АНАЛИЗ ВЕКТОРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НА ПРИМЕРЕ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Новицкий Г.С.¹, Сирота Е.А.² Матвеев М.Г.¹

¹Аспирант;

²Кандидат технических наук;

³Доктор технических наук,

Воронежский государственный университет

АНАЛИЗ ВЕКТОРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НА ПРИМЕРЕ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Аннотация

В рамках данной статьи проводится анализа подходов к построению модели прогнозирования векторных случайных процессов и предлагается новый комбинированный подход для решения задачи моделирования нестационарного векторного случайного процесса на примере метеорологических данных.

Ключевые слова: метеорология, авторегрессия, моделирование.

Novitsky G.S.^1, Sirotova E.A.², Matveev M.G.³

¹Postgraduate student;

²PhD in Engeneering;

³Doctor of Enegneearing, Voronezh State University

VECTOR RANDOM SEQUENCES ANALYSIS IN CASE OF METEOROLOGICAL DATA

Abstract

The article considers analysis of different widespread approaches to vector random sequences modelling and describes a modified approach which can be used for vector random sequences modelling and approximation in case of meteorological data.

Keywords: meteorology, autoregression, modelling.

Случайный процесс

Моделирование поведения случайных последовательностей и использование моделей для прогнозирования их поведения является универсальной задачей, которая ставится в разных условиях и на основании различных (экономических, метеорологических и др.) данных. Случайные последовательности требуют первоначального исследования, анализа зависимостей и выбора наиболее приемлемого подхода. Существует несколько наиболее широко распространенных подходов к описанию случайных последовательностей, каждый из которых имеет свои особенности.

Случайный процесс в общем случае представ­ляет собой функцию двух разнородных величин: случайной величины w и времени t: y(w,t), t = 0, ±1, ±2,..., ±t,.... Временной ряд образуется в результате наблюде­ний за случайным процессом, выполняемых в фиксированные промежутки времени. Предполагается, что временной ряд представляет собой выборку y_t, t  T, из после­довательности случайных величин y(w,t), t = 0, ±1 ±2,..., ±t,....

При моделировании реальных процессов приходится решать следующую задачу: имеется реализация ряда и нужно подобрать модель, которая могла бы породить такую реализацию (модель, генерирующую данные).

Свойства стационарного процесса не изменяются во времени. Его значения ко­леблются вокруг некоторого постоянного среднего значения, дисперсия, характери­зующая размах этих колебаний, постоянна, значения автокорреляционной функции уменьшаются с увеличением времени между наблюдениями.

Среднее и/или дисперсия нестационарного процесса зависят от времени, диспер­сия его со временем стремится к бесконечности, автокорреляционная функция не уменьшается с увеличением времени между наблюдениями, в конечных выборках выборочная автокорреляционная функция медленно затухает.

Типичные временные ряды могут включать четыре составляющие [1]:

• тренд или систематическое движение;
• колебания относительно тренда;
• сезонные изменения;
• "несистематическая" или "нерегулярная" "случайная" составляющая.

Математическое описание временного ряда представляет собой сумму несколь­ких составляющих или просто одну из них. Существует несколько разных подходов к моделированию временных рядов – выделению каждой из составляющих. Успешность и уместность применения каждого из подходов зависит от типа процесса.

Определение типа процесса является необходимым этапом при построении ко­интеграции - стационарной линейной комбинации нестационарных процессов, так как она возможна только в случае, если оба процесса - интегрированные одного порядка.

Для каждого из типов процессов используются свои сценарии обработки, неверное определение типа процесса при анализе приводит к нежела­тельным последствиям [3].

