Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2019.79.1.009

Скачать PDF ( ) Страницы: 53-59 Выпуск: № 1 (79) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Зубарев А. Е. АНАЛИЗ МЕТОДОВ РАСЧЕТА БИТОВОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ПРИЕМЕ СИГНАЛОВ С M-ИЧНОЙ ФАЗОВОЙ МАНИПУЛЯЦИЕЙ / А. Е. Зубарев, А. В. Позов, А. И. Приходько // Международный научно-исследовательский журнал. — 2019. — № 1 (79) Часть 1. — С. 53—59. — URL: https://research-journal.org/technical/analiz-metodov-rascheta-bitovoj-veroyatnosti-oshibki-pri-kogerentnom-prieme-signalov-s-m-ichnoj-fazovoj-manipulyaciej/ (дата обращения: 20.06.2019. ). doi: 10.23670/IRJ.2019.79.1.009
Зубарев А. Е. АНАЛИЗ МЕТОДОВ РАСЧЕТА БИТОВОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ПРИЕМЕ СИГНАЛОВ С M-ИЧНОЙ ФАЗОВОЙ МАНИПУЛЯЦИЕЙ / А. Е. Зубарев, А. В. Позов, А. И. Приходько // Международный научно-исследовательский журнал. — 2019. — № 1 (79) Часть 1. — С. 53—59. doi: 10.23670/IRJ.2019.79.1.009

Импортировать


АНАЛИЗ МЕТОДОВ РАСЧЕТА БИТОВОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ПРИЕМЕ СИГНАЛОВ С M-ИЧНОЙ ФАЗОВОЙ МАНИПУЛЯЦИЕЙ

АНАЛИЗ МЕТОДОВ РАСЧЕТА БИТОВОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ПРИЕМЕ СИГНАЛОВ С M-ИЧНОЙ ФАЗОВОЙ МАНИПУЛЯЦИЕЙ

Научная статья

Зубарев А.Е.1, *, Позов А.В.2, Приходько А.И.3

1 ORCID: 0000-0003-0615-3414;

2 ORCID: 0000-0001-6377-0756;

3 ORCID: 0000-0003-0108-8238;

1, 2, 3 Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия

* Корреспондирующий автор (shorshett1708919[at]yandex.ru)

Аннотация

В современных и перспективных цифровых телекоммуникационных системах находят широкое применение сигналы с Mичной фазовой манипуляцией. В статье рассмотрены различные методы расчета битовой вероятности ошибки при когерентном приеме сигналов с M-ичной фазовой манипуляцией в канале связи с постоянными параметрами и аддитивным белым гауссовским шумом. Поведены расчеты битовой вероятности ошибки по точным и приближенным формулам. Обоснованы рекомендации по выбору приближенных формул для оценки битовой вероятности ошибки.

Ключевые слова: M-ичная фазовая манипуляция, сигнальное созвездие, код Грея, аддитивный белый гауссовский шум, когерентный прием, отношение сигнал-шум, символьная вероятность ошибки, битовая вероятность ошибки.

CALCULATING METHOD ANALYSIS OF BIT PROBABILITY OF ERROR AT COGERENT RECEPTION OF SIGNALS WITH M-ARY PHASE MANIPULATION

Research article

Zubarev A.E.1, *, Pozov A.V.2, Prikhodko A.I.3

1 ORCID: 0000-0003-0615-3414;

2 ORCID: 0000-0001-6377-0756;

3 ORCID: 0000-0003-0108-8238;

1, 2, 3Kuban State University, Krasnodar, Russia

* Corresponding author (shorshett1708919 [at] yandex.ru)

Abstract

In modern and promising digital telecommunication systems, signals with M-ary phase shift keying are widely used. The article discusses various methods for calculating the bit error probability for coherent reception of signals with M-ary phase shift keying in the communication channel with constant parameters and additive white Gaussian noise. The calculations of the bit error probability are carried out using exact and approximate formulas. Recommendations on the choice of approximate formulas for estimating the bit probability of error are justified.

Keywords: M-ary phase shift keying, signal constellation, Gray code, additive white Gaussian noise, coherent reception, signal-to-noise ratio, symbolic error probability, bit error probability.

В настоящее время в цифровых телекоммуникационных системах широкое применение получили сигналы с Mичной (многократной) фазовой манипуляцией (МФМ) в силу своей достаточно высокой энергетической и спектральной эффективности [1, С. 87], [2, С. 243], [8, С. 228], [9, С. 206], [10, С. 148].

