Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 18+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.71.032

Скачать PDF ( ) Страницы: 18-24 Выпуск: № 5 (71) () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Мустафина Л. М. РАЗНОСТНЫЕ ВЕСОВЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В ОДНОМ ВЫРОЖДЕННОМ СЛУЧАЕ / Л. М. Мустафина, В. В. Журов, Н. Ф. Абаева и др. // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 5 (71). — С. 18—24. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/raznostnye-vesovye-teoremy-vlozheniya-v-odnom-vyrozhdennom-sluchae/ (дата обращения: 21.08.2018. ). doi: 10.23670/IRJ.2018.71.032
Мустафина Л. М. РАЗНОСТНЫЕ ВЕСОВЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В ОДНОМ ВЫРОЖДЕННОМ СЛУЧАЕ / Л. М. Мустафина, В. В. Журов, Н. Ф. Абаева и др. // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 5 (71). — С. 18—24. doi: 10.23670/IRJ.2018.71.032

Импортировать


РАЗНОСТНЫЕ ВЕСОВЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В ОДНОМ ВЫРОЖДЕННОМ СЛУЧАЕ

Мустафина Л.М.1, Журов В.В.2, Абаева Н.Ф.3, Ахметов К.М.4

1 Кандидат физико-математических наук, доцент,

2 Кандидат технических наук, старший преподаватель,

3 Кандидат педагогических наук, старший преподаватель,

4 Кандидат технических наук, старший преподаватель,

1,2,3,4 Карагандинский государственный технический университет, Караганда, Казахстан

РАЗНОСТНЫЕ ВЕСОВЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В ОДНОМ ВЫРОЖДЕННОМ СЛУЧАЕ

Аннотация

Статья посвящена изучению условий вложения пространства 29-05-2018 16-12-45 в пространство 29-05-2018 16-33-58. Здесь 29-05-2018 16-14-49 разностный аналог весового лебегова пространства, в котором последовательность ρ играет роль веса. Пространство 29-05-2018 16-12-45 определяется как пополнение множества финитных последовательностей по норме. Для доказательства основного утверждения на вес β накладываются дополнительные условия. Дискретный вариант усреднения М. Отелбаева является эффективным инструментом при исследовании вопросов о разностных теоремах вложения, свойствах разностных операторов и т. п. Используя различные виды дискретных усреднений, исследуются вопросы теории вложения пространств с дискретным аргументом, а также получены двусторонние оценки норм операторов вложения и оценки аппроксимативных чисел оператора вложения.

Ключевые слова: разностные теоремы вложения, весовое лебегово пространство, пополнение множества финитных последовательностей.

Mustafina L.M.1, Zhurov V.V.2, Abaeva N.F.3, Akhmetov K.M.4

1 PhD in Physics and Mathematics, Associate professor,

2 PhD in Physics and Mathematics, Senior Lecturer,

3 PhD in Pedagogy, Senior Lecturer,

4 PhD in Engineering, Senior Lecturer,

1,2,3,4 Karaganda State Technical University, Karaganda, Kazakhstan

DIFFERENTIAL WEIGHTS EMBEDDING THEOREM IN ONE DEGENERATED CASE

Abstract

The article is devoted to the study of the conditions for embedding of the space 29-05-2018 16-12-45 to space 29-05-2018 16-33-58. Here 29-05-2018 16-14-49 is the difference analog of a weighted Lebesgue space in which the sequence plays the role of weight. Space is defined as the completion of the set of finite sequences by the norm. In order to prove the main assertion, additional conditions are imposed on the weight. What a discrete version of M. Otelbaev’s averaging is an effective tool in the study of questions on difference embedding theorems, properties of difference operators, etc. Using various types of discrete averages, the questions of embedding theory of spaces with a discrete argument are investigated, as well as bilateral estimates of the norms of the embedding and estimation operators approximate numbers of the embedding operator.

Keywords: embedding difference theorems, weighted Lebesgue space, completion of a set of finite sequences.

