ОПРЕДЕЛЕНИЕ НА СНИМКЕ УГЛА РАССОГЛАСОВАНИЯ ДВУХ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ ПО ИЗОБРАЖЕНИЯМ ОПОРНЫХ ЗВЕЗД

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НА СНИМКЕ УГЛА РАССОГЛАСОВАНИЯ ДВУХ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ ПО ИЗОБРАЖЕНИЯМ ОПОРНЫХ ЗВЕЗД

Научная статья

Федянин М.Р.¹, Лазарев В.М.^{2, *}

^{1, 2} Томский государственный архитектурно-строительный университет, Томск, Россия

^* Корреспондирующий автор (vim_iaep[at]mail.ru)

Аннотация

Рассмотрена методика определения угла рассогласования θ между прямоугольной и экваториальной системами координат на фотоснимке с использованием нескольких способов вычисления экваториальных координат небесных объектов по опорным звездам. Обработано 13 ПЗС-снимков, обнаружена и исследована зависимость угла θ от cosq (q –параллактический угол на небесной сфере) до и после исправления углов θза влияние дифференциальной рефракции. Произведена оценка величины разброса точек вокруг аппроксимирующей кривой (параболы) по нормалям к параболе, при этом координаты основания нормали вычислялись из решения неполного кубичного уравнения, к которому приводит решение задачи по оценке точности. По результатам данной работы сделаны замечания и выводы.

Ключевые слова: системы координат, параллактический угол, дифференциальная рефракция, кубичное уравнение.

DETERMINATION OF THE ANGLE OF MISMATCH OF TWO COORDINATE SYSTEMS IN AN IMAGE BASED ON THE IMAGES OF REFERENCE STARS

Research article

Fedyanin M.R.¹, Lazarev V.M.^{2, *}

^{1, 2} Tomsk State University of Architecture and Civil Engineering, Tomsk, Russia

^* Corresponding author (vim_iaep[at]mail.ru)

Abstract

This article is a continuation of the research [1]. The current article examines the technique of determining the angle of mismatch θ between the rectangular and equatorial coordinate systems in a photograph using several methods of calculating the equatorial coordinates of celestial objects by reference stars . In the course of the research, 13 CCD images were processed in total, the dependence of the angle was detected and investigatedθ from cos q (q is the parallactic angle on the celestial sphere) before and after correcting the angles θ due to the influence of differential refraction. The authors estimate the magnitude of the scatter of points around the approximating curve (parabola) along the normals to the parabola, while the coordinates of the base of the normal were calculated from the solution of an incomplete cubic equation, which leads to the solution of the accuracy estimation problem. The authors provide comments and conclusions based on the results of this study.

Keywords: coordinate systems, parallactic angle, differential refraction, cubic equation.

В работе [1] основное внимание было сосредоточено на описании алгоритма вычисления экваториальных координат α, β определяемогообъекта , изображенного на снимке вместе со звездами фона .Если такие звезды фона отождествлены и известны их координатыα и β, то их изображения на снимке можно принять за опорные (реперные) точки. На снимке выбирается прямоугольная система координат х, у, в которой измеряют координаты опорных звезд и определяемого объекта. При этом оптический центр на снимке (с экваториальными координатами α₀, β₀ направления оптической оси камеры на небесной сфере) и начало прямоугольной системы координат в общем случае не совпадают. На практике стремятся совместить начала этих двух координатных систем, а направления их осей сделать , по-возможности, параллельными (см. рисунок 1).

На рисунке1: 0- положение оптического центра (начало идеальной системы координат ζ, r на снимке ); о'-начало системы координат х, у ; θ - угла рассогласования двух координатных систем ; ӕ -фотограмметрический угол разворота двух координатных систем . Далее , в продолжение работы [1], рассмотрим процедуру определения угла θ на примере снимка 00.

