Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 18+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.75.9.005

Скачать PDF ( ) Страницы: 32-36 Выпуск: № 9 (75) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Мурзабаева А. Б. ПОСТРОЕНИЕ РАЗМЕЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ ПРИМЕНЕНИЕМ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ / А. Б. Мурзабаева // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 9 (75) Часть 1. — С. 32—36. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/postroenie-razmechennyx-mnozhestv-primeneniem-garmonicheskix-funkcij/ (дата обращения: 11.12.2018. ). doi: 10.23670/IRJ.2018.75.9.005
Мурзабаева А. Б. ПОСТРОЕНИЕ РАЗМЕЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ ПРИМЕНЕНИЕМ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ / А. Б. Мурзабаева // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 9 (75) Часть 1. — С. 32—36. doi: 10.23670/IRJ.2018.75.9.005

Импортировать


ПОСТРОЕНИЕ РАЗМЕЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ ПРИМЕНЕНИЕМ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.75.9.005

ПОСТРОЕНИЕ РАЗМЕЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ ПРИМЕНЕНИЕМ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Научная статья

Мурзабаева А.Б.*

ORCID: 0000-0003-0694-6633,

Ошский технологический университет, Ош, Кыргызстан

* Корреспондирующий автор (aytbu.murzabaeva[at]mail.ru)

Аннотация

В данной статье на основе ранних работ построены размеченные области применением гармонических функций. Даны определения и обозначения размеченных областей, рассмотрены конкретные случаи размеченных областей. А также введено понятие ориентированные размеченные области. Приведены  примеры ориентированных, размеченных областей. В качестве примера применения размеченных областей рассматривается линейное сингулярно возмущенное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Для исследования асимптотического поведения решения начальной задачи построена размеченная область. Доказана, существует часть размеченной области являющиеся областью притяжения решения вырожденного уравнения.

Ключевые слова: размеченная область, гармоническая функция, линии уровня, сеть кривых, точки ветвления, сингулярно возмущенное уравнение, асимптотика.

 

CONSTRUCTION OF LABELED MULTITUDES USING POTENTIAL FUNCTIONS

Research article

Murzabaeva A.B.*

ORCID: 0000-0003-0694-6633,

Osh Technological University, Osh, Kyrgyzstan

* Corresponding author (aytbu.murzabaeva[at]mail.ru)

Abstract

In this paper, based on earlier papers, we constructed a labeled area using potential functions. The definitions and designations of labeled areas are given, specific cases of labeled areas are considered. The paper also introduces the concept of oriented labeled areas. Examples of oriented labeled areas are given. We consider a linear singularly perturbed ordinary differential equation of the first order as an example of the application of labeled area. A labeled area is constructed to study the asymptotic behavior of the solution of the initial problem. It is proved that there is a part of the labeled area that is the area of the attraction of the solution of the degenerate equation.

Keywords: labeled area, potential function, level lines, network of curves, branching points, singularly perturbed equation, asymptotics.

Пусть  04-10-2018 10-51-31 односвязная область.

Определение 1. Если Ω полностью покрывается некоторым множеством кривых {L(A)},  где A произвольная точка, принадлежащая области  Ω, то область  Ω назовём размеченным множеством кривых {L(A)} и обозначим Ω({L(A)}) .

Ниже будем рассматривать конкретные случаи множества {L(A)}.

Примеры

04-10-2018 10-56-14

В [1] для исследования асимптотического поведения решений сингулярно возмущённых обыкновенных дифференциальных уравнений аналитическими функциями при нарушении условия устойчивости, точки покоя присоединенной системы введено понятие размеченное множество в множество  комплексных чисел.

Определение 2. Если кривые L(A) из множества имеют определенную ориентацию (направление), то размеченное множество Ω назовём ориентированным и будем обозначать 04-10-2018 10-57-40. Ориентация кривых зависит от некоторых параметров, значения которых определяют положение точки A.

Области определенные в предыдущем примере являются ориентированными. Параметром ориентации служит независимая переменная  x.

Займемся построением размеченных множеств, применением гармонических функций.

При построении размеченных областей используем частично результаты работ [1], [2], [3], [4], [5].

Пусть   u(x,y)∈Γ(Ω) – пространство гармонических функций в области Ω.

Определение 3. Множество 04-10-2018 11-03-26 назовём линией уровня функции u(x,y) в области Ω.

Предположим  выполнения следующего условия

U.1. 04-10-2018 11-04-56

Согласно условия U.1 линии уровня (L)  не имеют кратных точек в области  Ω, то есть через каждую точку области Ω проходит единственная линия уровня.

Таким образом область Ω является размеченной линиями уровней (L) функции u(x,y) и область Ω является  размеченным.

Пример. 04-10-2018 11-10-05

Линиями уровня функции u(x,y) являются концентрические окружности с центром в точке (0;0).

Пусть  04-10-2018 11-12-23 – пространство аналитических функций в области Ω.

