РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ РЕШЁТОК

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ РЕШЁТОК

Научная статья

Салимов Р.Б.¹, Горская Т.Ю.^2, *

¹ ORCID: 0000-0003-4177-4830;

² ORCID: 0000-0001-7136-8388;

^{1, 2} Казанский государственный архитектурно-строительный университет, Казань, Россия

* Корреспондирующий автор (gorskaya0304[at]mail.ru)

Аннотация

Рассматривается обратная смешанная краевая задача аэрогидродинамики решёток, в которой требуется найти форму части профиля решётки по заданному по этой части распределению величины скорости и распределение величины скорости на остальной известной части профиля решётки, обтекаемой потенциальным потоком несжимаемой невязкой жидкости. Подробно рассматривается случай, когда искомый профиль близок к профилю известной решётки с известным комплексным потенциалом течения. Принимается, что известна часть нижней поверхности исследуемого профиля, за исключением его участка, прилегающего к носику профиля, а форма всей остальной части исследуемого профиля отыскивается по заданному на ней распределению величины скорости как функции дуговой абсциссы точки искомого профиля. Получены формулы, дающие решение поставленной задачи. В процессе решения задачи определяются период решётки и скорость потока, обтекающего решётку.

Ключевые слова: обратная смешанная краевая задача, аэрогидродинамика решётки, профиль, комплексный потенциал.

SOLVING THE INVERSE MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEM OF LATTICE FLUID DYNAMICS

Research article

Salimov R.B.¹, Gorskaia T.Yu.^2, *

¹ ORCID: 0000-0003-4177-4830;

² ORCID: 0000-0001-7136-8388;

^{1, 2} Kazan State University of Architecture and Engineering, Kazan, Russia

* Corresponding author (gorskaya0304[at]mail.ru)

Abstract

The authors consider the inverse mixed boundary value problem of lattice fluid dynamics, in which we need to find the shape of a part of the lattice profile through the velocity distribution given for this part and the velocity distribution on the rest known part of the lattice profile, which is streamlined by a potential flow of ideal frictionless liquid. The authors delve into the case when the required profile is close to the profile of a known lattice with a known flow complex potential. It is assumed that the known part of the lower surface of the profile, except for its plot adjacent to the nose profile, and the form of the rest of the investigated profile is sought, through the distribution of velocity as a function of the arc abscissa of the point of the required profile. We obtained formulas giving a solution to the problem. In the process of solving the problem, the lattice period and the flow velocity streamlining the lattice are determined.

Keywords: inverse mixed boundary value problem, lattice fluid dynamics, profile, complex potential.

Введение

Пусть в плоскости комплексного переменного z = x + iy расположена решётка профилей, период которой равен  ([1], стр. 123),  ([2], стр. 291), Решётка обтекается установившимся потоком несжимаемой невязкой жидкости, комплексный потенциал его обозначается w(z). Значение комплексной скорости w’(z) на бесконечности слева от решётки обозначим через  справа от решётки – через  Поток, обтекающий решётку, имеет период, равный  

Обозначим через L_z профиль решётки, точка разветвления на котором совпадает с точкой z = 0.

Введём плоскость комплексного переменного  и функцией  отобразим конформно внешность решётки профилей на бесконечнолистную риманову поверхность внутри системы концентрических окружностей, имеющих уравнение  требуя, чтобы бесконечно удалённым точкам слева и справа от решётки отвечали точки соответственно  эта функция отображает конформно круг  с разрезом по отрезку, соединяющему точки  на область, ограниченную профилем решётки и двумя конгруэнтными линиями, причём разность комплексных координат соответственных точек линии, лежащей выше профиля, и линии, расположенной ниже профиля, равна  ([1], стр. 123).

В дальнейшем будем рассматривать ветвь  которая окружность  переводит в профиль L_z.

Обозначим

      (1) будем рассматривать  как комплексный потенциал соответствующего течения в области   Для производной функции  справедливо представление ([1], стр. 123)       (2)

где B₁ - действительное число, причём  точки окружности  отвечающие соответственно точке разветвления A и точке схода B потока на профиле L_z решётки.

На профиле L_z и на окружности  установим направление, при котором область течения остаётся слева.