Сигнал с МФМ определяется выражением [2, С. 243], [10, С.150]

29-03-2019 11-01-49   (1)

где A  – амплитуда сигнала;

29-03-2019 11-02-13   (2)

– прямоугольный видеоимпульс с единичной амплитудой и длительностью T; aK – передаваемые M-ичные символы, каждый из которых при

29-03-2019 11-02-28       (3)

переносит

29-03-2019 11-02-36   (4)

бит информации и может принимать значения

29-03-2019 11-04-05   (5)

φd– девиация фазы, равная половине разности фаз Δφ

29-03-2019 11-19-03   (6)

величина которой выбирается таким образом, чтобы векторы сигнального созвездия были расположены симметрично относительно начала координат, и составляет

 29-03-2019 11-19-27    (7)

– начальная фаза несущего колебания.

Символы передаются с одинаковыми вероятностями

29-03-2019 11-20-37    (8)

и каждому из них однозначно соответствует кодовый блок, содержащий m двоичных символов (битов)

29-03-2019 11-20-57   (9)

При описании сигналов с МФМ обычно рассматривают векторные диаграммы сигналов (сигнальные созвездия), которые представляют собой совокупность сигнальных векторов в декартовой системе координат с горизонтальной осью, соответствующей синфазной составляющей сигнала и вертикальной осью, отвечающей его квадратурной составляющей.

Сигнальные созвездия восьмифазного сигнала с МФМ при использовании натурального двоичного кода или кода Грея [1, С. 191] [3, С. 219], [10, С. 150] для кодирования двоичных информационных последовательностей (9) представлены на рис. 1.

29-03-2019 11-27-10

Рис. 1 – Сигнальные созвездия сигнала с МФМ: a – натуральный двоичный код; б – код Грея

 

Видим, что в отличие от натурального кода при использовании кода Грея двоичные последовательности (9), соответствующие соседним векторам сигнального созвездия, отличаются друг от друга лишь в одном разряде или, что то же самое, расстояние Хэмминга

29-03-2019 11-28-12

между двумя соседними последовательностями 29-03-2019 11-28-22 равно единице. Поскольку наиболее вероятной ошибкой при приеме сигнала с МФМ (символьной ошибкой) является регистрация сигнала, соответствующего одному из соседних сигнальных векторов, то наиболее вероятной будет ошибка лишь в одном разряде соответствующей комбинации двоичных символов (битовая ошибка). Поэтому при формировании сигналов с МФМ всегда используется код Грея [1, С. 191], [2, С. 244], [10, С. 150].

При оценке помехоустойчивости когерентного приема сигналов с МФМ (1)–(9) в канале с постоянными параметрами и аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) получен ряд формул для расчета битовой вероятности ошибки.

Цель работы: провести сравнительный анализ различных методов расчета битовой вероятности ошибки при когерентном приеме сигналов с МФМ и определить условия применимости приближенных формул.

Точная формула для битовой вероятности ошибки, впервые полученная в [6, С. 490] и уточненная в [5, С. 1758], имеет вид

29-03-2019 11-34-05   (11)

где

29-03-2019 11-34-53    (12)

– так называемое среднее спектральное расстояние [5, С. 1758], представляющее собой среднее расстояние Хэмминга между переданной двоичной последовательностью 29-03-2019 11-35-06 и остальными последовательностями, отстоящими от нее на k шагов вдоль окружности сигнального созвездия;

29-03-2019 11-35-20   (13)

– вероятность того, что при передаче последовательности 29-03-2019 11-35-06 (символа 29-03-2019 11-38-40) принимаемый сигнальный вектор попадет в k-ю область решения, представляющую собой сектор шириной 29-03-2019 11-38-47 радиан, центрируемый вокруг каждой из сигнальных точек окружности сигнального созвездия;

29-03-2019 11-43-53   (14)

Q-функция Гаусса [1, С. 52] [2, С. 234], [8, С. 147], [10, С. 950];

29-03-2019 11-44-09   (15)

– отношение энергии двоичного элемента сигнала 29-03-2019 11-48-22  на входе демодулятора к односторонней спектральной плотности мощности (интенсивности) АБГШ 29-03-2019 11-48-32. Величина 29-03-2019 11-48-39 представляет собой отношение сигнал-шум, приходящееся на один бит информации. В силу того, что длительность M‑ичного символа T в 29-03-2019 11-48-58 раз больше длительности бита 29-03-2019 11-49-20, энергия символа или элемента сигнала на входе модулятора составляет 29-03-2019 11-49-29. Это означает, что величина (15) связана с отношением сигнал-шум на символ

29-03-2019 12-06-54   (16)

простым соотношением [1, С. 76], [2, С. 278], [8, С. 197]

 29-03-2019 12-07-06  (17)

которое учтено в формуле (13).