Пространства с весом естественным образом возникают при рассмотрении дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Свойства (теоремы вложения) весовых пространств рассматривались в работах 1-13. В работе М. Отелбаева [13] теоремы вложения применяются к изучению спектральных вопросов полуограниченных операторов. Результаты этой работы обобщают известные теоремы компактности оператора вложения, полученные в работе Молчанова А.М. [14], а также в работах Бирмана М.Ш. и Павлова Б.С. [7], Мазьи В.Г. [8], Мазьи В.Г. и М. Отелбаева [10]. Усреднения весовых функций, впервые введенные М. Отелбаевым в [11], и усовершенствованные им же в [12], [13], позволяют получить двусторонние оценки норм некоторых операторов вложения, критерии дискретности спектра и оценки функций распределения спектра некоторых полуограниченных операторов.

В отличие от теорем вложения функций непрерывного аргумента, аппарат которых хорошо развит, теоремы вложения функций дискретного аргумента (разностные теоремы вложения) изучены слабее. Но применение методов конечных разностей для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами требует использования различных априорных оценок, этим объясняется интерес к разностным теоремам вложения. Исследование разностных теорем вложения началось, по-видимому, с работы С.Л. Соболева [15], в которой были получены оценки некоторых сумм, заданных на сетке. Как показали исследования, проведенные в этом направлении, дискретный вариант усреднения М. Отелбаева является эффективным инструментом при изучении вопросов о разностных теоремах вложения, свойствах разностных операторов и т.п. В данной работе, используя различные виды дискретных усреднений, исследованы вопросы теории вложения пространств с дискретным аргументом, получены двусторонние оценки норм операторов вложения. Особый интерес приобретают весовые пространства и изучение разностных теорем вложения пространств с весом. Применение разностных теорем вложения и получение оценок аппроксимативных чисел является одной из важных задач приближенного вычисления, а также используются при исследовании устойчивости разностных схем, в спектральной теории матриц.

В данной работе приводятся некоторые разностные теоремы для пространств с нормами, заведомо являющимися полунормами на нефинитных последовательностях.

Введем необходимые обозначения и определения.

Пусть 29-05-2018 16-18-31 – множество целых неотрицательных чисел, 29-05-2018 16-19-15 – последовательность действительных чисел. Для произвольного целого положительного числа l определим симметрическую разность l-го порядка, взятую в точке i, соотношением

29-05-2018 16-20-24

где 29-05-2018 16-21-17 – биномиальные коэффициенты, символ 29-05-2018 16-21-55  означает целую часть.

Будем говорить, что последовательность 29-05-2018 16-22-02 принадлежит пространству 29-05-2018 16-22-11 если конечна норма

29-05-2018 16-23-21

На множестве финитных последовательностей 29-05-2018 16-22-02 можно определить норму:

29-05-2018 16-24-18   (1)

где 29-05-2018 16-25-20  – последовательность неотрицательных чисел, 29-05-2018 16-25-27

29-05-2018 16-26-23

соответственно разности первого и второго порядков; 29-05-2018 16-27-18

Обозначим через 29-05-2018 16-28-48 пополнение множества финитных последовательностей по норме (1), 29-05-2018 16-29-37 играет роль веса.

В работе [16, С. 122] получено вложение пространства с весом 29-05-2018 16-28-48 в пространство 29-05-2018 16-33-04  – разностный аналог, рассмотренных М. Отелбаевым в [12], пространств 29-05-2018 16-36-11. Значительная трудность исследования этих вложений связана с тем, что норма пространства 29-05-2018 16-28-48 не содержит в явном виде самой последовательности  29-05-2018 16-22-02. Относительно разностных теорем вложения можно отметить работу Г.Х Мухамедиева [18], хотя норма пространства 29-05-2018 16-28-48 определялась только вторым слагаемым (1).

Двусторонние оценки выражения

29-05-2018 16-47-54

совпадающие по порядку и критерий компактности оператора вложения 29-05-2018 16-48-44 и достаточные условия вложения пространства 29-05-2018 16-28-48 в пространство 29-05-2018 16-49-32 сформулированы в терминах последовательности

29-05-2018 16-50-41

где 29-05-2018 16-51-40 после четного продолжения последовательности 29-05-2018 16-51-54 на все множество Z, определяется следующим образом

29-05-2018 16-52-53

Из определения 29-05-2018 16-51-40 следует, что при 29-05-2018 17-24-21 равенство 29-05-2018 17-24-57 в некоторой точке 29-05-2018 17-25-14возможно лишь в случае 29-05-2018 17-26-20, а при p=1 равенство 29-05-2018 17-24-57 означает, что 30-05-2018 09-59-02.  Следовательно, конечность 29-05-2018 16-51-40 в одной точке из 30-05-2018 10-00-32 эквивалентна конечности всюду в 30-05-2018 10-00-32. Кроме того условие 30-05-2018 10-01-35  для всех 29-05-2018 17-25-14 при 29-05-2018 17-24-21 эквивалентно требованию 30-05-2018 10-03-05  а при p=1 – требованию 30-05-2018 10-03-18.