Рис. 1 – Образование углов θ и ӕ между двумя системами координат на снимке

Снимок00

Фотоснимок области неба в окрестности звезды HIP 31978 B (созвездие Единорога ) был получен на астропластинке формата 9 х 12 см² 11/12.12.1993 на рефракторе АВР-3 Томского государственного университета для учебных целей. В начале 10-х годов ХХI в. позитивный снимок с помощью компьютерной программы был увеличен, масштабирован и проведено измерение прямоугольных координат изображений звезд. Предварительные оценки показали, что угол θ на снимке весьма значителен.

Угол можно определить следующим образом. Зададим на оси «х» системы координат х ό у (см. рисунок 1) две точки на умеренных и равных расстояниях от начала координат. Затем, используя, скажем, метод Ю.М. Трунина [2], определим экваториальные координаты α ,δ этих точек. Метод Ю.М. Трунина обработки астроснимков, основанный на векторной интерпретации основных соотношений проективной геометрии, обладает тем основным преимуществом по сравнению с другими методами (Тернера, Шлезингера [3, С.227-232]), что не требуется знания элементов внутреннего ориентирования снимка (экваториальных координат оптического центра α₀, βₒ и фокусного расстояния камеры). Сам алгоритм вычисленияэкваториальных координат небесных объектов по методу Трунина довольно прост и дает возможность быстро провести вычисления. На снимке выбираются четыре опорные звезды, достаточно далеко удаленные друг от друга и взятые так, чтобы никакие три звезды не лежали на одной прямой. Должны быть известны экваториальные и прямоугольные координаты опорных звезд, а также измерены прямоугольных координаты определяемого объекта (точки снимка). В системе экваториальных координат образуем прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна расстоянию между выбранными точками, выраженному в угловой мере. Этот прямоугольный треугольник можно принять за плоский, т.к. все его стороны на этапе подготовительных работ подбирались достаточно малыми. Решив треугольник находим интересующий нас угол θ.

Решение нескольких треугольников с использованием метода Трунина (взято несколько комбинаций четверок опорных звезд) дало следующее усредненное значение θ:

θ=2,395o

(1)

Для независимого определения угла  и для контроля результата был применен ещё комбинированный метод определения экваториальных координат небесных объектов (обозначим «КОМ -метод») [1]. В этом случае решение задачи можно разбить на три этапа. Выбирают 5,6 опорных звезд с известными экваториальными координатами и измеряют на снимке их координаты х, у, а таже координаты определяемых объектов . Необходимо задать, хотя бы приближенно, координаты α₀, βₒ оптического центра (здесь за α₀, βₒ приняты координаты точки «ό». Они определены методом Трунина. На первом этапе , согласно исходному уравнению, методом наименьших квадратов (МНК) [4, С.209-285] вычисляются три линейных элемента: хₒ, уₒ-прямоугольные координаты оптического центра и фокусное расстояние камеры . На первом этапе использовалась левая система прямоугольных координат. На втором этапе, используя найденные линейные элементы, МНК определяются направляющие косинусы aᵢ,bᵢ,cᵢ, где i=1,2,3. Здесь использовалась правая система координат х,у . На третьем этапе вычисляются экваториальные координаты определяемого объекта (или любой точки на снимке с заданными координатами х, у). Система прямоугольных координат-правая .Используя найденные значения aᵢ,bᵢ,cᵢ можно найти угловые элементы ориентирования снимка : и ӕₒ- угол разворота в плоскости снимка между координатными системами хо'у и  . По углу ӕₒ вычисляется интересующий нас угол

В КОМ- методе, в отличие от метода Трунина, на каждом этапе вычислений может быть произведена оценка точности определяемых параметров .Были получены следующие результаты:

(2)

Сравнение (1) и (2) показывает , что значения угла  вычисленные двумя независимыми методами, различаются примерно на 4'. Совместить две рассматриваемые здесь системы координат в угловом отношении можно, повернув оси системы х о' у, в данном случае, против хода часовой стрелки на угол рукой способ исключить влияние угла  - все измеренные на снимке координаты х, у опорных звезд и определяемых объектов (точек) пересчитать но формулам преобразования декартовых прямоугольных координат при повороте осей [5, С.58-59].

