ratio, specialized graphics packages.

Введение

Анализ матрицы упругих постоянных c_ij или коэффициентов податливости s_ij материалов обычно ограничивается расчетом модулей упругости вдоль определенных направлений (n) и сдвига в системах сдвига (m, n), а также коэффициента Пуассона для высокосимметричных направлений продольной и поперечной деформаций (m, n). Иногда рассчитываются экстремальные значения величин E(n), G(m, n) и µ(m, n) и соответствующие им значения m, n. Кроме того, могут быть определены линейные комбинации упругих констант, имеющие физический смысл. Например, в кубических кристаллах комбинации  и  являются, в первом случае, мерой сопротивления кристаллов гидростатическому сжатию (модуль объемной упругости K) и, во втором случае, мерой сопротивления кристалла сдвигу в плоскости {110} в направлении . При этом, с₄₄ и  – экстремальные (всегда наибольший и наименьший или наоборот) модули сдвига в кубическом кристалле. В ряде случаев вычисляются параметры упругой анизотропии и технические упругие модули (модули, которые измеряются в опытах на поликристаллах). Последние – путем усреднения по Фойгту, Ройсу или Хиллу [1].

Меньше внимания уделяется ориентационным зависимостям модулей и графическим способам описания матриц c_ij и s_ij. В данном сообщении мы сделали попытку восполнить этот пробел и описать несколько современных возможностей для визуализации упругих анизотропных свойств материалов на основании значений упругих констант. В качестве конкретных примеров рассмотрены данные измерений c_ij [2], [3] монокристаллов Ti₄₉Ni₅₁ кубической сингонии – сплавов, получивших широкое распространение в современной технике и медицине, благодаря мартенситным превращениям и уникальным эффектам памяти формы и сверхэластичности, а также изоморфное никелиду титана B2-соединение Ti₅₀Fe₅₀ [4], [5].

1. Системы компьютерной алгебры Mathcad/Mathlab. Формулы для построения поверхностей E(n), G(m, n) и µ(m, n) весьма подробно описаны в литературе. Трудности у исследователей могут возникать на этапе параметризации направляющих косинусов (n₁, n₂, n₃) и (m₁, m₂, m₃) через углы Эйлера или углы сферической системы координат в данных пакетах прикладных программ. На рис. 1 представлены поверхности модуля Юнга, построенные в программе технических вычислений Mathcad, обладающей достаточно мощным графическим редактором с широкими возможностями при форматировании 2D и 3D графиков.

 

Рис. 1 – Модуль Юнга E монокристаллов TiNi и TiFe. 3D вид

 

2. Аналогичные по виду поверхности модуля Юнга E у TiNi и TiFe получены с помощью специального программного обеспечения, рекомендованного для анализа упругих свойств кристаллов авторами [6], [7]. Они представлены на рис. 2 в виде каркасов и с ребрами координатных плоскостей.

 

Рис. 2 – Модуль Юнга E монокристаллов TiNi и TiFe. 3D вид

 

Заслуживают внимания два следующих способа визуализации матрицы упругих постоянных [8]. Их отличительной чертой является доступность во всемирной сети Интернет для всех основных сингоний кристаллов. Онлайн-калькуляторы позволяют не только построить поверхности основных упругих параметров кристаллов и их сечения, но и рассчитать экстремальные значения характеристик, параметры m и n для них, технические модули E, G и K, а также собственные значения матриц упругих постоянных и др.

3. ELATE: Elastic tensor analysis. Работа с данной оболочкой описана в [9], а она сама представлена на http://progs.coudert.name/elate. Результаты графической части программы можно видеть на рис. 3-5. В данном пакете условно поверхность, представляющая  отображается голубым полупрозрачным цветом, тогда как для  применяется зеленый (для положительных) и красный (для отрицательных значений µ) цвет. В распоряжении пользователя следующие интерактивные возможности: поворот графиков вокруг двух пространственных осей, добавление линий каркаса, возвращение к начальным настройкам, экспорт графика в графический онлайн-редактор https://plot.ly и сохранение графика в виде изображения в формате *.png.