Циркуляция Г скорости по окружности  с указанным направлением будет равна ([1], стр. 141)

        (3) такой же будет и циркуляция скорости по L_z. С учётом формул (2), (3) получим       (4)

Производная  аналитична в круге  и в точках ,  принимает значения соответственно . Согласно (1) , поэтому в силу (2) в окрестностях точек ,  будут справедливы разложения соответственно

     (5)

     (6)

где

     (7)

     (8)

Функция  получает приращение, равное  при обходе (против хода часовой стрелки) окружности малого радиуса ε с центром в точке  начиная от точки, лежащей на верхнем берегу разреза, проведённого по отрезку, соединяющему точки   С другой стороны согласно (5) это приращение равно . Поэтому имеет место соотношение

     (9) На основании аналогичных рассуждений, относящихся к точке  с учётом (6) придём к равенству      (10) Соотношения (9), (10) эквивалентны системе      (11) в которой в силу (7), (8)  В дальнейшем будем считать, что   и согласно (4) . При этом система     (12)     (13)

равносильна системе (11) и, следовательно, системе (9), (10), где 

Пусть  есть потенциал скорости на окружности  для вышеуказанного течения в области   удовлетворяющий условию  Замечая, что

на основании формулы (2) с учётом (8) получим       (14)      (15)

Постановка задачи. Некоторые предварительные соотношения

Пусть s – дуговая абсцисса точки профиля L_z, отсчитываемая от точки разветвления A потока на профиле в указанном выше направлении (при котором область течения остаётся слева), l – периметр профиля L_z, s = s_B – дуговая абсцисса точки схода B потока на L_z, причём точка B совпадает с задней кромкой профиля L_z, и A – точка примыкающей к передней кромке L_z дуги нижней поверхности профиля L_z.

Примем  величина скорости, α – угол, образованный с действительной осью скорости в точке z.

Рассмотрим решение следующей задачи. Форма дуги AB (содержащей верхнюю поверхность L_z) неизвестна, на ней задано распределение скорости а форма остальной части BA профиля L_z известна, т. е. известна функция . Требуется найти форму дуги AB и распределение скорости на известной дуге профиля L_z: . Подлежат определению также период решётки  скорости . Примем, что заданные функции  дифференцируемы в интервалах соответственно  причём .

Задача, аналогичная приведённой выше и сформулированная для случая изолированного профиля, исследовалась в работах ряда авторов. Краткий обзор указанных работ содержится в книге [3], посвящённой обратным краевым задачам аэрогидродинамики.

В то же время отсутствуют опубликованные научные статьи, посвящённые решению рассматриваемой задачи для гидродинамических решёток.

Из соответствия точек L_z и окружности при конформном отображении функцией  определяется зависимость . При этом

     (16) Пусть

есть однозначная аналитическая в круге  функция, значения которой на окружности  вычислены в предположении, что

Здесь имеем Поэтому соотношения (16) можно записать так     (17) Следовательно, для аналитической в круге  функции  справедлива формула Шварца ([4], с. 58)

где  - действительная постоянная. Переходя в этой формуле к пределу при  когда и левая часть формулы стремится к нулю, будем иметь ([4], с. 59)

Поэтому предыдущая формула может быть записана так      (18) Переходя здесь  к пределу при  будем иметь      (19)      (20) Полагая  на основании (18) получим       (21) Пусть  - потенциал скорости на L_z. Для точек участка AB имеем      (22) Положим  Для остального участка BA профиля L_z      (23) причём  Поэтому циркуляция скорости по профилю L_z  будет определяться формулой      (24)

где  - известная величина, определяемая по формуле (22) при  - величина, выражение для которой находится на основании (19).

Принимая во внимание (14), (15), согласно (1) имеем

     (25)    (26)

Соотношения (13), (24), (25), (26), (19), (21) равносильны системе 10 действительных уравнений с неизвестными  (Подставляя выражения для  при  согласно соответственно (24), (19), (21), указанную систему можно привести к системе четырёх действительных уравнений с неизвестными .

При найденных  названных величинах период решётки  определяется по формуле (12).