Оценка сверху нормы оператора 30-05-2018 10-06-07 выводится из локальных оценок, оценка снизу в случае 30-05-2018 10-06-51 получается с помощью построения пробной последовательности, описанной в лемме 1.

Лемма 1. Если 30-05-2018 10-07-34, то найдется последовательность 30-05-2018 10-08-28 при 30-05-2018 10-09-25 и такая, что

 30-05-2018 10-10-04

если 30-05-2018 10-10-45 и

30-05-2018 10-22-36

если 30-05-2018 10-23-22, где С4 не зависит от M, R – любое достаточно большое число.

Имеют место теоремы

Теорема 1

Пусть 30-05-2018 10-26-51. Тогда пространство 30-05-2018 10-27-51 вложено в пространство 30-05-2018 10-29-55 тогда и только тогда, когда 30-05-2018 10-35-19 где

30-05-2018 10-36-10

причем для оператора вложения 30-05-2018 10-40-41 имеет место оценка нормы

30-05-2018 10-41-15

где C1 и C2 постоянные зависящие только от p и q.

Теорема 2

Пусть 30-05-2018 10-26-51.  Тогда пространство 30-05-2018 10-27-51 компактно вложено в пространство 30-05-2018 10-45-22 тогда и только тогда, когда выполняется условие

30-05-2018 10-46-19

и имеет место следующая оценка

30-05-2018 10-47-03

где 30-05-2018 10-47-39 абсолютная константа.

Можно привести примеры весовых последовательностей, для которых имеет место вложение пространства 30-05-2018 10-27-51 в пространство 30-05-2018 10-45-22. Например, полагая 30-05-2018 10-54-15, получим, что пространство 30-05-2018 10-27-51 вложено в пространство 30-05-2018 10-45-22 тогда и только тогда, когда

а) 30-05-2018 11-00-31 причем вложение компактно.

б)  30-05-2018 11-01-26

в)  30-05-2018 11-02-05

В случае 30-05-2018 11-04-17 пространство 30-05-2018 10-27-51 вложено в пространство 30-05-2018 10-45-22 тогда и только тогда, когда

а)  30-05-2018 11-05-55

б)  30-05-2018 11-06-02 при всех стальных значениях p и q.

Пространство 30-05-2018 10-27-51 компактно вложено в пространство 30-05-2018 10-45-22 при 30-05-2018 11-04-17 тогда и только тогда, когда 30-05-2018 11-08-05

Рассмотрим пространство 30-05-2018 11-09-24 – разностный аналог весового лебегова пространства, которое определяется как множество всех последовательностей 30-05-2018 11-09-59 имеющих конечную норму:

30-05-2018 11-11-17

здесь последовательность 30-05-2018 11-12-36 играет роль веса, причем 30-05-2018 11-13-15.

На множестве финитных последовательностей 30-05-2018 11-14-22 можно определить норму (1), где 30-05-2018 11-17-47 – последовательность неотрицательных чисел, 30-05-2018 11-19-04

30-05-2018 11-25-43

соответственно разности первого и второго порядков; 30-05-2018 11-26-24.

30-05-2018 11-28-26 – пополнение множества финитных последовательностей по норме (1). Нулем пространства 30-05-2018 11-28-26 может оказаться класс, состоящий из констант (например, при 30-05-2018 11-29-18) или линейных последовательностей (при 30-05-2018 11-30-27). В таком случае вложение 30-05-2018 11-28-26 в пространство 30-05-2018 11-09-24 возможно лишь при 30-05-2018 11-33-11. Норму (1) называют вырожденной, имея в виду возможность такой патологии. На вес  накладываются дополнительные условия, при которых нулем в пространстве 30-05-2018 11-28-26 является класс последовательностей, обращающихся в ноль почти всюду.

