ИССЛЕДОВАНИЕ ЖЕСТКОСТИ МЕХАНИЗМА ШЕСТИКООРДИНАТНОГО МАНИПУЛЯТОРА

Балакин П.Д. ¹, Шамутдинов А.Х.²

¹ доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой ТММ; ² старший преподаватель кафедры ТММ Омский государственный технический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ ЖЕСТКОСТИ МЕХАНИЗМА ШЕСТИКООРДИНАТНОГО МАНИПУЛЯТОРА

Аннотация

Рассмотрено схемное решение пространственного манипулятора с шестью независимыми парциальными движениями и, на основе теории контактных напряжений и деформаций, рассчитана приведенная жесткость данной модели. Кроме этого, приведён расчет собственных частот колебаний данной системы.

Ключевые слова: контактные напряжения, модуль упругости Юнга, сближение тел, приведенная жесткость, собственная частота колебаний.  

Balakin P.D. ¹, Shamutdinov A.H.²

THE STUDY OF RIGIDITY OF THE ORIGINAL PART OF THE SPATIAL MANIPULATOR

Abstract

Considered the schematic spatial manipulator with six independent partial movements and, on the basis of the theory of contact stresses and strains calculated present stiffness of this model. Besides, shown calculation of eigenfrequencies of the system.

Keywords: contact stresses, Young's modulus of elasticity, the convergence of telephone, the reduced stiffness, natural frequency of oscillation.

1. Расчетная схема пространственного манипулятора для оценки его жесткости

Выделим из общей схемы пространственного механизма оригинальную часть, реализующую угловые движения вокруг осей X и Y и поступательное перемещение вдоль оси Z за счет сложения двух встречных вращений [1]. Традиционные три связи (две поступательных и одно вращение) опустим, поскольку они реализованы в серийном оборудовании и их жесткость достаточно известна (рис. 1).

Рис. 1. Расчетная схема оригинальной части пространственного манипулятора

Наиболее неблагоприятное нагружение связей будет, если исключить из расчетной схемы, параллельно действующие элементы, образуемые приводными устройствами a, b и с. Поэтому основу жесткости конструкции будет составлять жесткость их соединений, а именно сдвоенные шарниры. Позиции на рис. 1: 1- установочное звено (рабочий стол); 2- опорно-поворотное устройство; 3- наклонная платформа; 4- поворотный стол; a,b,c- приводные устройства (ШВП, гидроцилиндры).

2. Напряжения и деформации элементов цилиндрической пары

Для решения поставленной задачи используем зависимости, приведенные в [2]. При взаимном сжатии равномерно распределенной нагрузкой q двух цилиндров, соприкасающихся параллельными образующими (рис. 2). При E₁ = E₂ = E полуширина полоски контакта b, учитывая, что q = P/l, будет:     Из выражения (2) видно, что при малой разности (R₂ − R₁), т.е. когда (R₂ − R₁)→0 будет:

• из выражения (1): b→ ¥;
• из выражения (2): σ_max→0.

Это говорит о том, что если контакт между цилиндрами будет полным, зазоры отсутствуют, наибольшие напряжения будут иметь минимальные значения. Зная усилие P на цилиндры и их сближение Δ, можно рассчитать жесткость данного сопряжения:       Рассчитаем коэффициенты жесткости при следующих параметрах модели: l = 5·10^-2 м, Е = 2·10¹¹Па; R₁=4,9·10^-3 м; R₂=5·10^-3 м; Усилие P будем варьировать: Р₁ = 10² Н, Р₂ = 10³ Н, Р₃ = 10⁴ Н, Р₅ = 10⁵ Н, Р₆ = 10⁶ Н. Расчеты приводят к следующим значениям: с₁=5,236·10⁸        Н/м,        с₂=5,881·10⁸        Н/м,        с₃=6,708·10⁸        Н/м,        с₄=7,805·10⁸                            Н/м,        с₅=9,331·10⁸        Н/м (5) Кроме того, надо учесть, что в предлагаемом схемном решении такие спряжения (их 3 ед.) соединены последовательно, поэтому надо перевести жесткость в податливость и определить её приведённое значение: откуда находим:  Для упрощения принимаем с = с₁ = с₂ = с₃, тогда формула (6) перепишется как: (7)   Используя расчетные значения жесткости (5): (с_min...с_max)=(5,236·10⁸... 9,331·10⁸) Н/м по формуле (7) находим: (с_пр.min…c_пр.max)=(1,745·10⁸…3,110·10⁸) Н/м В [3] показано, что жесткость суппортов станков средних размеров составляет (30…100) Н/мкм или с_{супп. ст.}= (3∙10⁷…10⁸) Н/м. Таким образом, видно, что жесткость данного пространственного механизма сравнима с жесткостью суппортов современных станков, что доказывает принципиальную возможность использования пространственного механизма в качестве манипулятора, расширяющего возможности современного технологического оборудования.

3. Собственные частоты колебаний системы

Рассматривая схемное решение пространственного манипулятора общего вида с шестью независимыми парциальными движениями как колебательную систему, определим качественный параметр этой системы − собственную частоту её колебаний k. Из теории колебаний [4], известно, что собственная частота k колебаний зависит только от параметров системы и определяется как: (8) Здесь a − коэффициент инерции системы. В нашем случае a=m, с_пр − приведенная жесткость системы, m − масса системы. Используя, ранее рассчитанные значения, с_пр и задавая значения массы m: m₁=10 кг, m₂=20 кг, m₃=30 кг, найдём собственные частоты системы, по выражению (8), сведя их в таблицу 1: Таблица 1

cпр.i, Н/м   mi, кг	1,745∙108	1,960∙108	2,236∙108	2,601∙108	3,110 ∙108
10	665 Гц	705 Гц	752,6 Гц	812 Гц	888 Гц
20	470 Гц	498,2 Гц	532 Гц	574 Гц	627,6 Гц
30	384 Гц	407 Гц	434,5 Гц	469 Гц	512,4 Гц

Сравнивая полученные значения с эксплуатационными частотами технологического оборудования [5, 6] видно, что оборудование, оснащенное предлагаемым манипулятором, будет работать в дорезонансной зоне. Используя пакет программы MathCAD 15, приводим графические зависимости выражения (8) в зависимости от массы m системы и приведённой жесткости с_пр, которые представлены на рис. 3 и рис. 4.

Рис. 3. Зависимость собственных частот колебаний от приведенной массы системы: кривая 1 при с_пр=1,745·10⁸ Н/м, кривая 2 при с_пр=1,960·10⁸Н/м, кривая 3 при с_пр=2,236·10⁸ Н/м

 

 Рис. 4. Зависимость собственных частот колебаний от приведенной жесткости системы: кривая 1 при m=10 кг, кривая 2 при m=20 кг, кривая 3 при m=30 кг

Выводы:

• Результаты расчетов приведенной жесткости показали, что жесткость предложенной модели пространственного манипулятора сравнима с жесткостью суппортной группы станков средних размеров.
• Диапазон собственных частот предлагаемой конструкции манипулятора выше эксплуатационных частот силового возбуждения технологического оборудования.
• Предлагаемое техническое решение механизма манипулятора рекомендуется к использованию в технологических машинах машиностроительных производств.