Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 18+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.75.9.004

Скачать PDF ( ) Страницы: 24-31 Выпуск: № 9 (75) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Исаева С. Э. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ГИСТЕРЕЗИСОМ / С. Э. Исаева // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 9 (75) Часть 1. — С. 24—31. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/smeshannaya-zadacha-dlya-odnogo-kvazilinejnogo-parabolicheskogo-uravneniya-s-gisterezisom/ (дата обращения: 16.10.2018. ). doi: 10.23670/IRJ.2018.75.9.004
Исаева С. Э. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ГИСТЕРЕЗИСОМ / С. Э. Исаева // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 9 (75) Часть 1. — С. 24—31. doi: 10.23670/IRJ.2018.75.9.004

Импортировать


СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ГИСТЕРЕЗИСОМ

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ГИСТЕРЕЗИСОМ

Научная статья

Исаева С.Э.*

ORCID: 000-0002-0872-1350,

Бакинский Государственный Университет, Баку, Азербайджан

* Корреспондирующий автор (isayevasevda[at]rambler.ru)

Аннотация

В данной работе рассматривается начально-краевая задача для одного квазилинейного параболического уравнения с запоминающим оператором в ограниченной области с достаточно гладкой границей. Доказана теорема о существовании решений рассматриваемой начально-краевой задачи с запоминающим оператором. Для доказательства этой теоремы использован метод дискретизации по времени. Доказана также единственность решений этой задачи, если запоминающий оператор является  гистерезисной нелинейностью типа обобщенного люфта.

Ключевые слова: квазилинейное параболическое уравнение, запоминающий оператор, гистерезис, обобщенный люфт.

MIXED PROBLEM FOR ONE QUASILINEAR PARABOLIC EQUATION WITH HYSTERESIS

Research article

Isaeva S.E.*

ORCID: 000-0002-0872-1350,

Baku State University, Baku, Azerbaijan

* Corresponding author (isayevasevda[at]rambler.ru)

Abstract

The paper considers an initial-boundary value problem for a quasilinear parabolic equation with a memory operator in a bounded domain with a sufficiently smooth boundary. A theorem on the existence of solutions of the initial-boundary value problem with a memory operator is proved. We used the method of discretization with respect to time to prove this theorem. The uniqueness of the solutions of this problem is also proved if the memory operator is a hysteresis nonlinearity of the generalized backlash type.

Keywords: quasilinear parabolic equation, memory operator, hysteresis, generalized backlash.

Введение

Дифференциальные уравнения с запоминающим оператором, особенно  уравнения с гистерезисом имеют большое значение среди нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Понятие гистерезисного оператора впервые было введено в [1]. Смешанные задачи с гистерезисными нелинейностями изучены, например, в работах [2], [3], [4]. В данной работе рассматривается начально-краевая задача для одного квазилинейного параболического уравнения с запоминающим оператором. В случае отсутствия запоминающего оператора, эта задача исследована, например в [5]. Разрешимость такой задачи без нелинейного слагаемого 10-10-2018 15-27-57, исследована в работе [6]. В данной работе доказана теорема о существовании решений рассматриваемой задачи. Доказана также единственность решений этой задачи, если запоминающий оператор является  гистерезисной нелинейностью типа обобщенного люфта. Отметим, что смешанные задачи с такими гистерезисными нелинейностями изучены, например, в работах [7], [8].

Постановка задачи и основные результаты

Пусть 10-10-2018 15-29-34 ограниченная область с достаточно гладкой границей Г В области 10-10-2018 15-31-03 рассмотрим квазилинейное параболическое уравнение:

10-10-2018 15-32-04    (1)

с граничным условием

10-10-2018 15-32-26         (2)

и с начальным условием

10-10-2018 15-33-03,         (3)

где  10-10-2018 15-33-30 и нелинейный оператор F действует из пространства  10-10-2018 15-34-31 пространство измеримых функций, действующих из  в 10-10-2018 15-35-31. Предполагается, что F является запоминающим оператором, который действует в каждой точке 10-10-2018 15-36-33 независимо, то есть 10-10-2018 15-37-06 зависит от 10-10-2018 15-37-24 и не зависит от 10-10-2018 15-37-58 для 10-10-2018 15-38-52.

