О ВЛИЯНИИ ДИСПЕРСИИ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН РЭЛЕЯ

Заславский Ю.М.¹, Заславский В.Ю.²

¹Старший научный сотрудник, доктор физико-математических наук; ²кандидат физико-математических наук. Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт прикладной физики Российской академии наук (ИПФ РАН)  Ульянова ул., 46, ГСП-120, Нижний Новгород, 603950

О ВЛИЯНИИ ДИСПЕРСИИ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН РЭЛЕЯ

Аннотация

Анализируются поверхностные рэлеевские волны на полупространстве, граница которого имеет тонкое инородное покрытие, вызывающее частотную дисперсию фазовой скорости, подобную наблюдаемой у интерференционных сейсмических волн. Применительно к модели среды в виде тонкий слой – полупространство представлены графики фазовой скорости поверхностной волны. Выведены расчетные формулы для отклика по поверхностной волне на импульсное воздействие, построены осциллограммы откликов, соответствующие все более удаленным от источника приемным точкам, лежащим на поверхности. Полученные результаты показывают характер нарастания длительности волнового отклика на импульсное воздействие по мере увеличения дистанции источник-приемник, а также задержки его прихода по времени и спада уровня поверхностной волны.

Ключевые слова: поверхностные рэлеевские волны, инородный слой, частотная дисперсия, фазовая скорость, импульсное воздействие, волновой отклик

Zaslavsky Y.M.¹, Zaslavsky V.Y.³

¹Senior researcher, doctor of physics and mathematics, ²PhD in Physics and Mathematics. Federal state budgetary institution of science Institute of applied physics of the Russian Academy of Sciences (IAP RAS) Ulyanova str., 46, GSP-120, Nizhny Novgorod, 603950 Russia

THE INFLUENCE OF THE DISPERSION ON THE SURFACE RAYLEIGH WAVE PROPAGATION

Abstract

The surface Rayleigh waves propagated along the boundary of the half-space covered by thin layer with different density are analyzed. A frequency dispersion of phase wave velocity appears in this model due to the presence of the heterogeneity and it is similar to the interferential surface seismic wave dispersion. The plot of frequency dispersion curve of the phase surface wave velocity is presented. Calculation formula for the surface wave response on the pulse action to the half-space with surface heterogeneity by a density medium model is derived. Response oscillogramms corresponding to the receiving points with their consequently removing along the surface are demonstrated. Obtained results show the character of the increase of the duration of the wave pulse responses by the growth of the distance from the source. The time delay of the wave arrival and the decrease of the surface wave level with enlarge of source-receiver distance are discussed.

Keywords: surface Rayleigh waves, inhomogeneous layer, frequency dispersion, phase wave velocity, pulse impact action, wave response

Введение

В связи с задачами, возникающими в инженерной сейсморазведке и в ряде других разделах сейсмики и акустики, не снижается интерес к анализу поверхностных сейсмических волн, распространяющихся по грунту и представляющих собой волновой отклик на ударное воздействие по его поверхности. В частности, остаются востребованными дальнейшие исследования дисперсионных эффектов при распространении поверхностных волн, которые вследствие многомодовости их состава и из-за наличия частотной дисперсии образующих их мод, называют интерференционными поверхностными волнами [1]. В настоящей работе с этой целью предложена упрощенная модель среды, позволяющая получить «имитацию» частотной дисперсии для единственной существующей в этом случае волновой моды и исследовать связанные с ней эффекты, при этом исключается необходимость рассмотрения слоистой структуры. Как будет показано ниже, анализ указанной волновой моды осуществляется сравнительно просто: например, могут быть получены амплитудно-частотные характеристики возбуждения волны, построены осциллограммы отклика этой волны на импульсное воздействие в точках поверхности, все более удаленных от источника, найдены отличия в характеристиках и осциллограммах откликов от аналогичных, соответствующих классическим рэлеевским волнам на свободной границе идеального упругого полупространства. В сейсмике термин рэлеевские часто употребляют как обобщенный и применяют для обозначения поверхностных волн на свободной земной границе, имеющих вертикальную и горизонтальную поляризацию вектора смещений (и волновым вектором, лежащим в сагиттальной плоскости), игнорируя при этом слоистость земной среды, вследствие которой рэлеевские волны и превращаются в интерференционные (квазирэлеевские). Классические рэлеевские волны, распространяющиеся вдоль плоской границы однородного полупространства, известны с начала прошлого века, для их описания используются простые аналитические выражения. Эти волны не обладают частотной дисперсией фазовой скорости. Однако часто возникает необходимость моделировать интерференционные поверхностные волны, бегущие, как и рэлеевские, вдоль свободной границы реального слоистого полупространства, но у которых имеет место волноводная дисперсия фазовой и групповой скорости. При этом описание и исследование указанных интерференционных поверхностных волн в рамках многослойной модели среды серьезно затруднено, вследствие чрезвычайной громоздкости формальной аналитической записи частотной зависимости  и коэффициента возбуждения . В предлагаемом подходе высшие моды не возникают, тем не менее, у единственной волновой моды имеет место дисперсия фазовой скорости и это позволяет детально рассмотреть влияние дисперсионных эффектов на распространение волнового импульса. Вышеперечисленное обосновывает необходимость проведения анализа в такой постановке. Расчет осциллограмм сейсмического отклика поверхностной волны выполняется численным путем.

