ON THE STUDY OF ARTILLERY COUNTERBATTERY COMBAT IN THE FORM OF A MATRIX GAME

Очевидно, что во избежание длительных и дорогостоящих поисков решения многих серьезных задач «наощупь», «по здравому смыслу», «волевым образом» и т.д. необходим научный анализ. Это в первую очередь относится к военным и экономическим задачам, для решения которых еще до второй мировой войны, как указывали Морз Ф.М. и Кимбел Д.Е.

Упоминания примеров такого рода можно найти, в частности, в ставшей классической работе Вентцель Е.С.

Однако возможно найти некий «стихийный» компромисс, при котором выигрыш одной и проигрыш другой стороны ограничены одной величиной «цены игры» и при многократном повторении могут быть достигнуты статистически в виде некоторой наиболее вероятной «седловой точки» поверхности показателя эффективности. При этом рассчитываются обоюдно-оптимальные распределения выбираемых действий, а сами действия каждый раз должны осуществляться каждой из сторон неожиданно для другой.

Обязательным условием модели матричных игр, входящей в раздел теории операций является дискретность арсенала возможностей обеих сторон. В то же время встречаются весьма актуальные задачи, в которых это условие выполняется лишь для одной стороны. В качестве такого практического примера здесь предлагается артиллерийская дуэль, в которой лишь одна сторона может дискретно выбирать вид траектории для обстрела.

Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель строится, исходя из целевой направленности операции и задачи исследования, с учетом требуемой точности решения, а также точности, с какой могут быть известны исходные данные (Афанасьев М.Ю., Багриновский К.А., Матюшок В.М.

К числу предшественников основополагающих исследований различных дуэлей Вентцель Е.С.

- дуэль двух танков в работе Зачриссона Л.Э.,

- дуэль бомбардировщика с истребителем в работе Кэйвуда Т.Э. и Томааса С.Дж.

Саати Т.Л.

Общее моделирование процесса нанесения огневого удара любыми видами оружия представлено Чуевым Ю.В.

В представленной работе возникла идея – во избежание излишних усложнений и неопределенности условий – изменить задачу таким образом, чтобы с позиций модели матричной игры найти обоюдно-оптимальное поведение для обоих участников дуэли простым и наглядным графо-аналитическим способом.

Такой подход представляется достаточно оправданным, а решение конкретной задачи артиллерийской дуэли даже с некоторой долей предположений является актуальным, а его наличие и оптимальность гарантируется основами теории матричных игр (Нейман Дж. и Моргенштерн О. 

Отдельная особенность любой задачи – подобрать конкретный достаточно адекватный показатель эффективности, представляющий интерес для обеих сторон. Здесь – в отличие от других подобных исследований – в качестве такого показателя выбрана вероятность перехвата снаряда, обратно пропорциональная оценкам величины ошибок встречи двух снарядов в воздухе с учетом наибольшей безопасности обороняющейся стороны.

Участники актуальной задачи артиллерийской дуэли преследуют прямо противоположные цели: стреляющая батарея – поразить батарею противника, а обороняющаяся батарея – предотвратить это, перехватив снаряд в полете. При этом первая батарея может практически всегда (за исключением стрельбы под 45°) выбирать одну из двух траекторий: настильную или навесную. Зададимся вопросом наиболее рационального (эффективного) выбора траектории первой батареи, а также выбора места перехвата снаряда второй батареей. Постановка задачи близка к модели антагонистической матричной игры с нулевой суммой. Для применения этой модели выбор места перехвата снаряда сделан также дискретным путем задания трех условных стратегий: вблизи атакующей батареи, вблизи точки наивысшего подъема снаряда и вблизи обороняющейся батареи. Эта модель решения поставленной задачи с разработанным аппаратом представляет интерес благодаря своей наглядности и глубинному соответствию сути задачи.

Задача: Найти оптимальные стратегии противников в артиллерийской дуэли двух батарей методом антагонистических матричных игр с нулевой суммой.

