МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ

Богданова М.В.¹, Марочкин С.И.²,  Чулюков В.А.³

¹Кандидат технических наук, доцент;

²аспирант;

³кандидат физико-математических наук, доцент,

Воронежский государственный педагогический университет

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ

Аннотация

 В работе сформулирована математическая модель задачи о деформации пластины, боковые стенки которой подвергаются тепловому воздействию.

Ключевые слова: моделирование, термоупругость.

Bogdanova M.V.¹, Marochkin S.I.², Chuljukov V.А.³

¹PhD in Technical sciences, associate professor;

²postgraduate student;  

³PhD in Physics and mathematics, associate professor,

Voronezh State Pedagogical University

MATHEMATICAL MODELING OF PROBLEM THERMOELASTICITY OF A THIN PLATE

Abstract

In work is formulated the mathematical model of a task about deformation the plate  which lateral walls are exposed to thermal influence .

Keywords: modeling, thermoelasticity.

Положим, что внутри области с прямоугольным поперечным сечением расположена тонкая пластина, концы которой в течение всего времени эксперимента остаются неподвижными (рис. 1). Выберем декартову систему координат так, чтобы плоскость z = 0 была серединной.

Рассмотрим малые прогибы пластины, ограниченной стенками параллелепипеда. В течение времени t боковые стенки области испытывают тепловое воздействие, прямо пропорциональное времени t. В начальный момент времени пластина неподвижна. Температурное поле внутри области известно. Верхняя и нижняя стенки области теплоизолированы. Требуется рассчитать смещение пластины от положения равновесия в результате теплового воздействия.

Рис.1 – Модель рассматриваемой установки

,                                                    (1) В качестве основного уравнения для стационарных прогибов пластины постоянной толщины выступает уравнение Софи Жермен [1, 2]:

где D – цилиндрическая жесткость, q – нагрузка на единицу площади пластины, а M_T – изгибающий момент, обусловленный температурными воздействиями.

Цилиндрическая жесткость пластины, отражающая упругие и геометрические характеристики пластины, определяется по следующей формуле:

, где  – модуль Юнга, ν – коэффициент Пуассона.

Для M_T имеем следующее представление:

,                                                            (2)

где α – коэффициент линейного расширения,  – постоянная Ламе. При этом температурное поле определяется из решения соответствующего уравнения теплопроводности:

,                                                             (3)

где a – коэффициент температуропроводности.

Температурное поле в начальный момент времени равно нулю:

                                                                                    (4)

Температурные поля на границах области прямо пропорциональны времени t:

                             (5)

Верхняя и нижняя стенки области теплоизолированы:

                                                              (6)

В начальный момент времени смещение и скорость смещения пластины равны нулю:

                                                                  (7)

                                                                              (8)

На внешней границе Г пластины имеют место следующие условия жесткого закрепления:

                                          (9)

Таким образом, система уравнений (1) – (9) есть математическая формулировка поставленной задачи и представляет собой математическую модель исследуемого процесса.

Литература

1. Germain S. Recherches sur la theorie des surfaces elastiques. – Paris: 1821. – 96 p.
2. Germain S. Remarques sur la nature, les bornes et l’etendue de la question des surfaces elastiques, et equation generale des cer surfaces. – Paris: 1826. – 21 p.