Пусть оператор F удовлетворяет следующим условиям:

 10-10-2018 15-40-36   (4)

10-10-2018 15-40-51    (5)

Пусть 10-10-2018 15-41-19. Предполагаем, что

10-10-2018 15-41-53,         (6)

10-10-2018 15-42-47      (7)

Определение

Функция  10-10-2018 15-43-50 

и удовлетворяющая для любого  10-10-2018 15-45-19  п.в. в  равенству

10-10-2018 15-45-44    (8)

называется решением задачи (1)-(3).

Из определения решения следует, что

  10-10-2018 15-48-57   (9)

откуда

10-10-2018 15-49-26;

поэтому 10-10-2018 15-50-54 и (9) удовлетворяется в 10-10-2018 15-51-11 п. в. на 10-10-2018 15-51-39. Интегрирование по частям в соотношении (8)  дает следующее:

 в  10-10-2018 15-52-20 (в смысле распределений).    (10)

В свою очередь из (9) и (10) получается соотношение (8).

Предположим, что оператор F удовлетворяет также условиям:

 10-10-2018 15-54-05    (11)

 10-10-2018 15-54-45        (12)

Теорема 1. Пусть выполняются условия (4)-(7), (11), (12). Тогда задача (1)-(3) имеет по крайней мере одно решение, для которого имеет место:

10-10-2018 15-55-11      (13)

Доказательство. Применим метод дискретизации по переменному t (см.[6]).

Разбивая отрезок [0,t] точками 10-10-2018 15-56-46 частей, обозначая

 10-10-2018 15-59-08

10-10-2018 15-59-53  линейная интерполяция по времени 10-10-2018 16-00-17 для 10-10-2018 16-00-49 и аналогичным образом определяя  10-10-2018 16-01-39,  рассмотрим задачу

 10-10-2018 16-02-12             (14)

  10-10-2018 16-02-43.           (15)

Покажем, что эта задача может быть решена шаг за шагом. Предположим, что 10-10-2018 16-03-28 известны для любого 10-10-2018 16-05-25 и рассмотрим задачу определения 10-10-2018 16-05-41. Функция  является 10-10-2018 16-06-15аффинной на отрезке 10-10-2018 16-06-53, почти для всякого 10-10-2018 16-07-26; поэтому 10-10-2018 16-07-55 зависит только от 10-10-2018 16-10-05,  которое известно, и от 10-10-2018 16-10-46, которое должно быть определено. Поэтому

10-10-2018 16-11-06.

Пусть

10-10-2018 16-11-32.     (16)

Согласно (16),  10-10-2018 16-12-16 и из (11) получаем, что

10-10-2018 16-13-22.      (17)

для любого 10-10-2018 16-13-48.

Определим оператор . Согласно (5) и (17) имеем

 10-10-2018 16-14-29 аффинно  ограничен и сильно непрерывен.    (18)

Из (12) получается, что

10-10-2018 16-15-34

для любого 10-10-2018 16-16-40. Из последнего неравенства и из (17), получаем, что существуют такие постоянные 10-10-2018 16-18-12 (зависящие от m, n но не от υ), что

  10-10-2018 16-19-30   (19)

10-10-2018 16-20-36

Если не учесть фиксированные индексы m и n, то уравнение (14) можем записать в виде:

 10-10-2018 16-22-10   (20)

где 10-10-2018 16-40-01.  Для доказательства существования хотя бы одного решения этого уравнения воспользуемся стандартной процедурой. Пусть 10-10-2018 16-43-02– последовательность конечномерных подпространств, покрывающих V; для любого 10-10-2018 16-43-48 рассмотрим следующую конечномерную задачу:

10-10-2018 16-44-13   (21)