Продолжая 30-05-2018 11-34-25 четно на все множество целых чисел, обозначим

30-05-2018 11-34-55   (2)

Из определения последовательности чисел 29-05-2018 16-51-40 следует, что 29-05-2018 17-24-57 только при 30-05-2018 11-36-18 и условие 30-05-2018 11-36-53  эквивалентно требованию: 30-05-2018 11-37-24.

Формулировка основных результатов дается в терминах последовательности 30-05-2018 11-41-29:

30-05-2018 11-42-07

Обозначим 30-05-2018 11-42-50 – отрезок, аналогично 30-05-2018 11-43-35 Норма пространства 30-05-2018 11-28-26 на этих отрезках определяется так:

30-05-2018 11-44-45

Введенная выше последовательность 30-05-2018 11-45-33 обладает важным свойством, сформулируем его в виде леммы.

Лемма 2. Пусть 30-05-2018 11-45-33 определена соотношением (2). Тогда для всех 30-05-2018 11-46-34 выполняется неравенство 30-05-2018 11-46-43.

Приведем ряд утверждений, с помощью которых будут доказаны теоремы вложения.

Лемма 3. Пусть вес 30-05-2018 11-47-59 удовлетворяет условию: 30-05-2018 11-48-39 – отрезки, определенные выше и 29-05-2018 16-51-40 определено соотношением (2). Тогда существует последовательность чисел 30-05-2018 11-50-20  такая, что

30-05-2018 11-52-52

5) каждая точка 30-05-2018 11-53-51 принадлежит не более чем трем отрезкам 30-05-2018 11-54-23.

Доказательство см., например, в работе [17, С. 240].

Кроме приведенных утверждений, в доказательстве теорем вложения используется, так называемая, пробная последовательность, удовлетворяющая определенным условиям. Существование такой пробной последовательности доказывается в лемме:

Лемма 4. Если 30-05-2018 11-55-15, то найдется последовательность  30-05-2018 11-56-03 и такая, что

30-05-2018 11-57-03

если  30-05-2018 12-01-30, где С4 не зависит от M, R – любое достаточно большое число.

Лемма 5. Для любой последовательности 30-05-2018 12-03-52 справедливо неравенство  30-05-2018 12-04-43.

На основании приведенных лемм 3 и 4 доказывается критерий вложения пространства 30-05-2018 10-27-51 в пространство 30-05-2018 11-09-24 при 30-05-2018 10-06-51 и двусторонние оценки нормы оператора вложения

30-05-2018 12-07-28

Теорема 4

Пусть 30-05-2018 12-08-26. Тогда пространство 30-05-2018 11-28-26 вложено в пространство 30-05-2018 11-09-24 тогда и только тогда, когда 30-05-2018 12-10-49, где

30-05-2018 12-11-52

причем для оператора вложения E имеет место оценка нормы:

30-05-2018 12-12-42

где С5  и С6  постоянные зависящие только от p и q.

Оценка сверху нормы оператора вложения Е2 и достаточное условие вложения пространств 30-05-2018 11-28-26 в 30-05-2018 11-09-24 доказывается из локальных оценок, в силу леммы 3 и справедливости следующей оценки:

Лемма 5. Если 30-05-2018 12-15-24 – последовательности неотрицательных чисел, то существует конечная постоянная С4

30-05-2018 12-16-21

тогда и только тогда, когда

30-05-2018 12-17-07

Кроме того наилучшая постоянная С7 связана с B3 соотношением:

30-05-2018 12-18-37

Оценка снизу оператора  вложения  и необходимое условие вложения следуют из леммы 4.