Поставленная задача расчета обстоятельств артиллерийской дуэли преследует двойственную цель:

– с позиций объективного критерия матричной игры получить оптимальный выбор поведения обоих участников и

– методическую: исследовать и показать применение теории матричных игр для практики простыми средствами.

Как было сказано выше, математическая модель матричной игры с нулевой суммой нацелена на поиск компромисса в выборе среди множеств возможных ходов двух участников таких «оптимальных» частот (вероятностей (, …, ) и (, …, ), где и – количество возможных ходов первого и второго участников соответственно) их применения, которые при многократном повторении игры позволят в среднем, независимо от действий противника, одному из них проиграть не больше, а другому выиграть не больше некоторой величины, называемой «ценой игры» E. Процедура реализации этой идеи в общем случае приводит к решению довольно громоздкой задачи линейного программирования. Однако, если, например, у одного из игроков имеется всего два хода, то задача легко решается графически.

Рисунок 1 - Схема настильной и навесной траекторий полета снаряда

DOI:10.23670/IRJ.2023.137.4.1

Обозначим: – расстояние между батареями по горизонтали; – начальная скорость снаряда; – угол вектора начальной скорости в точке относительно горизонтали (К примеру, 30° и 60° соответственно, как обеспечивающие дальность свыше 30 км при различии точек максимального подъема снаряда на двух траекториях не более, чем в три раза).

Полагая = 0,6 км/с, получаем = 31,8 км.

Зададим степень вероятности перехвата (безопасного уничтожения) летящего снаряда в воздухе обороняющей объект батареей (весовую функцию) в виде:

где – расстояние от снаряда до батареи перехвата (по наклонной); – проекция скорости снаряда на картинную плоскость для батареи перехвата (на ортогональное к лучу зрения  направление); и – задаваемые размерные коэффициенты.

Предложенное выражение учитывает, что:

а) вероятность поражения движущейся цели обратно пропорциональна квадрату суммарной ошибки , которая, в свою очередь, складывается из квадратов двух независимых ошибок, растущих с увеличением удаленности снаряда и его скорости на плоскости, ортогональной к лучу зрения перехватывающей батареи: ;

б) желательно сбивать летящий снаряд как можно дальше от защищаемого объекта и соответственно от перехватывающей батареи , чтобы они сами не пострадали от осколков снаряда.

Таким образом, можно надеяться, что даже при некоторой условности предположений о принятом виде весовой функции , она правильно отражает основные особенности задачи.

В то время как для первого игрока (батареи перехвата) задача содержит поиск экстремума функции , непрерывной по всем своим аргументам и лишь условно принятой дискретной для трех выделенных точек, для второго игрока (обстреливающей батареи) она принципиально дискретная из-за выбора одной из двух траекторий. Однако поиск экстремума величины является весьма громоздким, так как только для поиска точек стационарности по требуется решать сложные трансцендентные уравнения с полиномами очень высоких степеней относительно времени движения снаряда .

В точке расположения стреляющей батареи: = = 31,8 км;

а) настильная траектория = 30°; = = 0,3 км/с;

б) навесная траектория = 60°; = = 0,52 км/с.

В точке наивысшего подъема снаряда , где при любом угле его скорость минимальна и направлена горизонтально: – высота максимального подъема;

Результаты расчета параметров в точке : = 16,54 км, = 0,144 км/с при = 30° и = 21,02 км, = 0,196 км/с при = 60°.

В точке расположения обстреливаемой цели используем предельное значение величины при →0, где время отсчитывается в обратном направлении, то есть назад от момента расчетного попадания снаряда в объект.

Значения весовой функции при достаточно произвольно заданных коэффициентах = 300 с и = 0,1 с/км для трех точек , и (строки) и двух видов траекторий (столбцы) приведены в табл. 1.

Поэтому смоделируем всю задачу как дискретную для обоих игроков и найдем оптимальные стратегии их поведения в виде решения соответствующей матричной игры с нулевой суммой.