Вывод расчетных соотношений

Известно, что в однородном полупространстве, заполненном упругой средой с плотностью  и скоростью волн сжатия и сдвига , могут существовать собственные или возбуждаться вынужденные решения в виде поверхностных рэлеевских волн при наличии переменного силового воздействия на среду, приложенного, например, в некоторой точке на границе . Рассматриваемая на рис.1 модель отличается от однородного упругого полупространства только присутствием тонкого слоя поверхностной инерционной массы  (размерность ) некоторого вещества, непрерывно покрывающего поверхность  и жестко сцепленного со средой.

Ниже кратко изложим подход, обычно используемый при решении задачи волнового возбуждения полупространства силовым переменным источником, сосредоточенным на границе [1-4]. Здесь также воспользуемся этим подходом, но применительно к несколько измененной геометрии за счет

Рис. 1 - Модель полупространства, возбуждаемого переменной силой

присутствия поверхностной неоднородности – тонкого слоя инородной массы, который эквивалентен тонкому слою, отличающемуся от материала полупространства по плотности. Поле упругих смещений  в полупространстве в предлагаемой модели, как и в случае однородного полупространства со свободной границей, представляется с помощью неопределенных коэффициентов в виде Фурье-Бесселева разложения  (фактор всюду опускаем):

где .

Поле напряжений с учетом распределенной инерционной массы на границе  теперь следует представить аналогичным разложением:

При решении задачи о волновом возбуждении полупространства переменным силовым воздействием на границу необходимо учесть граничные условия:

из которых вытекает система уравнений для определения неизвестных коэффициентов :

Коэффициенты  находятся из решения представленной системы и даются выражениями:

Их подстановка в (1), (2) позволяет записать характеристики возбуждения колебательных смещений в интегральном виде:

– фазовая скорость поверхностной волны, причем с помощью формулы  выполнен переход к плотности материала покрытия и эффективной  его толщине .

Интегрирование в формулах (9), (10) по переменной  вдоль действительной оси выполняется, например, путем смещения пути интегрирования вглубь комплексной плоскости с обходом особых точек. В частности, вклад в интеграл, даваемый полувычетом в точке полюса , определяет поверхностную волну, при этом указанная точка соответствует обращению детерминанта в нуль. Условие обращения детерминанта в нуль приводит к характеристическому (или дисперсионному) уравнению для искомых поверхностных волн, причем в переменных  упомянутое уравнение принимает вид:

Численное решение этого уравнения выполнено для случая , а график зависимости фазовой скорости от частоты в безразмерных переменных  представлен на рис.2. Из представленного графика видно, что при  выполняется известное соотношение . Для  кривая асимптотически стремится к нулю. Учитывая, что найденная зависимость получена для идеальной структуры, включающей в себя бесконечно тонкое инородное покрытие, нетрудно заключить, что переход к покрытию полупространства инородным слоем конечной толщины за счет наличия у слоя не только погонной массы, но и изгибной жесткости, должно привести к появлению

Рис. 2 - Частотная зависимость фазовой скорости поверхностной волны, бегущей по границе упругого полупространства, «нагруженного» непрерывно распределенной массой

 «пьедестала» в частотной характеристике. Сказанное выше позволяет предположить, что добавка к дисперсионной кривой некоторой константы, может обеспечить удовлетворительную аппроксимацию дисперсионной характеристики , которая характерна для основной моды интерференционных волн, например, в случае простейшей модели среды в виде слой – полупространство [3]. В дальнейших расчетах предлагается рассмотреть аппроксимацию фазовой скорости  с помощью кривой, которая бы монотонно спадала с частотой (при ) от  к значению, несколько меньшему этого. Далее рассмотрим характеристику, в которой указанный спад определяется параметром , при этом используя ее низкочастотную аппроксимацию:

Отсюда, для волнового числа «квазирэлеевской» волны и связанных с ней величин имеем:

На следующем этапе проанализируем характер дисперсионного расплывания короткого импульсного отклика исследуемой волны, излучаемой источником, по мере его распространения вдоль границы. С этой целью можно рассмотреть только z-компоненту поверхностной волны  в точках поверхности , описываемую формулой (10):

При интегрировании в (16) используем асимптотику функции Ханкеля и учитываем только вклад, вносимый полувычетом подынтегрального выражения. Таким образом, в случае действия поверхностного источника гармонических колебаний имеем следующую формулу для вычисления амплитуды колебаний в поле поверхностной квазирэлеевской волны: 

При импульсном воздействии для его описания воспользуемся следующей зависимостью:

а также примем во внимание, что ее Фурье-образ имеет вид:

Перемножая это выражение с частотной функцией передачи квазирэлеевской волны (17), соответствующей удалению r, и переходя к временному отклику с помощью обратного Фурье-преобразования, нетрудно придти к выражению, описывающему осциллограмму импульса волнового смещения в квазирэлеевской волне:

Следует отметить, что при написании формулы (20) с учетом формул (13), (14), (15) в амплитудной части подынтегрального выражения отбрасываются члены, содержащие малый параметр , а в фазовой его части удерживаются члены, включающие параметр  в первой, второй и третьей степени. Если ввести обозначение , формулу (20) можно преобразовать к виду:

Отметим, что в фазовой части представленного выражения фигурирует дисперсионный параметр , величина которого определяет темп увеличения длительности импульсного волнового отклика при удалении от источника. Его рост влечет за собой увеличение скорости нарастания длительности импульсного отклика с удалением приемной точки от источника. Для выполнения расчетов по формуле (21) и определения формы отклика, обусловленного -волной, применяется численный метод интегрирования быстро осциллирующих функций – adaptive Gauss-Kronrod quadrature method [5].

Анализ волнового отклика на импульсное воздействие (расчетные осциллограммы импульсов поверхностной волны)

На рис.3 представлены осциллограммы волновых откликов квазирэлеевской волны на импульсное воздействие, которое соответствует принятой выше расчетной модели среды и воздействующего импульса, развиваемого силовым источником. Все расчеты осциллограмм выполнены в безразмерных единицах, так что временные отсчеты на рисунках измеряются в единицах , а пространственная координата точек приема – в . При необходимости выполнения оценок, соответствующих реальным масштабам, потребуется сделать переход к фактическим значениям параметров, которые примем следующими: . Далее представим отклики, принятые на удалениях от источника , нарастающие эквидистантно с ростом номера :

где – вышеупомянутый дисперсионный параметр, численно равный в рассматриваемом случае величине. Волновые отклики, демонстрируемые на рис.3 соответствуют расположению приемных точек на дистанциях, описываемых формулой (22). По форме – это короткие осциллирующие цуги, которые изображены в виде «строчка под строчкой»: левый столбец – с нулевой по четвертую точку, правый столбец – с пятой по девятую точку. При этом не учитывается сдвиг начала развертки по времени на , возрастающем при пошаговом переходе ко все более удаленным приемным точкам, что связано с распространением со скоростью  по дистанции источник-приемник. Из иллюстраций видно, что «центры масс» последующих волновых откликов перемещаются в сторону возрастающих времен задержки на величины: ... Полное время запаздывания «центра масс» каждого из принимаемых цугов может быть получено суммой упомянутого выше временного сдвига начала развертки за счет распространения в соответствующую точку со скоростью  (без учета дисперсии) с временем задержки за счет частотной дисперсии. Приход волновых цугов характеризуется тем, что первыми вступают низкочастотные компоненты, а высокочастотные – доминируют в хвостовой их части, что соответствует принятой дисперсионной зависимости. Пиковый уровень каждого последующего цуга при этом монотонно падает, а длительность цугов, как и время задержки, нарастают, что иллюстрируется полученными расчетными осциллограммами и графиком на рис.4.

 

 

 

 

 

Рис. 3 - Импульсные отклики-волны на дистанциях:

Не касаясь деталей обработки данных, применяемых в реальных экспериментах, лишь отметим, что на основе построения волнового годографа, идущего через центры масс волновых цугов, соответствующих поверхностной квазирэлеевской волне, принимаемой во все более удаленных точках, может быть выполнена оценка групповой скорости, которая на практике должна быть близкой к значению . Для оценки параметров  могут быть использованы вышеупомянутые данные по амплитудному спаду и нарастанию длительности импульса с ростом дистанции. Отметим, что на этапе регистрации этой волны или при обработке данных имеется возможность осуществить компенсацию увеличения длительности волнового отклика при известном характере или законе волновой дисперсии. В этом случае путем использования специальной фильтрации (искусственных линий задержки) может быть реализован эффект «компрессии» или сжатия импульсов поверхностной волны по длительности и одновременного повышения их уровня. Использование эффекта «компрессии» на этапе регистрации и обработки приведет к улучшению отношения сигнал/шум, а следовательно, к более надежному обнаружению импульсного отклика на фоне сейсмических шумов. 

Заключение

В работе получены расчетные формулы, описывающие характеристики возбуждения и распространения импульса поверхностной рэлеевской волны по границе полупространства, имеющей инородный покрывающий слой. Показано, что исходный волновой импульс вследствие частотной дисперсии фазовой скорости указанных волн подвержен увеличению длительности по мере своего распространения. Получено явное выражение для

Рис. 4 - Нарастание времени задержки прихода волнового импульса при увеличении дистанции источник-приемник за счет эффекта дисперсии волны

дисперсионного параметра , определяющего темп уширения импульсного отклика по длительности. Продемонстрированы осциллограммы волнового импульса, дающие наглядное представление о характере проявления рассматриваемого эффекта. Полученные результаты могут найти практическое применение в акустической дефектоскопии, при проведении работ по инженерной сейсморазведке и при интерпретации результатов наблюдения и обработки данных регистрации полномасштабных сейсмических событий.