Список литературы / References

  1. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1977.
  2. Кудрявцев Л.Д. Теоремы вложения для классов функций, определенных на всем пространстве или полупространстве. Ч.1.// Мат. Сб. – 1966. – Т.66(111). – № 4. – С. 616-639.
  3. Кудрявцев Л.Д. Теоремы вложения для классов функций, определенных на всем пространстве или полупространстве. Ч.2.// Мат. Сб. – 1966. – Т.70(112). – № 1. – С. 3-35.
  4. Лизоркин П.И. Граничные свойства функций из «весовых классов». // ДАН СССР. – 1960. – Т.132. – № 3. – С. 514-517.
  5. Бесов О.В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения. // Тр.МИАН. – 1961. – Т.60. – С.42-81.
  6. Ильин В.П. Интегральное представление функций классов и теоремы вложения. // Зап.науч.семинаров Лен.отд. МИАН СССР. –1970. – Т.19. – С. 95-155.
  7. Бирман М.Ш. О полной непрерывности некотрых операторов вложения / Бирман М.Ш., Павлов Б.С. // Вест.ЛГУ. Сер.мат., мех. и астрономия. –1961. – Вып.1. – С.61-74.
  8. Мазья В.Г. О (p,l) – емкости, теоремах вложения и спектре сопряженного эллиптического оператора. // Изв.АН СССР. Сер.мат. – 1973. – Т.37. – С. 356-385.
  9. Лизоркин П.И. Теоремы вложения и компактности для пространств Соболевского типа с весами. Ч.1. / Лизоркин П.И., Отелбаев М. // Мат.сб. –1979. – Т.108. – №3. – С. 358-377.
  10. Мазья В.Г. О теоремах вложения и спектре одного псевдодифференциального оператора / Мазья В.Г., Отелбаев М. // Сиб.мат.жур. – 1977. – Т.18. – №5. – С.1073-1087.
  11. Отелбаев М. О природе спектра одномерных дифференциальных операторов // Вестн. МГУ.- Сер.1. Математика. Механика. – 1972. – №5. – С.43-51.
  12. Отелбаев М. Критерий дискретности спектра одного вырожденного оператора и некоторые теоремы вложения // Дифф.уравнения. – 1977. – Т.13, №1. – С.111-120.
  13. Отелбаев М. Теоремы вложения пространств с весом и их приложения к изучению спектра оператора Шредингера // Тр.МАИН. – 1979. – Т.150. – С.265-305.
  14. Молчанов А.М. Об условиях дискретности спектра самосопряженных дифференциальных уравнений второго порядка. // Тр.ММО. – 1953. – Т.2. – С. 169-200.
  15. Соболев С.Л. Об оценках некоторых сумм для функций, заданных на сетке. // Изв.АН СССР. Сер.мат. – 1940. – №4. – С.5-17.
  16. Мустафина Л.М. Разностные теоремы вложения пространств Соболева с весом / Мустафина Л.М., БулабаевА.Т // Всесоюзная школа молодых ученых: Тез. докл. – Ташкент. – 1988. – С. 121-122.
  17. Мынбаев К.Т. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов / МынбаевК.Т., Отелбаев М. // М.: Наука, 1988.
  18. Мухамедиев Г.Х. Плотность финитных функций и теоремы вложения для одного класса весовых пространств. // Дис…канд. физ.-мат. наук.- Баку. 1986.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Nikolsky S.M. Priblizheniye funktsiy mnogikh peremennykh i teoremy vlozheniya [Approximation of Functions of Several Variables and Embedding Theorems. – M.: Nauka, 1977. [in Russian]
  2. Kudryavtsev L.D. Teoremy vlozheniya dlya klassov funktsiy, opredelennykh na vsem prostranstve ili poluprostranstve. CH.1 [Embedding Theorems for Classes of Functions Defined on Entire Space or Half-space. Part 1.] / Mat. Col. 1966-66 (111). – №. 4. – P. 616-639. [in Russian]
  3. Kudryavtsev L.D. Teoremy vlozheniya dlya klassov funktsiy, opredelennykh na vsem prostranstve ili poluprostranstve. Ch.2 [Embedding Theorems for Classes of Functions Defined on Entire Space or Half-space. Part 2.] / Mat. Sat. – 1966 – T.70 (112). – № – P. 3-35. [in Russian]
  4. Lizorkin P.I. Granichnyye svoystva funktsiy iz «vesovykh klassov». [Boundary Properties of Functions from “Weight Classes”] // DAN SSSR. – 1960. – V.132. – № 3. – P. 514-517. [in Russian]