 

Рис. 3 – 3D графики модуля Юнга E, сдвига G и коэффициента Пуассона µ TiNi и TiFe в проекции 1

Рис. 4 – 3D графики модуля Юнга E, сдвига G и коэффициента Пуассона µ TiNi и TiFe в проекции 2

Рис. 5 – 2D графики модуля Юнга E, сдвига G и коэффициента Пуассона µ TiNi и TiFe в плоскости xy

 

В рамках пакета можно вычислить экстремальные характеристики упругих свойств и соответствующие им направления, линейную сжимаемость кристаллов, технические модули, а также собственные значения матрицы упругих постоянных

 

Таблица 1 – Собственные значения матрицы c_ij (ГПа)

	λ1	λ2	λ3	λ4	λ5	λ6
TiNi	31	31	33	33	33	431.5
TiFe	69	69	69	205	205	517

 

Как видно из таблицы кратность собственных значений квадратных матриц c_ij сплавов равна 3, 2 и 1, соответственно.

4. В заключении отметим еще один онлайн-сервис для матриц упругих постоянных кристаллов – SC-EMA: Self-Consistent Elasticity of Multi-phase Aggregates [10]. Данный калькулятор также рассчитывает широкий спектр упругих характеристик кристаллов. Из его недостатков можно отметить относительно узкие графические возможности: он позволяет построить характеристические поверхности только модуля Юнга (рис. 6).

 

Рис. 6 – Модуль Юнга E монокристаллов TiNi и TiFe. 3D вид

 

Настоящее сообщение продолжает цикл наших работ по применению компьютерных технологий в научных исследованиях [11], [12], [13].

Финансирование Работа выполнена в рамках плана НИР (2017-2021 гг.) кафедры нормальной физиологии и медицинской физики МГМСУ им. А.И. Евдокимова.	Funding The work was carried out within the plane of Research work (2017-2021 years).
Конфликт интересов Не указан.	Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

1. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. – 400 с.
2. Кузнецов А.В. Упругие постоянные TiNi вблизи мартенситных превращений / С.А. Муслов, А.И. Лотков, В.Н.Хачин и др. // Известия вузов, сер. Физика. – 1987, № 7. – С. 98-99.
3. Муслов С.А. Аномалии упругих постоянных монокристаллов Ti₅₀Ni₄₈Fe₂ вблизи мартенситных превращений / А.В. Кузнецов, В.Н. Хачин, А.И. Лотков и др. // Известия вузов, сер. Физика. – 1987, № 8. – С. 104-105.
4. Муслов С.А. Применение материалов с эффектом памяти формы в науке, технике и медицине. – М.: Издательский дом "Фолиум", 2007. – 328 С.
5. Муслов С.А. Предмартенситные состояния в монокристаллах сплавов TiNi-TiFe и TiNi-TiCu: (01.04.07): Дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук / Том. гос. ун-т им. В. В. Куйбышева, 1987. – 166 с.
6. Goldstein R.V. Extreme values of the shear modulus for hexagonal crystals / R.V. Goldstein, V.A. Gorodtsov, M.A. Komarova and others // Scripta Materialia. – 2017. – 140. – P. 55-58.
7. Муслов С.А. Упругая анизотропия дентина и эмали / Муслов С.А., Лисовенко Д.С. // Письма о материалах. - 2018. - 8 (3). – С. 288-293.
8. Dušan Lago. Effective Tool for Material Elasticity Computation. Master’s Thesis. Brno, Spring 2017. – 51 p.
9. Gaillac ELATE: An open-source online application for analysis and visualization of elastic tensors / R. Gaillac, P. Pullumbi, F.-X. Coudert // J. Phys. Condens. Matter. – 2016. – 28.
10. SC-EMA: Self-Consistent Elasticity of Multi-phase Aggregates. [Электронный ресурс] URL: http://scema.mpie.de.
11. Муслов С.А. Три способа измерения площади плоских фигур произвольной формы программными методами / Муслов С.А., Зайцева Н.В., Самосадная И.Л. и др. // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2017. – № 5 (часть 1). – С. 89-93.
12. Muslov S.A. SW-based measurement for the areas of the planar figures / RAD 2015. Third International Conference on Radiation and Applications in Various Fields of Research, 8-12 June 2015, Budva, Montenegro. – P. 67.
13. Арутюнов С.Д. Программное измерение параметров усадки и набухания образцов стоматологических оттискных материалов / Арутюнов С.Д., Муслов С.А., Сакиева З.В. и др. // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 1 (часть 3). – С. 453-456.

