AN EVALUATION OF RELIABILITY OF FINITE-ELEMENT SOLUTION IN ANALYSING STRESS-STRAIN STATE OF STRUCTURES WITH U-SHAPED CUTOUTS

В области транспортного и нефтяного машиностроения широко применяются детали и элементы конструкций с концентраторами напряжений различной конфигурации. В указанных концентраторах напряжений зачастую имеет место объемное напряженно-деформированное состояние (НДС), уровень и вид которого определяет ресурс работы рассматриваемых конструкции при их статическом и циклическом деформировании

Бурное развитие и применение технологий инженерного анализа, построенных на численном методе конечных элементов (МКЭ), в решении различных технических задач механики и прочности деформированного твердого тела обусловило создание математических моделей с необходимой степенью их конечно-элементной (КЭ) дискретизации

Актуальность предлагаемого исследования объясняется тем, что точность МКЭ для конструкций, имеющих конструктивные неоднородности в виде U-образных вырезов, будет зависеть от степени КЭ дискретизации этих вырезов

В данной работе описывается методика анализа сходимостей численного решения для деформируемых конструкций, имеющих конструктивные неоднородности в виде U-образных вырезов. Обсуждению и моделированию подвергались следующие задачи:

– растяжение пластины с U-образным вырезом

– растяжение бесконечной плоской пластины с центральным эллиптическим вырезом (задача Нейбера), аналитическое решение которой приведено в

Согласно

Выбор оптимального варианта дискретизации U-образного выреза основан на выполненной расчетной оценке сходимости решения задачи о бесконечной пластине с эллиптическим вырезом, растягиваемой в направлении малой его полуоси, с анализом получаемых вычислительных погрешностей

Анализу подвергалась относительная погрешность сходимости получаемых значений напряжений, выражаемая соотношением

(1)

и относительная погрешность получаемых значений напряжений

(2)

В выражениях (1) и (2) n – номер разбивки, σi – значение расчетной интенсивности напряжений в исследуемой зоне конструкции.

Решение задачи Нейбера строилось для двух вариантов разбивок КЭ сетки прямоугольной бесконечной пластины с эллиптическим вырезом. Первый вариант разбивки предусматривал создание КЭ сетки с равномерной разбивкой на конечные элементы, второй вариант – КЭ сетку с разбивкой её на конечные элементы, размер которых изменялся по закону геометрической прогрессии

На рис. 1 представлена пластина с эллиптическим вырезом, для которой далее рассматривается решение.

Рисунок 1 - Расчётная схема бесконечной пластины с эллиптическим вырезом

DOI:10.23670/IRJ.2023.133.59.1

Эллиптический вырез имел соотношение полуосей a/b=1/3. Оценка погрешности численного решения осуществлялась на основе использования значения коэффициента концентрации интенсивности напряжений Кσ, выражаемого соотношением

(3)

где σn – нормальные напряжения на оси y, возникающие вдали от эллиптического выреза; σm – нормальные напряжения на краю эллиптического выреза по оси Ох (рис. 1). В соответствии с

Численное КЭ решение задачи Нейбера строилось с применяем объемных КЭ – изопараметрического гексаэдра первого порядка аппроксимации. Моделировалась четверть пластины ввиду ее симметрии относительно центральных осей с учетом соответствующих условий кинематического закрепления. В расчете материал пластины принимался упругим, однородным и изотропным. Решались трехмерные уравнения теории упругости, реализованные в комплексе Femap

[10]

,

[11]

,

[12]

. Геометрическая модель пластины построена таким образом, что её высота и ширина более чем в 10 раз больше длины полуоси b, а толщина пластины равна единице (рис. 2).

Рисунок 2 - Геометрическая модель пластины с эллиптическим вырезом

DOI:10.23670/IRJ.2023.133.59.2

В расчете было создано шесть КЭ моделей пластины с эллиптическим вырезом с применением равномерной КЭ разбивки (рис. 3, а-е).

Рисунок 3 - Варианты дискретизации пластины, имеющей эллиптический вырез, на КЭ при равномерной разбивки

Примечание: а) 5 элементов, б) 8 элементов, в) 11 элементов, г) 16 элементов, д) 18 элементов, е) 21 элемент

DOI:10.23670/IRJ.2023.133.59.3

Приведенные на рис. 3 варианты дискретизации КЭ моделей пластины содержат разное число КЭ на четверти дуги выреза в порядке возрастания: 5, 8, 11, 16, 18 и 21. При этом по толщине пластина была разбита с 1 по 6 конечных элементов в зависимости от варианта дискретизации. КЭ модели были построены так, что конфигурация КЭ вблизи эллиптического выреза была правильной, что позволило исключить из результатов расчетов искажения, обусловленных неправильной формой КЭ.

На рис. 4 приведены варианты дискретизации КЭ модели пластины на КЭ, сгущающиеся по закону геометрической прогрессии. Создание КЭ сетки сопровождалось принятием знаменателя прогрессии q = 2 при числе КЭ в направлении, нормальном вырезу, равного 20.

Рисунок 4 - Варианты дискретизации пластины, имеющей эллиптический вырез, на КЭ при разбивке, сгущающейся по закону прогрессии

Примечание: а) 5 элементов, б) 8 элементов, в) 11 элементов, г) 16 элементов, д) 18 элементов, е) 21 элемент

DOI:10.23670/IRJ.2023.133.59.4

Граничные условия кинематического закрепления пластины представлены на рис. 5. Во избежание сингулярности в матрице жесткости расчетной модели один из её узлов закреплен в осевом направлении.

Рисунок 5 - Граничные условия кинематического закрепления пластины

DOI:10.23670/IRJ.2023.133.59.5

Способ дискретизации, основанный на локальном сгущении КЭ разбивок по закону геометрической прогрессии, позволяет строить вычислительно эффективные расчетные модели деформирования конструкций с U-образными вырезами. Указанное обстоятельство следует учитывать при разработке оптимальной степени КЭ дискретизации области конструкции с концентраторами напряжений в виде U-образных вырезов.

Представленная система тестов, основанная на анализе сходимости численного решения эталонной задачи и погрешности численного решения, позволяет использовать её для анализа напряженно-деформированного состояния области конструкций с конструктивными неоднородностями с различными по форме вырезами.