СИНГУЛЯРНО – ДИНАМИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ И ХАОСА

Скворцов Г.Е.¹, Перевозников Е.Н.²

¹кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Санкт-Петербургский государственный университет, ²кандидат физико-математических наук, доцент, Санкт-Петербургский торгово-экономический университет

СИНГУЛЯРНО – ДИНАМИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ И ХАОСА

  Аннотация

 Представлен сингулярно-динамический метод получения критериев неустойчивости и хаоса в неравновесных системах. Приводятся примеры, демонстрирующие метод и даются аналитические условия возникновения хаоса.

Ключевые слова: неустойчивость, сингулярно-динамический метод, критерии хаоса.

Skvortsov G.E.¹,  Perevoznikov E.N.²

¹Candidate of Physical and Mathematical Sciences, St. Petersburg State University, Petersburg, Russia. ²Candidate of Physical and Mathematical Sciences , St. Petersburg State University of Trade and Economics, Petersburg, Russia

SINGULARLY DYNAMIC CRITERIA OF INSTABILITY AND CHAOS

Abstract

The singularly dynamic method for obtaining instability and chaos criteria in nonequilibrium systems is submitted. The examples demonstrating the methods and the analytical conditions for the occurrence of chaos are given.

Key words: Instability, Singularly Dynamic Method, Chaos Criteria.

1. Содержание статьи является одним из основных разделов физической теории неустойчивостей, начало создания которой было положено в /1/. Она развивалась при рассмотрении ряда важных задач и методов их решения /2,3,4,5,6/. Здесь формулируется основной сингулярно-динамический метод (СД-метод) получения критериев неустойчивости и ее особого вида-хаоса. При этом   главное внимание уделяется хаотическим режимам, для которых раньше не было простых аналитических критериев /6/. В данной работе даются такие критерии.

В работе используется определение общей неустойчивости данное в /6/. Такое определение отражает и сингулярное и динамическое качества общей неустойчивости.

2. Схема СД- метода. Исходной для реализации схемы СД является динамическая модель – система дифференциальных уравнений с начальными условиями

Здесь x_i - определяющая величина, g_i - действие, π - набор параметров. Первый шаг СД метода – определение аналитических особенностей – сингулярностей действий. Ими могут быть изломы, скачки, нули и бесконечные значения. Нули действий являются особыми точками системы уравнений (2). Им соответствуют стационарные или бифуркационные состояния по времени. Обычно вторым шагом является попытка аналитически точного или приближенного решения исходной системы (1). Точное удается редко, а приближенное локальное возможно всегда. Для его осуществления представим функциюв виде ряда вблизи произвольного начального значения

g_i,j = ∂_jg_i(x_j,0) -производные по x_j, Δx_j = x_j - x_j,0. Ограничиваясь линейными членами, получаем линейную систему. В качестве начального значения обычно берут стационарные значения, хотя это не обязательно.

Третий шаг СДМ заключается в анализе динамики возмущений с целью установления неустойчивостей разного рода и, в частности, хаоса.  Он осуществляется посредством  анализа корней спектральных уравнений, соответствующих выбранным начальным условиям. На его основе формулируются критерии неустойчивости  и хаоса. Покажем на примерах реализацию СД метода.

3. Первоначально рассмотрим модель с характерными аналитическими и динамическими особенностями

Согласно принятой схеме отмечаем излом функции действия при х=0 .

Другим показателем особенности является дивергенция вектора действия . В данном случае имеем d_x|x|=±1 при x>0(<0) т.е. получается скачек. В общем случае дивергенция  указывает изменение фазового объема.

Решение задачи (3)

дает следующую картину динамики.  При t<ln2 реализуется отрицательная ветвь решения, при t=ln2 включается положительная ветвь. Происходит качественный переход и, следовательно, имеет место неустойчивость.

4. Динамическая часть СД-метода основана на изучении спектра системы (2), носителем которого является спектральное уравнение (СУ). Для системы с тремя динамическими величинами СУ имеет общий вид

Коэффициенты  s,p,q  зависят от исходного состояния, линеаризации и параметров π  Интерес представляют колебательные режимы, чтобы выделить их, используем способ РИМ – разделение СУ на вещественные и мнимые части, исключения и мнимости. В результате получаем для мнимой части выражение ( λ=v+iω )

которое справедливо для любых ν при условии

В случае нейтрального состояния (ν=0) должно быть p>0 . Условие (7) часть критерия хаоса. Важным условием хаоса является наличие собственных значений с вещественными частями разных знаков т.е. должно быть седло. Феномен хаоса заключается в переходах скачками от устойчивой моды к неустойчивой и наоборот. Аналитически условие седла получается следующим образом. Согласно соотношениям Виета вещественное собственное значение при наличии колебательных мод имеет знак величины –­q , а знак ν такой как у  (q-sp). Таким образам вторая часть критерия хаоса

Прямое численное решение ряда различных по своим свойствам динамических моделей подтверждает, что критерий, состоящий из условий (7,8) является необходимым и достаточным условием хаоса.