Структурно-детерминированный подход

При построении параметрической модели нестационарных рядов обычно пред­варительно выполняется процедура "остационаривания" ряда, которая может про­водиться либо путем выделения стационарного тренда, заключающегося в оценке параметров функции тренда методом наименьших квадратов и вычитании ее значе­ний из исходного ряда, либо посредством применения к исходному ряду разностного оператора. Выбор процедуры "оста­ционаривания" ряда зависит от типа нестационарного процесса. [1]

Одна­ко если операцию дифференцирования применять к стационарному или тренд-ста­ционарному процессу, то в результате можно получить процесс типа скользящего среднего, для которого не существует авторегрессионного представления. В этом случае продифференцированный ряд оказывается автокоррелированным, несмотря на то, что исходный ряд представляет собой сумму детерминированного линейного тренда и белого шума (эффект Слутского)

После определения типа процесса и выделения составляющих следует понимать, что при моделировании временного ряда и, особенно, использовании модели для прогнозирования его дальнейшего поведения нужно максимально точно определить параметры модели.

Рассмотрим примитивный пример приведенной модели случайного процесса,

где М это модель, описывающая поведение случайного процесса,

T – функция, описывающая трендовую составляющую случайного процесса, возьмем в качестве примера самый простой случай, где  – линейная функция от времени t.

C – функция, описывающая колебательную составляющую модели случайного процесса.

S – функция, описывающая сезонную составляющую модели.

Даже в приведенном примитивном виде данная модель содержит такое количество параметров модели (), для точного определения которых понадобится максимально большой срез статистических данных.

Обычный подход к про­блеме нестационарных данных состоял в том, чтобы формулировать статистические модели в виде соотношений между первыми разностями, т.е. темпами прироста. Но статистическая модель, основанная исключительно на разностях, может улавливать только краткосрочную динамику процесса и не позволяет анализировать долгосроч­ные связи между переменными. Задача разработки методов, отслеживающих воз­можные долгосрочные связи, скрытые помехами краткосрочных колебаний, решается с помощью выявления факта, что определенная комби­нация двух (или более) нестационарных рядов может быть стационарной. Например, экономи­ческая теория часто делает именно такие предсказания: если имеются равновесные соотношения между двумя экономическими переменными, то они могут отклоняться от равновесия в краткосрочном аспекте, но будут стремиться к равновесию в более долгосрочном.[2]

Коинтеграция

Коинтеграция – это стационарная комбина­ция нестационарных переменных. Проверка ста­ционарности и коинтеграции являются стандартными процедурами, с которых начи­нается спецификация динамических эконометрических моделей. Коинтеграционный анализ оказался особенно ценен для анализа систем, в которых на краткосрочную динамику влияют большие случайные возмущения, в то время как долгосрочные колебания ограничены общими экономическими равновесными соотношениями.

Коинтеграция может существовать только между нестационарными процесса­ми одинакового порядка интеграции, между стационарными процессами возможны корреляционные связи, между процессами различных типов связь отсутствует, при попытке установить ее может возникнуть ложная регрессия

Для построения моделей многомер­ных временных рядов Симе разработал конструкцию, получившую название векторные авторегрессионные модели (VAR).

Y_t=A₀+A₁Y_t-1+…+A_pY_t-p+E_t

где A₀ - вектор констант, A₁…A_p - матрицы коэффициентов, a E_t - вектор серий­но некоррелированных ошибок, о которых предполагается, что они имеют среднее ноль и матрицу ковариаций .

Различают три различных формы VAR-модели: приведенная форма VAR, рекурсивная VAR и структурная VAR. Все три являются динамическими линейными моделями, которые связывают текущие и прошлые значения n-мерного вектора временного ряда. При построении при­веденной и рекурсивной VAR не используются никакие ограничения экономической теории за исключением выбора переменных, при построении структурной VAR ис­пользуются ограничения, полученные из макроэкономической теории.

Для оценивания параметров приведенной формы VAR используется метод наи­меньших квадратов (МНК), применяемый по отдельности к каждому из уравнений.

Однако, VAR не учитывает нестационарности протекания процесса.