Согласно (18),  10-10-2018 16-45-20является сильно непрерывным оператором. Из (19) (а также из того факта, что для 10-10-2018 16-46-32 выполняется неравенство 10-10-2018 16-46-51 – некоторые постоянные) получается, что этот оператор удовлетворяет следующему условию:

 10-10-2018 16-47-22      (22)

Отсюда получаем, что задача (21) имеет хотя бы одно решение (по одному варианту теоремы Брауэра о неподвижной точке, [5], гл. I, раздел 4.3). Умножая (21) на  и используя (22),  получаем, что последовательность 10-10-2018 16-48-01 равномерно ограничена в V. Следовательно, существует такая функция u и можно выделить такую подпоследовательность 10-10-2018 16-49-36.

Согласно компактному вложению: 10-10-2018 16-53-17 и (18) имеем

 10-10-2018 16-53-32

Поэтому переходя к пределу в (21) 10-10-2018 16-54-09, получаем (20); то есть существует функция u, которая является решением уравнения (20) (или (14)).

Чтобы получить априорные оценки, умножим обе части (14) на 10-10-2018 16-55-14. Тогда суммируя по 10-10-2018 16-55-36 для любого 10-10-2018 16-56-14 и интегрируя по Ω, получим:

10-10-2018 16-58-39      (23)

Согласно (12) имеем

10-10-2018 16-59-07       (24)

кроме того

  10-10-2018 17-00-20   (25)

10-10-2018 17-00-36                      (26)

Учитывая (24), (25), (26) в (23), имеем

10-10-2018 17-01-14               (27)

где постоянная 10-10-2018 17-01-53 не зависит от m. Так как (27) справедливо для любого 10-10-2018 17-03-26, то проведя несложные преобразования, получим, что

10-10-2018 17-04-46,    (28)

где постоянная 10-10-2018 17-09-39  не зависит от m.

Пусть

11-10-2018 09-38-22

и определим 10-10-2018 17-12-37 аналогичным  образом. Тогда из (14) и (28) имеем:

  10-10-2018 17-15-27      (29)

10-10-2018 17-18-06.           (30)

Так как  10-10-2018 17-20-12(с непрерывным вложением), то согласно (11) и (30)

 10-10-2018 17-20-30     (31)

и поскольку 10-10-2018 17-25-09 порождает отображение  10-10-2018 17-25-29, то легко проверить, что

10-10-2018 17-28-37.        (32)

 Из соотношений (29)-(32) получаем, что

10-10-2018 17-28-57        (33)

Известно, что если D – Банахово пространство и  при 10-10-2018 17-41-24  , то

10-10-2018 17-41-43

(см. [9]);  кроме того,  если D рефлексивно, или 10-10-2018 17-43-17 сепарабельно, то

10-10-2018 17-45-25.

Используя этот факт для 10-10-2018 17-45-41 и оценку (33),  заключаем, что существуют  функции u,w такие, что (после выделения быть может под последовательности) при 10-10-2018 17-48-03

10-10-2018 17-48-57     (34)
10-10-2018 17-49-14          (35)

11-10-2018 10-24-25      (36)

11-10-2018 10-28-35      (37)

где 11-10-2018 10-29-31.

Учитывая (34)-(37), переходим к пределу в (29) при 11-10-2018 10-34-46 и получаем (9); легко получается и (10). И это, как мы уже отметили, приводит к (8).

Известно ([10], глава 4, стр. 378), что

11-10-2018 10-35-39

с непрерывными вложениями (последнее вложение также компактное). Поэтому, выделяя быть может очередную подпоследовательность, имеем:

11-10-2018 10-36-51 равномерно на 11-10-2018 10-37-48, п. в. в Ω.

Тогда, согласно (5), 11-10-2018 10-39-25 равномерно на 11-10-2018 10-37-48, п. в. в Ω.

Так как 11-10-2018 10-40-39 является линейной интерполяцией по времени от 11-10-2018 10-41-33 для почти всех 11-10-2018 10-42-47, то имеем 11-10-2018 10-43-50 равномерно на 11-10-2018 10-37-48, п. в. в Ω.