Снимок 102

Снимок получен в Коуровской астрономической обсерватории УрФУ на спутниковой камере SBG 28.08.2012. Экваториальные координаты центра снимка : α= 17^h09^m35^s; β=+39⁰38^ʹ30^ʺ . Приемник излучения- П З С –матрица (прибор с зарядовой связью ) размером 2184 1472пикселей (рх); размер пикселя ≈ 0.007 мм.[6, С.135-137] В этом случае начало прямоугольной системы координат было взято в центре матрицы, а координатные оси-параллельны сторонам матрицы.

ПЗС-матрица закрепляется в корпусе камеры так, чтобы соответственные оси двух координатных систем были параллельны друг другу (рис .1). Как будет видно в дальнейшем , при съемке в разных азимутах и на различных зенитных расстояниях, вследствие воздействия различных факторов параллельность осей нарушается, т.е. изменяется угол . К таким факторам можно отнести : переменные механические и температурные деформации корпуса и оптической системы камеры , дифференциальную атмосферную рефракцию, несферичность земной атмосферы , не точную установку полярной оси камеры по азимуту и высоте и д р .Угол  и его среднеквадратическая ошибка были вычислены с использованием метода Тернера [7,С.131-137](по 6-ти опорным звездам ): =+0.933'±0.003'. Близкое значение  для снимка 102 получено и КОМ –методом.

Результаты обработки–ПЗС снимков

В нашем распоряжении оказалось 13 ПЗС-снимков, полученных на камере SGB Коуровской астрономической обсерватории в августе 2012 и 2013 гг. Снимки охватывали южную часть неба : по склонению –от +57ᵒ до -12.5ᵒ;-по часовому углу –от 20^h40ᵐ(восточная область неба ) до 5^h20ᵐ (западная область ).

Вычисление углов  осуществлялось разными методами, упомянутыми выше, но в основнам, методом Трунина дважды –по двум четверкам опорных звезд. Полученные результаты сведены в таблицу1.

Таблица 1 – Результаты обработки ПЗС-снимков

№ п/п	Ƶ, градус	А, градус	, угл,мин	Cos q	исп угл,мин
1	2	3	4	5	6
1	13,18	279,97	-4,17	0,1827	-3,83
2	19,58	103,39	-1,66	0,2935	-2,16
3	28,68	111,61	-4,28	0,4093	-5,00
4	40,74	90,42	-2,93	0,7075	-3,89
5	42,07	59,82	-0,14	0,8520	-0,65
6	48,44	101,53	+0,93	0,7217	-0,17
7	48,88	334,47	+1,89	0,9712	+2,15
8	52,07	107,95	+9,18	0,7337	+7,67
9	55,19	10,55	+5,04	0,995	+4,86
10	56,97	353,45	+1,85	0,9981	+1,96
11	67,55	73,23	+2,77	0,8486	+0,09
12	69,17	304,65	-0,87	0,8943	+2,20
13	69,60	5,57	-1,70	0,9985	-2,06

На небесной сфере можно назвать довольно много выделенных точек, например такие: точка зенита места наблюдения, северный и южный полюсы мира и эклиптики, Абсолютный апекс движения Солнечной системы (относительно микроволнового фона Вселенной) и некоторые другие [8, С.33-73], [9, С.2-33], [10, С.11-26]. В настоящей работе проведено сопоставление углов  и косинусов уголов «q». Параллактический угол q – угол на небесной сфере при оптическом центре между направлениями на полюс мира и зенит.