  5. Besov O.V. Issledovaniye odnogo semeystva funktsional’nykh prostranstv v svyazi s teoremami vlozheniya i prodolzheniya [Study of Family of Function Spaces in Connection with Embedding and Extension Theorems] // Tr. MIAN. – 1961. – V.60. – P.42-81. [in Russian]
  6. Ilyin V.P. Integral’noye predstavleniye funktsiy klassov i teoremy vlozheniya. [Integral Representation of Class Functions and Embedding Theorems] // Col of Scient seminars. Spb dep. Steklov Mathematical Institute of the USSR. –1970. – V.19. – P. 95-155. [in Russian]
  7. Birman M.Sh. O polnoy nepreryvnosti nekotrykh operatorov vlozheniya [On Complete Continuity of Some Embedding Operators / Birman M.Sh., Pavlov B.S. // Bul. of LSU. Math and ast. ser. – 1961. – Issue 1 –P0.61-74. [in Russian]
  8. Maz’ya V.G. O (p,l) – yemkosti, teoremakh vlozheniya i spektre sopryazhennogo ellipticheskogo operatora [On (p,l) – capacities, embedding theorems, and the spectrum of the conjugate elliptic operator.] // Bul of AS of the USSR. Math. Ser. – 1973. – V.37. – P. 356-385. [in Russian]
  9. Lizorkin P.I. Teoremy vlozheniya i kompaktnosti dlya prostranstv Sobolevskogo tipa s vesami. CH.1 [Embedding and Compactness Theorems for Spaces of Sobolev Type with Weights. Part 1.] / Lizorkin P.I., Otelbaev M. O. // Mat. – 1979. – V.108. – 3. – P. 358-377. [in Russian]
  10. Maz’ya V.G. O teoremakh vlozheniya i spektre odnogo psevdodifferentsial’nogo operatora [On Embedding Theorems and Spectrum of Pseudodifferential Operator] / Maz’ya VG, Otelbaev M. // Sib. math. jour. – 1977. – T.18. – № 5. – P.1073-1087 [in Russian]
  11. Otelbaev M. O prirode spektra odnomernykh differentsial’nykh operatorov [On nature of Spectrum of One-dimensional Differential Operators] / Bul of MSU – Ser.1. Mathematics. Mechanics. – 1972. – № – P.43-51. [in Russian]
  12. Otelbaev, M., Kriteriy diskretnosti spektra odnogo vyrozhdennogo operatora i nekotoryye teoremy vlozheniya [Criterion for Discreteness of Spectrum of Degenerate Operator, and Some Embedding Theorems] Diff. Equations. 1977. – V.13, № – P.111-120. [in Russian]
  13. Otelbaev M., Teoremy vlozheniya prostranstv s vesom i ikh prilozheniya k izucheniyu spektra operatora Shredingera [Embedding Theorems for Spaces with Weight and Their Applications to Study of Spectrum of Schrödinger operator, Tr. MAIN. – 1979. – Vol. 150, P. 265-305. [in Russian]
  14. Molchanov A.M. Ob usloviyakh diskretnosti spektra samosopryazhennykh differentsial’nykh uravneniy vtorogo poryadka [On Discrete Conditions for Spectrum of Self-adjoint Differential Equations of Second order] // Tr. MMO. – 1953. – V.2. – P. 169-200. [in Russian]
  15. Sobolev S.L. Ob otsenkakh nekotorykh summ dlya funktsiy, zadannykh na setke. [Estimates of Some Sums for Functions Defined on Grid] // Bul of AS of USSR. Math. Ser. – 1940. – № – P.5-17. [in Russian]
  16. Mustafina L.M. Raznostnyye teoremy vlozheniya prostranstv Soboleva s vesom [Difference Embedding Theorems for Sobolev Spaces with Weight] / Mustafina L.M., Bulabaev A.T. // All-Union School of Young Scientists: Tez. doc. – Tashkent. – 1988. – P. 121-122. [in Russian]
  17. Mynbaev K.T. Vesovyye funktsional’nyye prostranstva i spektr differentsial’nykh operatorov [Weighted Function Spaces and Spectrum of Differential Operators] / Mynbaev K.T., Otelbaev M. // M.: Nauka, 1988. [in Russian]
  18. Mukhamediev G.Kh. Plotnost’ finitnykh funktsiy i teoremy vlozheniya dlya odnogo klassa vesovykh prostranstv [Density of Finite Functions and Embedding Theorems for Class of Weighted Spaces. // PhD thesis in Phys. and Math: Baku. 1986. [in Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.