Как указано в [6, С.489], [8, С. 232], при таком разбиения на области решения вероятность символьной ошибки составляет

29-03-2019 12-07-14    (18)

а вероятность правильного приема символа равна

29-03-2019 12-07-22    (19)

в силу того что сумма вероятностей (13) при k = 0, 1, 2, …, M равна единице:

29-03-2019 12-07-37   (20)

Формула не удобна для расчетов и поэтому в [5, С. 1759] с использованием того, что код Грея относится к классу рефлексных кодов [3, С. 220], получено замкнутое выражение для вычисления среднего расстояния 29-03-2019 12-14-57:

29-03-2019 12-15-09   (21)

где 01-04-2019 12-03-14 – ближайшее целое к величине x.

При определении вероятностей Pk по формуле (13) необходимо вычислять интеграл с бесконечными пределами и подынтегральным выражением, содержащем Q-функцию Гаусса (14). Поэтому в [8, С. 233] на основе альтернативного представления Q-функции

01-04-2019 12-50-30   (22)

получена эквивалентная формула, включающая интегралы от элементарных функций с конечными пределами интегрирования:

01-04-2019 12-50-42   (23)

В [8, С. 233] также приведены развернутые выражения для битовой вероятности ошибки (11), получающиеся из формулы (21) при небольших значениях M:

 01-04-2019 12-51-03    (24)

01-04-2019 13-01-07     (25)

01-04-2019 13-01-20    (26)

При M = 4 формулы (23), (24) с использованием представления (22) сводятся к простому выражению

01-04-2019 13-01-33     (27)

которое также определяет вероятность ошибки при когерентном приеме сигналов с двоичной фазовой манипуляцией [1, С. 53], [2, С. 279], [8, С. 228], [10, С. 139].

В силу того, что точные формулы (11), (21), (23) достаточно сложны, на практике часто используют различные приближенные методы оценки битовой вероятности ошибки.

Наиболее широкое применение среди таких методов получил метод, состоящий в предварительном вычислении символьной вероятности ошибки 01-04-2019 13-12-17 и последующем расчете битовой вероятности ошибки 01-04-2019 13-12-25  по простой приближенной формуле [1, С. 91], [2, С. 278], [9, С. 210], [10, С. 157]

01-04-2019 14-45-37     (28)

где учтено равенство (4). Выражение (28) также вытекает из равенств (11) и (18). Действительно, поскольку (11) в величина 01-04-2019 14-45-57, справедливо неравенство

01-04-2019 14-46-19

из которого с учетом (18) следует выражение (28).

При использовании приближенного равенства для расчета символьной вероятности ошибки, как правило, используют наиболее простую приближенную формулу [1, С. 90], [2, С. 281]

01-04-2019 14-46-27   (29)

которая при подстановке (29) в (28) дает следующее выражение:

01-04-2019 14-46-37    (30)

Вместо приближенной формулы (29) в (28) также можно использовать точную формулу для символьной вероятности ошибки [2, С. 289], [8, 230]

01-04-2019 14-46-51   (31)

полученную в [4, С. 25.5.2] на основе альтернативного представления (22) Q-функции Гаусса (14). В этом случае подстановка  (31) в (28) дает следующее приближенное выражение для битовой вероятности ошибки:

01-04-2019 14-47-01   (32)

Наконец, в [8, С. 234], [10, С. 158] приведена еще одна приближенная формула, предложенная в [7, С. 183] с использованием простого геометрического подхода, основанного на понятиях сигнального пространства:

01-04-2019 15-04-23    (33)

При учете только первого слагаемого формула (33) составляет

01-04-2019 15-05-29

и совпадает с выражением (30).

В [7, С. 184] с использованием метода статистического моделирования (метода Монте-Карло) была проведена проверка точности формулы (33) при 0 дБ ≤01-04-2019 15-07-25 ≤ 10 дБ и M = 16, 32. На основании полученных результатов было указано, что при 01-04-2019 15-07-31  в формуле (33) следует учитывать только первое и второе слагаемые, когда она принимает вид

01-04-2019 15-05-37

Результаты расчетов зависимостей битовой вероятности ошибки 01-04-2019 15-09-56 от отношения сигнал-шум 01-04-2019 15-10-03 по точным формулам (11), (21), (23) и по приближенным формулам (30), (32), (33), (34) при M = 8, 16 и M = 32, 64 представлены на рис. 2 и рис. 3 соответственно.

Из графиков следует:

– формулы (30), (32) дают нижнюю границу вероятности ошибки, а формула (33) – верхнюю;

– формула (34) при M = 8 дает верхнюю границу, при M = 16 практически точные результаты, а при  – нижнюю границу вероятности ошибки;

– формула (30) при малых значениях M дает лучшие результаты, чем более сложная формула (32).