Вычислив  по формуле (20), находим координаты точек искомой дуги

     (27)

В силу (12), (13) контур L_z будет замкнутым. Используя формулу (19) определим распределение скорости на известной части BA профиля L_z  при найденных 

Приближённое решение задачи

Для решения вышеуказанной системы с неизвестными величинами и функцией  можно использовать различные методы, в частности, методы последовательных приближений. Для простоты остановимся на случае, когда заданное на искомом участке профиля решётки распределение скорости близко к распределению скорости на соответствующем участке известного профиля некоторой исходной решётки, когда разности указанных скоростей в соответствующих точках профилей и разности координат соответствующих точек остальных участков профилей являются малыми величинами и величины второго порядка относительно этих малых можно не учитывать.

Для величин, относящихся к исходной известной решётки, сохраним принятые выше обозначения, а соответствующие величины, относящиеся к искомой изменённой решётке, будем обозначать теми же буквами, снабжая их верхней волнистой чертой. Будем считать, что для исходной решётки функции  известны.

Для простоты примем, что 

Пусть распределение скорости на искомом участке  профиля  изменённой решётки задано в виде

     (28)

где  - известное распределение скорости на дуге AB профиля L_z исходной известной решётки,  - дифференцируемы в интервале  малая положительная величина, причём величинами порядка  можно пренебречь,  

Примем, что для величин  остальных участков  справедливо соотношение, аналогичное (28)

     (29)

в котором  функция, дифференцируемая в интервале 

Будем считать также, что профиль  обладает достаточной степенью гладкости и производная  удовлетворяет условию Гельдера всюду на окружности  ([5], с. 117)

По формуле (28) имеем  По формуле (22) имеем  тогда с учётом (22), полагая  будем иметь       (30) причём в силу (30), (28)      (31) Где

Если записать формулу, аналогичную (19) для величин на  то в ней величины  отвечающие соответственно  будут неизвестны, и по ней не удастся найти значения  на известной части  профиля .

В связи с этим рассмотрим формулы, получаемые из (19), (20) с учётом (17) заменой  соответственно на  и  когда вместо  формулы (17) берётся

       (32)

при этом имеем       (33)     (34)

По формуле (33) определим распределение скорости  на известном участке  в первом приближении.

На основании формул, аналогичных (23), (24), (в первом приближении) будем иметь

причём  Принимая во внимание (28), (29) и формулы (17), (32), заключаем, что , где

Тогда на основании соотношения, полученного из (33) вычитанием соответствующих частей (19), замечая, что с принятой точностью  приходим к выводу, что  где

Здесь надо учесть известные результаты, относящиеся к поведению сингулярных интегралов вблизи разрыва плотности ([6], с. 58, 75, 95), а также аналогичные результаты работы [7].

Поэтому для       (35) Имеем      (36) Так как  то с учётом  (31), (35), (36) имеем  (37) где Из формулы, аналогичной (26),        (38) определяется зависимость  причём Соотношение       (39) Определяет функцию  причём В силу (26), (38) имеем      (40)

Примем, что здесь  есть малые величины . Так как частные производные второго порядка функции  непрерывны, то согласно формуле Тейлора разность правой части предыдущей формулы мало отличается от первого дифференциала этой функции в силу вышеуказанных условий. Поэтому указанную формулу (40)  для можно записать так

      (41) Здесь  Отсюда при  получаем соответственно       (42)   Формулу (41) с учётом последних выражений для   опуская слагаемые  представим так      (43) здесь при 

при  в последних четырёх формулах  надо заменить на  условие  – на условие

В силу (31), (36), (37) для множителя  формулы (43) имеем

     (44)

В силу условий, которым удовлетворяют  для которой справедлива формула (43), дифференцируема в интервалах  и имеет производную, удовлетворяющую условию Гельдера всюду в этих интервалах. На концах интервалов  обращается в нуль. Нетрудно проверить, что делённые на  слагаемые порядка  формулы Тейлора, неучтённые в формуле (43), при нахождении    приводят к величинам  Согласно (43), (44) имеем

Чтобы найти значение  в первом приближении по аналогии с предыдущим воспользуемся формулой, получаемой из (18) заменой  на функцию (32). Полагая в полученной формуле  будем иметь

     (45) Примем, что  являются малыми величинами  Здесь с принятой точностью  и согласно (17), (32) Из (45) вычтем (21) для  и получим (с прежней точностью)     (46) Поступая совершенно аналогично в случае  придём к соотношению     (47)