Результаты такого сопоставления представлены на рис. 2. Углы θ взяты из колонки 3 таблицы 1 (не исправленные ). Точки на рис. 2, соответствующие значениям  в функции cosq, располагаются довольно упорядоченно. Аппроксимируем их уравнением параболы с использованием М Н К в предположении, что ось параболы параллельна одной из осей координат .Придем к следующим выражениям:

_1,2=-b ± d cos q c ; или cos q= a ( +b)²+c ;

a=-9.092342·10¯³ ;в=-3.9729428; с=9.7264317.10¯¹ ; d=10.487261

(3)

Среднеквадратическое отклонение точек от параболы (см. рисунок 2), вычисленное по формуле Бесселя , составляет м₁=0.1795. Оно соответствует отклонению по оси абсцисс. Дифференциальная рефракция – один из главных искажающих факторов , влияющих на величину угла . На снимке искажается сетка экваториальных координат, а сетка прямоугольных координат остается неизменной. Исправленные за дифференциальную рефракцию (в нулевом приближении ) углы  приведены в колонке 5 таблицы( _исп.) Используя теперь колонки 4 и 5, после применения МНК, приходим к выражениям :

Если по данным таблицы 1 и (4) построить новый рисунок , то он будет очень похож на рис. 2. При использовании _исп среднеквадратическое отклонение точек от параболы составляет µ₂=0.1884 (по формуле Бесселя).

Насколько сильно изменится среднеквадратическое отклонение точек от кривой (параболы), если это отклонение измерять по нормали к кривой. Достаточно быстро решить эту задачу можно следующим образом.

Запишем выражение для квадрата расстоянияот точки с координатами (хₒ, уₒ) до какой –либо точек параболы с координатами (х, у ); здесь для краткости введены обозначения –х= . Y=cosq:

F=(x-xₒ)²+(y-yₒ)²=R², далее F¹ᵪ=0

Координата «х» точки на кривой, соответствующей основанию нормали, найдется из выражения

(5)

где вместо «у» использована функция (3).

После преобразования(5)приходим к неполному кубичному уравнению:

Ƶ³+r·Ƶ+s=0 , ƶ=x+b

(6)

Решение неполного кубичного уравнения (6) дает один действительный корень, который нас и интересует :ƶ₁=х₁+b. Вычислив х₁, по (3) найдем у₁, а затем - наикратчайшее расстояние от точи (хₒ, уₒ) до точки на кривой, с найденными координатами (х₁, у₁). Таким образом можно вычислить среднеквадратическое отклонение точки от параболы по нормали к ней (как и ранее использовалась формула для углов , не исправленных и исправленных за дифференциальную рефракцию.Получены следующие результаты (в скобках повторены приведенные ранее значения ):

не исправленные - m₁= 0.17857( =0.1795) исправленные -m2=0.18725( =0.1884)

(7)

Рис. 2 – Вычисленные значения углов зависимости от cosq(q – параллактический угол) и аппроксимация их параболой

Cогласно (7) произошло незначительное уменьшение средне квадратического отклонения точек при измерении по нормалям (m) по сравнению с измерениями отклонений параллельно оси абсцисс рисунка 2 ( . В то же время видно, что исправление θ за дифференциальную рефракцию не привело к улучшению «кучности» точек вокруг аппроксимирующей их параболы .

Следует обратить внимание на следующий факт. Отыскание численного значения х₁=θ  графически, по рис .2, путем проведения нормали к параболе из точки (хₒ, уₒ) «на глаз» , не приводит к правильному результату, т.к. единицы измерений и масштабы по осям координат различны. Анализируя формулу (3) приходим к выводу , что вблизи меридиана (cosq =1) изначально устанавливаемый угол рассогласования θ в 0֯ 00' оказался равным + 4' При этом, исправление углов θ за дифференцальную рефракцию уменьшило это значение до +3.4':

В заключение необходимо отметить, что все полученные здесь результаты базируются на небольшом по объему наблюдательном материале, фотосъемкой охвачен ограниченный участок небесной сферы, точки (см.рис.2) расположены в узком диапазоне cosq. В случае большого охвата наблюдениями диапазона cosq, вероятно, имеет смысл вместо уравнения параболы (при аппроксимации точек МНК) использовать уравнение эллипса.