Поэтому согласно (36) имеем: 11-10-2018 10-45-52 п. в. в Q. Из (11) получается, что 11-10-2018 10-46-52 сходится в11-10-2018 10-47-05.

Теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим задачу (1)-(3) при дополнительном условии, что F является  гистерезисной нелинейностью типа обобщенного люфта (см. [6]).

Пусть для функций 11-10-2018 10-51-06 удовлетворяется условие

11-10-2018 10-52-11  (38)

для любого 11-10-2018 10-52-58.

Обозначим через E гистерезисный оператор обобщенного люфта (см.[6], глава III). Зафиксируем некоторое 11-10-2018 10-54-21 и предположим, что

11-10-2018 10-55-26        (39)

для любого 11-10-2018 10-56-30 и для любого 11-10-2018 10-58-00.

Оператор  удовлетворяет условиям (4)-(5), (11)-(12). Для этого оператора удовлетворяются также неравенство

11-10-2018 10-58-57 п. в. на 11-10-2018 10-59-53,

и следующее

Неравенство Гильперта ([6], глава III). Пусть

11-10-2018 11-01-03

и 11-10-2018 11-02-40 – измеримая функция, такая, что 11-10-2018 11-03-24 п. в. на 11-10-2018 10-59-53. Если 11-10-2018 11-06-30, то

11-10-2018 11-07-34

Теорема 2. Пусть 11-10-2018 11-10-03 – липшицево непрерывны, аффинно ограничены и удовлетворяют условию (38). Определим F как в (39) и предположим, что

11-10-2018 11-11-41 п. в. на 11-10-2018 11-12-27.

Если 11-10-2018 11-13-03 – соответствующие решения задачи (1)-(3) с 11-10-2018 11-15-19, то для любого 11-10-2018 10-58-00  удовлетворяются неравенство

11-10-2018 11-16-12   (40)

Доказательство. Пусть

11-10-2018 11-18-09

Согласно теореме III. 2.3 (см. [1]),  11-10-2018 11-18-59.

Так как

11-10-2018 11-32-41

то

11-10-2018 11-33-20

откуда умножая на 11-10-2018 11-43-24 и интегрируя по Ω, имеем

11-10-2018 11-44-08(41)

Так как

11-10-2018 11-45-02

п. в. на 11-10-2018 10-59-53 и

11-10-2018 11-46-28

то из (41) получаем

11-10-2018 11-47-15   (42)

Теперь переходим к пределу при 11-10-2018 10-34-46. Существует функция 11-10-2018 12-04-57 такая, что 11-10-2018 12-05-51 п. в. в Q. Кроме того 11-10-2018 12-06-53 п. в. в Q, где

11-10-2018 12-12-21

Тогда из (42) получаем, что

11-10-2018 12-13-22  (43)

Так как в силу неравенства Гильперта удовлетворяется неравенство

11-10-2018 12-14-49

то из (43) имеем

11-10-2018 12-16-31

откуда получается (40).

Теорема 2 доказана.

Теорема 3.  Пусть

11-10-2018 12-18-41

функции 11-10-2018 12-25-53 липшицево непрерывны, аффинно ограничены и удовлетворяют условию (38), а F определяется  как в (39). Тогда задача (1)-(3) с f=h имеет единственное решение, которое удовлетворяет условию (13).

Доказательство. Эта теорема является прямым следствием теорем 1 и 2.