Большинство разработанных методов проверки типа процесса и коинтеграции основано на предположении постоянства процесса в интервале наблюдения. Однако в реальных системах под воздействием внешней среды и времени закономерности поведения процесса могут изменяться. Изменения свойств процессов называются структурными разрывами. [3]

Структурные разрывы представляют собой изменения свойств процесса, отражающиеся в изменениях коэффициентов параметрической модели процесса и/или параметров распределения случайной составляющей. В ре­зультате структурных разрывов могут изменяться: тип процесса, среднее зна­чение процесса или его разностей, дисперсия процесса или его разностей, наклон тренда процесса, коэффициенты описывающей его параметрической модели.

При наличии структурных разрывов в процессе

• изменяется параметрическая модель системы; если изменения в параметрах модели игнорируются, то оценки параметров становятся незначимыми и прогнозы теряют точность;
• усложняется процедура проверки критериев, предназначенных для определе­ния типа процесса;
• усложняется процедура проверки наличия коинтеграции.

В нашем случае векторный случайный процесс представляет собой данные о среднесуточной температуре в узлах сетки параллелей и меридиан с шагом 2.5°

Рис. 1 - Фрагмент схемы измерения метеорологических показателей, шаг сетки по параллелям и меридианам составляет 2,5°

В данных условиях не представляется возможным применение вышеописанных подходов. В условиях метеорологических данных, помимо зависимости между x_i,j(t) и x_i,j(t-1) существует корреляция таких временных рядов как x_i,j(t), x_i,j-1(t), x_i,j+1(t), x_i+1,j(t), x_i-1,j(t).

Исходя из этого, было принято решение использовать модификацию VAR подхода, для описания данного нестационарного векторного случайного процесса.

Запишем авторегрессионное уравнение для x(t):

x_i,j(t) = a₁ x_i,j(t-1)+ a₂ x_i-1,j(t-1)+ a₃x_i+1,j(t-1)+ a₄ x_i,j-1(t-1)+ a₅ x_i,j+1(t-1)

Данная форма записи не подразумевает нестационарности, поэтому необходимо ввести зависимость параметров от времени. Однако, чтобы сохранить свойства VAR, нужно установить параметрам модели a зависимость от температурных показателей x(t). Иными словами

a_i= a_i(t)= a_i(x(t))= a_i(x)

Таким образом, модель учитывает нестационарность процесса и условия взаимной корреляции между рядами смежных узлов. В то же время параметры моделей зависят только от входных данных и эти данные могут быть сгруппированы по критериям однородности, при том,ж чем больше статистики будет в распоряжении, тем большее количество классов можно будет выделить и тем более точных значений параметров для каждого из классов можно будет добиться.

В качестве универсального аппроксиматора может быть выбран любой инструмент, отвечающий требованиям задачи, например искусственная нейронная сеть, с четырьмя входами и одним выходом.

Таким образом, в данной работе был приведен обзор существующих доступных подходов к моделированию нестационарных временных рядов и предложен комбинированный подход, отвечающий требованиям стоящей задачи моделирования нестационарного векторного случайного процесса в условиях метеорологических данных.

Литература

1. Гребенюк Е.А. Методы анализа нестационарных временных рядов с неявными изменениями свойств (обзор). Автоматика и Телемеханика. 2005. №12, стр. 1-28.
2. Чураков Е.П. Прогнозирование эконометрических временных рядов. М.: Финансы и статистика, 2008.
3. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: исследование зависимостей - М.: Финансы и статистика, 1985.
4. Использование модели Сугено для прогнозирования метеорологических показателей. / М.Г. Матвеев, В.В. Михайлов, М.Е. Семенов // Вестник ВГУ, серия «Системный анализ и информационные технологии», научный журнал, №2, 2011.- стр. 164-169.
5. Матвеев Л.Т. Курс общей физики атмосферы. 2-е изд. Л.: Гидрометеоиздат, 1984. – 687 с.