Найдем оптимальные стратегии противников. Стратегией первого игрока называется вектор , где компоненты – вероятности, с которыми этот игрок (батарея перехвата) выбирает точки перехвата движущегося снаряда.

Аналогично вектор  – стратегия второго игрока (обстреливающий противник), где компоненты – вероятности, с которыми он выбирает траектории снаряда.

Критерий оптимальности: для того чтобы векторы стратегий и были оптимальными стратегиями соответствующих игроков, а число «Е» было «ценой игры», необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства: , где = 1,2,3; = 1,2.

Для решения получившейся матричной игры в соответствии со стандартным методом построим пару двойственных симметричных задач линейного программирования по составленной выше таблице 1 размером 3x2 (матрица «С»).

Задача 1: Найти при условиях:

(1)

Задача 2: Найти при условиях:

(2)

Здесь от неизвестных вероятностей {} и {} сделан переход к новым переменным {} и {} по правилу: , где - «компромиссное» значение искомой величины целевых функций обеих задач (1): и (2): , называемое «ценой игры».

Чтобы избежать классического применения громоздкого симплекс-метода, решим задачу (2) графически (рис. 2). Это возможно, поскольку в этой задаче всего два неизвестных. Границы области допустимых значений переменных (область допустимых «планов») выделены жирными отрезками, а вершины – жирными точками. Семейство уровней целевой функции представлено парой менее интенсивных параллельных прямых с указанием градиента в виде стрелки.

Рисунок 2 - Графическое решение задачи (2) линейного программирования

DOI:10.23670/IRJ.2023.137.4.3

Оптимальное решение: = 1,735, = 1,176.

; = 0,596; ; = 0,404.

Оптимальное решение задачи (1) находим, используя двойственность задач и найденное максимальное значение = 2,912.

= 0,109; = 2,803; = 0;

; = 0,037; ; = 0,963;

; = 0.

Построение графиков, программирование и основные вычисления выполнялись в математическом пакете MathCAD 15.

Результатом проделанного исследования является:

– в практическом плане: получение распределений вероятностей выбора оптимальных (в смысле игровой задачи) стратегий для атакующей батареи (только в 60% случаев в случайном порядке стрелять по настильной траектории, а в остальных 40% случаев – по навесной траектории) и для обороняющейся батареи (быть готовой в 96% случаев к перехвату в точке максимального подъема снаряда над землей, в 4% в точке над обстреливающей батареей, но никогда над самой батареей) при некоторых общих условиях на входные параметры задачи;

– в методическом плане: успешное применение модели матричной игры к конкретному актуальному случаю из сравнительно редкой, «нетрадиционной» ситуации артиллерийской дуэли, что, по-видимому, сделано впервые.

Конкретные числа могли измениться при другом виде и параметрах весовой функции , однако на путь решения это принципиально не влияет.

Такая точка зрения на проблему устойчивости полученных результатов основана на том, что при проведении серии полных однотипных расчетов с вариацией каждого из четырех параметров задачи (, , , ) в пределах ±10% обнаружились очень малые (в пределах ±1,5%, т.е. в 6 раз меньше для первых трех параметров из них и около 4%, т.е в 2,5 раз меньше для угла ) вариации основных искомых величин (вероятность , вероятность – вообще не изменяется).

Оптимальность решения задачи и само его существование рассматриваются в рамках оптимальности решения матричной игры (теорема Дж. Фон Неймана), составляющей основу модели.

Даже если на перехват используется всего одно орудие, то для последующих наибыстрейших перенаводок его следует предварительно навести в точку «ожидания» с удалением от этих трех указанных точек, пропорциональным соответствующим полученным вероятностям. Такие точки «ожидания» можно рассчитать аналитически.

С помощью модели матричной игры и достаточно общих предположений получены количественные оценки вероятностей оптимальных действий обеих участвующих в артиллерийской дуэли батарей.