Список литературы на английском языке / References in English

1. ShermergorD. Teoriya uprugosti mikroneodnorodnykh sred. [Theory of Elasticity of Microinhomogeneous Media] M.: Nauka, 1977. – 400 p. [in Russian]
2. Kuznetsov A.V. Uprugie postoyannye TiNi vblizi martensitnykh prevrashchenii [Elastic Constants of TiNi near Martensitic Transformations] / Kuznetsov A.V., Muslov S.A., Lotkov A.I. and others // Izvestiya vuzov, seriya Fizika [Proceedings of Higher Educational Institutions, ser. Physics. – 1987, No. 7. – P. 98-99. [in Russian]
3. Muslov S.A. Anomalii uprugikh postoyannykh monokristallov Ti₅₀Ni₄₈Fe₂ vblizi martensitnykh prevrashchenii [Anomalies of Elastic Constants of Ti₅₀Ni₄₈Fe₂ Single Crystals near Martensitic Transformations] / Muslov S.A., Kuznetsov A.V., Khachin V.N. and others // Izvestiya vuzov, seriya Fizika [Proceedings of Higher Educational Institutions, Ser. Physics]. - 1987, No. 8. - P. 104-105. [in Russian]
4. Muslov S.A. Primenenie materialov s effektom pamyati formy v nauke, tekhnike i meditsine. [Application of Materials with Shape Memory Effect in Science, Technology and Medicine] – M.: Publishing House “Folium,” 2007. - 328 P. [in Russian]
5. Muslov S.A. Predmartensitnye sostoyaniya v monokristallakh splavov TiNi-TiFe i TiNi-TiCu: (01.04.07): Dis. na soisk. uchen. step. kand. fiz.-mat. nauk [Muslov S.A. Pre-martensitic States in Single Crystals of TiNi-TiFe and TiNi-TiCu Alloys: (01.04.07): Thesis to obtain PhD in Physics and Mathematics / Tom. State. Un. named after V.V. Kuibyshev, 1987. – 166 p. [in Russian]
6. V. Goldstein Extreme values of the shear modulus for hexagonal crystals / R.V. Goldstein, V.A. Gorodtsov, M.A. Komarova and others // Scripta Materialia 140 (2017) 55-58.
7. Muslov S.A. Uprugaya anizotropiya dentina i emali. [Elastic Anisotropy of Dentin and Enamel] / Muslov S.A., Lisovenko D.S. // Pisma o materialakh [Letters about Materials. 8 (3), 2018. – P. 288-293. [in Russian]
8. Dušan Lago. Effective Tool for Material Elasticity Computation. Master’s Thesis. Brno, Spring 2017. – 51 p.
9. Gaillac ELATE: An open-source online application for analysis and visualization of elastic tensors / R. Gaillac, P. Pullumbi, F.-X. Coudert // J. Phys. Condens. Matter. – 2016. – 28.
10. SC-EMA: Self-Consistent Elasticity of Multi-phase Aggregates. Electronic resource. URL: http://scema.mpie.de.
11. Muslov S.A. Tri sposoba izmereniya ploshchadi ploskikh figur proizvolnoi formy programmnymi metodami [Three Ways to Measure the Area of Flat Shapes of Arbitrary Shape by Software Methods] / Muslov S.A., Zaitseva N.V., Samosadnaya I.L. and others // Mezhdunarodnyy zhurnal prikladnykh i fundamental'nykh issledovaniy [International Journal of Applied and Fundamental Research, No. 5 (part 1) 2017, p. 89-93. [in Russian]
12. Muslov S.A. SW-based measurement for the areas of the planar figures / RAD 2015. Third International Conference on Radiation and Applications in Various Fields of Research, 8-12 June 2015, Budva, Montenegro. – P. 67.
13. Arutyunov S.D. Programmnoe izmerenie parametrov usadki i nabukhaniya obraztsov stomatologicheskikh ottisknykh materialov [Software Measurement of Shrinkage and Swelling Parameters of Samples of Dental Impression Materials] / Arutyunov S.D., Muslov S.A., Sakieva Z.V. and others // Fundamentalniye issledovaniya [Fundamental Research]. – 2015. – No. 1 (part 3). – P. 453-456. [in Russian]