На основании анализа можно выделить 3 вида хаоса, которые соответствуют двум знакам коэффициента s и нулевому его значению. При   s>0 хаос диссипативный, при s<0 – активный, при s=0 хаос нейтральный. Все эти виды проявляются,  согласно указанным условиям, при численном решении разных задач. В случае, если локальные значения   могут изменить знак в зависимости в зависимости от выбора точки x₀, вид хаоса будет зависеть от начальных значений. Он будет определятся знаком s и критериями  (7,8).  Также есть ряд сопутствующих вопросов, которые были решены: какой из стационарных режимов брать при линеаризации; что делать если нет стационарных состояний; какова роль внешнего воздействия гармонического и постоянного. Ответы на эти вопросы целесообразнее показывать на примерах.

5. Рассмотрим по схеме СД –метода модель заданную уравнениями

Сингулярности: 1) бесконечности при y,z→∞ ; 2) стационарные состояния ; 3)   из последней связи ясно, что z_α - граница областей роста и убывания фазового объема. Поскольку , то при наличии хаоса он может быть всех трех видов.

При любом исходном состоянии после линеаризации для коэффициентов СУ получаем

Y=1+2y². Для упрощения анализа будем считать a малой величиной, которая может быть как положительной так и отрицательной. При указанных возможных значениях a удается проверить все варианты и установить условия хаоса. Например, при  a>0 условия хаоса (7,8) принимают вид

Z²<3Y, z<0. Хаос при этом диссипативный.

Как правило, основной интерес сосредотачивается на динамике возмущений стационарных состояний. В данном случае для стационарных значений коэффициенты СУ равны

Тогда критерии хаоса (7,8)  соответственно принимают вид (при a=0.2)

Очевидно, критерий появления хаоса для данной модели – r>r_c=25/6.

Дополним анализ модели еще одной возможностью определения сингулярностей. Она заключена в рассмотрении производной по параметру π

Ноль знаменателя приводит к критерию (7),  а ноль числителя указывает бифуркационное  значение λ(π). В данной модели ноль числителя дает собственное значение λ = a.

В заключении сделаем два замечания: первое- внешнее воздействие в рассмотренной системе определяется величиной r, и чем оно больше, тем сильнее неравновесность системы. И с некоторого уровня неравновесности в динамической системе возникает хаос.  Второе  связано с влиянием  начальных условий. Его можно выяснить, используя условие хаоса z²≤3Yдля стационарных значений величин.

Литература

1. Перевозников Е.Н., Скворцов Г.Е., К теории устойчивости неравновесных систем, ЖТФ, вып.12,№ 52, 1982, с (2353-2361).
2. Скворцов Г.Е.,О закономерностях неравновесных процессов, Письма ЖТФ, т.16вып.17,1990,с.(15-17).
3. Перевозников Е.Н., Скворцов Г.Е., К теории возмущений заряженной подсистемы в сильном электрическом поле, ЖТФ, т.61, №9, 1991, (1-8)с.
4. Перевозников Е.Н., Условия формирования зарядовых неустойчивостей в потоках слабоионизованных плазм , Изв. Вузов, Физика, №11, 2004,(27-31)с.
5. Перевозников Е.Н., Методы анализа устойчивости неравновесных систем, Изв. Вузов, Физика, №10, 2006, (34-39)с.
6. Перевозников Е.Н. , Скворцов Г.Е., Динамика возмущений и анализ устойчивости неравновесных систем , СПТЭИ, 2010, (137)с.7.
7. Кузнецов С.П., Динамический хаос, М.,2006, 356 с.
8. Перевозников Е.Н., Скворцов Г.Е., Физическая неустойчивость и качественные переходы, Materialy X miedzynarodwej naukowi-praktycznej konferencji, v30,2014, p (79-84).

References

1. Perevoznikov E.N., Skvorcov G.E., K teorii ustojchivosti neravnovesnyh sistem, ZhTF, vyp.12,№ 52, 1982, s (2353-2361).
2. Skvorcov G.E.,O zakonomernostjah neravnovesnyh processov, Pis'ma ZhTF, t.16vyp.17,1990,s.(15-17).
3. Perevoznikov E.N., Skvorcov G.E., K teorii vozmushhenij zarjazhennoj podsistemy v sil'nom jelektricheskom pole, ZhTF, t.61, №9, 1991, (1-8)s.
4. Perevoznikov E.N., Uslovija formirovanija zarjadovyh neustojchivostej v potokah slaboionizovannyh plazm , Izv. Vuzov, Fizika, №11, 2004,(27-31)s.
5. Perevoznikov E.N., Metody analiza ustojchivosti neravnovesnyh sistem, Izv. Vuzov, Fizika, №10, 2006, (34-39)s.
6. Perevoznikov E.N. , Skvorcov G.E., Dinamika vozmushhenij i analiz ustojchivosti neravnovesnyh sistem , SPTJeI, 2010, (137)s.7.
7. Kuznecov S.P., Dinamicheskij haos, M.,2006, 356 s.
8. Perevoznikov E.N., Skvorcov G.E., Fizicheskaja neustojchivost' i kachestvennye perehody, Materialy X miedzynarodwej naukowi-praktycznej konferencji, v30,2014, p (79-84).