Заключение

Дифференциальные уравнения с запоминающим оператором, особенно  уравнения с гистерезисом имеют большое значение среди нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которые встречаются в физике, механике, биологии, химии, экономике и в других областях науки; гистерезисные явления часто встречаются также в теории трения, в ферромагнетизме, в теории сверхпроводимости. Особую  трудность имеют  уравнения с гистерезисом, если гистерезисный оператор находится под  оператором  дифференцирования  по  переменной t. В этой статье методом дискретизации по времени исследована разрешимость смешанной задачи для одного квазилинейного параболического уравнения с запоминающим оператором; доказана также единственность решений этой задачи, при дополнительном условии, что запоминающий оператор является  гистерезисной нелинейностью типа обобщенного люфта.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом // М.А. Красносельский, А.В. Покровский. – М.: Наука, 1983.-272 c.
  2. Mielke A. Rate-independent systems. Theory and application / A. Mielke, T. Roubicek // Applied Mathematical Sciences. – vol. 193. – Springer, New York. – 2015. – 660 p.
  3. Visintin A. Quasilinear hyperbolic equations with hysteresis // Ann. Inst. H. Poincare. Analyse nonlineaire. – 19. – 2002. – P. 451-476.
  4. Visintin A. Mathematical models of hysteresis / In: The Science of Hysteresis (G. Bertotti, I. Mayergoyz, eds.) Elsevier. – 2006. – chap.1. – P. 1-123.
  5. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.Л. Лионс. – М.: Мир. – 1972. – 588 c.
  6. Visintin A. Differential Models of Hysteresis / A. Visintin. – Springer, 1993. – 411 p.
  7. Kopfova J. Uniqueness theorem for a Cauchy problem with hysteresis // Proceedings of the American Mathematical Society. – 1999. – vol. 127. – No 12. – PP. 3527-3532.
  8. Kopfova J. Periodic solutions and asymptotic behavior of a PDE with hysteresis in the source term // Rocky Mountain Journal of Mathematics. – 2006. – vol. 36. – No 2. – P. 539-554.
  9. Ларькин Н.А. Нелинейные уравнения переменного типа / Н.А. Ларькин, В.А. Новиков, Н.Н. Яненко – Наука, Новосибирск, 1983. – 269 c.
  10. Лионс Ж.Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.Л. Лионс, Э. Мадженес. – М.: Мир, 1971.-357 c.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Krasnoselskii M.A. Sistemy s gisterezisom [Systems with Hysteresis] // M.A. Krasnoselski, A.V. Pokrovsky. – M.: Nauka, 1983. [in Russian]
  2. Mielke A. Rate-independent systems. Theory and application / A. Mielke, T. Roubicek // Applied Mathematical Sciences. – Vol. 193. – Springer, New York. – 2015. – 660 p.
  3. Visintin A. Quasilinear hyperbolic equations with hysteresis // Ann. Inst. H. Poincare. Analyse nonlineaire. – 19. – 2002. – P. 451-476.
  4. Visintin A. Mathematical models of hysteresis / In: The Science of Hysteresis (G. Bertotti, I. Mayergoyz, eds.) Elsevier.-2006. – Ch.1. – P. 1-123.
  5. Lions J.L. Nekotorye metody resheniya nelineinykh kraevykh zadach [Some Methods for Solving Nonlinear Boundary Value Problems] / J.L. Lions – M.: Mir. – 1972. – 588 p. [in Russian]
  6. Visintin A. Differential Models of Hysteresis / A. Visintin. – Springer, 1993. -411 p.
  7. Kopfova J. Uniqueness theorem for a Cauchy problem with hysteresis // Proceedings of the American Mathematical Society. – 1999. – Vol. 127. – No 12. – P. 3527-3532.
  8. Kopfova J. Periodic solutions and asymptotic behavior of a PDE with hysteresis in the source term // Rocky Mountain Journal of Mathematics. – 2006. – Vol. 36. – No 2. – P. 539-554.
  9. Larkin N.A. Nelineinye uravneniya peremennogo tipa [Nonlinear Equations of Variable Type] / N.A. Larkin, V.A. Novikov, N.N. Yanenko. – Nauka, Novosibirsk, 1983. – 269 p. [in Russian]
  10. Lions J.L. Neodnorodnye granichnye zadachi i ikh prilozheniya [Nonhomogeneous Boundary Value Problems and Their Applications] / J.L. Lions, E. Magenes. – M.: Mir, 1971. – 357 p. [in Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.