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

1. Федянин М.Р. Совместное определение элементов ориентирования аэроснимка и экваториальных координат небесных объектов по опорным звездам / М.Р. Федянин,В.М. Лазарев//Science, TechnologyAndLife- 2016 ProceedingsofmaterialstheIIIinternationalscientificconference. 2016, с. 79-86.
2. Урмаев М.С. Космическая фотограмметрия: Учебник для вузов / М.С.Урмаев.-М. : Недра, 1989.-279с.
3. Курс астрофизики и звездной астрономии, т.I Под. ред. акад. А.А. Михайлова. – М.:Наука, 1973.-608с.
4. Шиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений / Б.М.Шиголев.-М.:Наука.1969.-344с.
5. Корн Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г.Корн, Т.Корн.-М.: Наука, 1973.-832с.
6. Китчин К. Иллюстрированный словарь практической астрономии / К.Китчин.-М. АСТ. Астрель, 2006.-304с.
7. Подобед В.В. Общая астрометрия. / В.В. Подобед, В.В. Нестеров. – М.: Гл. ред. физ. мат. литературы, 1982.-576с.
8. Пандул И.С. Геодезическая астрономия применительно к решению инженерно-геодезических задач /И.С.Пандул.-СПб.: Политехника. 2010.-324с.
9. Федянин М.Р. Анизотропия реликтового излучения и наземная астрометрия / М.Р.Федянин, Н.А.Василенко.-Томск,1990.-33 с. Деп. В ВИНИТИ №1002-В90.
10. 10.Федянин М.Р. О постоянстве абберационной постоянной /М.Р. Федянин.-1992.–30с. Деп. В ВИНИТИ № 533-В92.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Fedyanin M.R. Sovmestnoe opredelenie jelementov orientirovanija ajerosnimka i jekvatorial'nyh koordinat nebesnyh ob’ektov po opornym zvezdam [Joint determination of the elements of orientation of an aerial image and the equatorial coordinates of celestial objects by reference stars] / M.R. Fedyanin, V.M. Lazarev // Science, Technology And Life - 2016 Proceedings of materials the III international scientific conference. 2016, pp. 79-86. [in Russian]
2. Urmaev M.S. Kosmicheskaja fotogrammetrija [Space photogrammetry] : Textbook for universities / M.S. Urmaev. - M. : Nedra, 1989.-279 p. [in Russian]
3. Kurs astrofiziki i zvezdnoj astronomii [Course of Astrophysics and Stellar astronomy], vol. I, ed. akad. A.A. Mikhailova. - M.:Nauka, 1973.-608 p. [in Russian]
4. Shigolev B.M. Matematicheskaja obrabotka nabljudenij [Mathematical processing of observations] / B.M. Shigolev. - M.: Nauka. 1969. - 344 p. [in Russian]
5. Korn G. Spravochnik po matematike (dlja nauchnyh rabotnikov i inzhenerov) [Handbook of Mathematics (for scientists and engineers)] / G. Korn, T. Korn. - M.: Nauka, 1973.-832 p. [in Russian]
6. Kitchin K. Illjustrirovannyj slovar' prakticheskoj astronomii [Illustrated dictionary of practical astronomy] / K. Kitchin. - M. AST. Astrel, 2006. - 304 p. [in Russian]
7. Podobed V.V. Obshhaja astrometrija [General astrometry] / V.V. Podobed, V.V. Nesterov. - M.: Gl. ed. phys. mat. literature, 1982. - 576 p [in Russian]
8. Pandul I.S. Geodezicheskaja astronomija primenitel'no k resheniju inzhenerno-geodezicheskih zadach [Geodesic astronomy in relation to the solution of engineering and geodetic problems] /I.S. Pandul. - St. Petersburg: Polytechnic. 2010.-324 p. [in Russian]
9. Fedyanin M.R. Anizotropija reliktovogo izluchenija i nazemnaja astrometrija [Anisotropy of relic radiation and ground-based astrometry] / M.R. Fedyanin, N.A. Vasilenko. - Tomsk, 1990. - 33 p. Dep. In VINITI No. 1002-B90. [in Russian]
10. Fedyanin M.R. O postojanstve abberacionnoj postojannoj [On the constancy of the aberration constant] / M.R. Fedyanin. - 1992. - 30 p. Dep. IN VINITINo. 533-B92. [inRussian]