01-04-2019 15-13-30

Рис. 2 – Зависимости вероятности ошибки

от отношения сигнал-шум при различных значениях M: aM = 8; бM = 16

 

Таким образом, проведенные расчеты позволяют сделать вывод о том, что наибольшее предпочтение следует отдать простым приближенным формулам (30) или (34):

– формула (30) дает точные результаты при M = 8 и  01-04-2019 15-10-03≥ 0 дБ, при M = 16 и  01-04-2019 15-10-03≥ 4 дБ, при M = 32 и  01-04-2019 15-10-03≥ 8 дБ, при M = 64 и  01-04-2019 15-10-03≥ 13 дБ;

– формула (34) дает точные результаты при M = 16 и любых значениях 01-04-2019 15-10-03, при M = 8, M = 32 и  01-04-2019 15-10-03≥ 0 дБ, при M = 64 и  01-04-2019 15-10-03≥ 4 дБ.

01-04-2019 15-16-31

Рис. 3 – Зависимости вероятности ошибки

от отношения сигнал-шум при различных значениях M: aM = 32; бM = 64

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Варгаузин В.А. Методы повышения энергетической и спектральной эффективности цифровой радиосвязи / В.А. Варгаузин, И.А.Цикин. – СПб.: БХВ-Петербург, 2013. – 352с.
  2. Голдсмит А. Беспроводные коммуникации / А. Голдсмит. – М.: Техносфера, 2011. – 904с.
  3. Приходько А.И. Детерминированные сигналы / А.И. Приходько. – М.: Горячая линия–Телеком, 2013. – 326с.
  4. Craig J. New, simple and exact result for calculating the probability of error for two-dimensional signal constellations / J.Craig // Proc. Military Commun. Conf. 1991. November. P. 25.5.1–25.5.5.
  5. Lassing J. Computation of Exact Bit-Error Rate of Coherent M-ary PSK With Gray Code Bit Mapping / J. Lassing, E.G. Ström, E. Angrell and others // IEEE Trans. Commun. 2003. Vol. 51. № 11. P. 1758–1760.
  6. Lee P.J. Computation of the Bit Error Rate of Coherent M-ary PSK with Gray Code Bit Mapping / P.J. Lee // IEEE Trans. Commun. 1986. Vol. 34. № 5. P. 488–491.
  7. Lu J. M-PSK and M-QAM BER Computation Using Signal-Space Concepts / J. Lu, K.B. Letaief, J. C-I. Chuang and others // IEEE Trans. Commun. 1999. Vol. 47. № 2. P. 181–184.
  8. Simon M.K. Digital Communication over Fading Channels / M.K. Simon, M.-S.Alouini. – Hoboken: Wiley, 2004. – 900 p.
  9. Simon M.K. Digital Communication Techniques: Signal Design and Detection / M.K. Simon, S.M.Hinedi, W.C.Lindsey. – Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1994. – 888 p.
  10. Xiong F. Digital Modulation Techniques / F. Xiong. – Boston – London: Artech House, 2006. – 1017 p.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Vargauzin V.A. Metody povyshenija jenergeticheskoj i spektral’noj jeffektivnosti cifrovoj radiosvjazi [Methods to improve the energy and spectral efficiency of digital radio] / V.A. Vargauzin, I.A.Cikin. – SPb.: BHV-Peterburg, 2013. – 352 p. [in Russian]
  2. Goldsmit A. Besprovodnye kommunikacii [Wireless Communications] / A. Goldsmit. – M.: Tehnosfera, 2011. – 904 p. [in Russian]
  3. Prihod’ko A.I. Determinirovannye signaly [Deterministic Signals] / A.I. Prihod’ko. – M.: Gorjachaja linija–Telekom, 2013. – 326 p. [in Russian]
  4. Craig J. New, simple and exact result for calculating the probability of error for two-dimensional signal constellations / J.Craig // Proc. Military Commun. Conf. 1991. November. P. 25.5.1–25.5.5.
  5. Lassing J. Computation of Exact Bit-Error Rate of Coherent M-ary PSK With Gray Code Bit Mapping / J. Lassing, E.G. Ström, E. Angrell and others // IEEE Trans. Commun. 2003. Vol. 51. № 11. P. 1758–1760.
  6. Lee P.J. Computation of the Bit Error Rate of Coherent M-ary PSK with Gray Code Bit Mapping / P.J. Lee // IEEE Trans. Commun. 1986. Vol. 34. № 5. P. 488–491.
  7. Lu J. M-PSK and M-QAM BER Computation Using Signal-Space Concepts / J. Lu, K.B. Letaief, J. C-I. Chuang and others // IEEE Trans. Commun. 1999. Vol. 47. № 2. P. 181–184.
  8. Simon M.K. Digital Communication over Fading Channels / M.K. Simon, M.-S.Alouini. – Hoboken: Wiley, 2004. – 900 p.
  9. Simon M.K. Digital Communication Techniques: Signal Design and Detection / M.K. Simon, S.M.Hinedi, W.C.Lindsey. – Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1994. – 888 p.
  10. Xiong F. Digital Modulation Techniques / F. Xiong. – Boston – London: Artech House, 2006. – 1017 p.

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.