Интеграл с плотностью формулы (46) обозначим  и сумму слагаемых этой формулы, содержащих  обозначим  . Тогда формулы (46), (47) примут вид

Уравнения (13) запишем так      (48) где        (49) . Обозначая  уравнение (48) для измененной решётки запишем в виде

Отсюда вычтем почленно равенство (48). Разность в левой части с принятой точностью заменим первым дифференциалом функции (49) и придём к уравнению

Подставим сюда выражения из (46), (47) для  вышеуказанные функции Q, E, и получим     (50)

Соотношения (42) (без слагаемого  и (50) представляют собой систему уравнений с неизвестными  Остановимся лишь на общем случае, когда определитель системы отличен от нуля и система имеет единственное решение. Определив из неё величины  из (47) найдем , затем из (46) – величины 

На основании формулы (12) находится период решётки  Формулы (39), (43) определяют зависимость  эта зависимость вместе с функцией  отвечает найденным 

Если в рамках принятой точности  в частности  то найденная по формуле (33) функция  принимается за искомое распределение скорости на известной части  функцию  определяемую по формуле (34) примем за искомую функцию, по значениям которой вычисляются координаты неизвестной дуги  профиля  на основании формулы, аналогичной (27).

Если высказанное не имеет места, то выкладки, аналогичные вышеуказанным, проводятся во втором приближении. Для этого в формулах, использованных в первом приближении, зависимость  и связанные с ней параметры  заменяются на соответственно найденную в первом приближении  и связанные с ней параметры  и определяется зависимость  во втором приближении и т. д., зная зависимость  и связанные с ней параметры, определим зависимость  и соответствующие ей параметры. Если  с принятой точностью, то, по формулам, получаемым из (33), (34) аналогичной вышеуказанной заменой, вычислим искомую скорость  на известной части  профиля  и функцию  для искомого участка  контура  по  которой вычисляются координаты точек дуги   с использованием формулы, аналогичной (27).

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

1. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики / Л.И. Седов. – М.: Наука, 1980. – 448 с.
2. Кочин Н.Е. Теоретическая гидродинамика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. – М.: ГИФМЛ, 1963. – 583 с.
3. Елизаров А.М. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики / А.М. Елизаров, Н.Б. Ильинский, А.В. Поташов. –М.: Наука. 1994. – 440 с.
4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. – М.: Наука, 1977. – 641 с.
5. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. – М.: Наука. 1973. – 736 с.
6. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. – М.: ГИФМЛ, 1962. – 583 с.
7. Салимов Р.Б. К вычислению сингулярных интергалов с ядром Гильберта / Р.Б. Салимов // Известия вузов. Математика. 1970, №12 – С. 93-96.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Sedov L.I. Plosskiye zadahi gidrodinamiki I aerodinamiki [Plane problems of hydrodynamics and aerodynamics] / L.I. Sedov. - : Science. 1980. - 448 p. [in Russian]
2. Kochin N.E. Teoreticheskaya gidromehanika [Theoretical fluid mechanics] / N.E. Kochin, I.A. Kibel, N.V. Roze. - : GIFML. 1963. - 583 p. [in Russian]
3. Elizarov A.M. Obratnyi kraevie zadachi aerogidrodinamyki [Reverse regional tasks of aerodynamics] / A.M. Elizarov, N.B. Ilyinsky, A.V. Potashov. -M.: Science. - 440 p. [in Russian]
4. Gahov F.D. Kraevye zadachi. [Boundary value problems] M.: Nauka, 1977. – 641 p. [in Russian]
5. Lavrent’ev M.A. Metody teorii funkchiy komplexnogo peremennogo [Methods of the theory of functions of a complex variable] : Nauka, 1973. – 736 p. [in Russian]
6. Myshelishvyly N.I. Singulyrniye integral’nye uravnenia [Singular integral equations] - M.: GIFML. - 583 p. [in Russian]
7. Salimov R.B. K vychisleniu singulyrnikh integralov s yadrom Hilberta [To the calculation of singular intergals with the core of Hilbert] / R.B. Salimov // Izvestia of universities. 1970, No.12 - P. 93-96. [in Russian]