Полагая 04-10-2018 11-13-18  – действительные переменные, введем обозначения  04-10-2018 11-13-48,

Функции 04-10-2018 11-14-24 являются сопряжено гармоническими в области Ω.

Предположим выполнения условия

U.2.  04-10-2018 11-15-40

Тогда функция F(z) в области Ω не имеет кратных точек, следовательно линии уровня функций 04-10-2018 11-14-24 также не имеют точек ветвления.

Линии уровней 04-10-2018 11-21-31 являются взаимно ортогональными в точках пересечения. Таким образом область Ω полностью покрывается сетью взаимно ортогональных линии уровней функций 04-10-2018 11-21-31. В рассматриваемом случае область Ω размечена двумя видами множества кривых.

При нарушении условия U.2, в общем случае, представить размеченную область Ω, практически является трудной задачей и каждый из этих случаев, надо будет рассматривать отдельно. Такие случаи рассмотрены в [1], [3].

Теперь рассмотрим случай, когда заданы несколько аналитических функций в области  Ω.  Частично используем результаты работ [6-10].

U.3. Пусть 04-10-2018 11-27-22

Введём обозначения

04-10-2018 11-28-37,

Согласно рассмотренному случаю линии уровня, определяемые парами 04-10-2018 11-28-50 полностью покрывают область Ω сетью взаимно ортогональных линии уровней и область Ω будет размеченным порознь парами  04-10-2018 11-30-56.

Размеченность области Ω парой 04-10-2018 11-36-20 обозначим 04-10-2018 11-36-40, а парой 04-10-2018 11-37-34 обозначим 04-10-2018 11-38-41. Какова взаимосвязь размеченных областей 04-10-2018 11-39-09?  Используя только условие U.3 решение поставленной задачи, практически является невозможным.

Пусть 04-10-2018 11-40-05 и является её внутренней точкой и U.4. 04-10-2018 11-40-46

Возьмём 04-10-2018 11-41-15 Согласно U.4 имеем 04-10-2018 11-41-39, следовательно, существует линия уровня 04-10-2018 11-42-24 которая проходит через точку 04-10-2018 11-42-52 и область Ω делит на две части, которые обозначим  04-10-2018 11-43-57.

По линиям уровней функции 04-10-2018 11-58-01 строго монотонна. Пусть 04-10-2018 11-59-02 произвольная точка, принадлежащая 04-10-2018 11-59-18. Существует линия уровня 04-10-2018 12-00-00

Рассмотрим  04-10-2018 12-01-18. Так как 04-10-2018 12-02-09 то в каждом из областей  04-10-2018 12-03-15 принимает значения разных знаков.

Для определённости возьмём 04-10-2018 12-03-38.

Тогда  04-10-2018 12-04-08,  причём равенство имеет место только для точек принадлежащих линии 04-10-2018 12-04-51.

Области 04-10-2018 12-05-18 являются размеченными и в совокупности определяют размеченную область 04-10-2018 12-05-41. Аналогично рассматривая функции 04-10-2018 12-06-20 определяем области 04-10-2018 12-07-28 принимает значения разных знаков. Области 04-10-2018 12-08-03 имеют общую границу 04-10-2018 12-08-32 являются размеченными и в совокупности определяют размеченную область Ω.

Для определённости считаем

04-10-2018 12-10-05 .

U.5. Пусть линии уровня  04-10-2018 12-12-41  и  пересекаются только в точке 04-10-2018 12-13-10.

При выполнении условия U.5 существуют области, где функции 04-10-2018 12-13-46 принимают значения одинаковых или разных знаков, причём все области являются размеченными по линиям уровней функций 04-10-2018 12-14-21

Применение размеченных множеств для определения областей притяжения.

Размеченные множества применяются при исследовании асимптотического поведения решений сингулярно возмущённых уравнений и для определения областей притяжения решений вырожденных уравнений.

Более подробно применением размеченных множеств для различных классов сингулярно возмущённых уравнений можно ознакомиться в [1-10]. Для простоты рассмотрим линейное сингулярно возмущённое уравнение следующего вида

 04-10-2018 12-15-46                                                                                (1)

с начальным условием

04-10-2018 12-16-02                                                                              (2)

где 04-10-2018 12-18-02 малый параметр;  04-10-2018 12-18-16 односвязная область; 04-10-2018 12-20-35 является её внутренней точкой.

Пусть выполняются условия

 04-10-2018 12-21-12

Задача. Исследовать асимптотическое поведение решения задачи (1)-(2).

Для решения поставленной задачи решение задачи (1)-(2) представим в виде

04-10-2018 12-22-00,                                                                    (3)

где  04-10-2018 12-23-57.

Выполняются все условия раздела II. Область Ω полностью покрывается сетью взаимно ортогональных линии уровней функций 04-10-2018 12-25-39  является размеченным.

Функцию (3) будем рассматривать в размеченной области Ω.

По определению 04-10-2018 12-26-41. Тогда существует линия уровня 04-10-2018 12-29-13 проходящая через точку 04-10-2018 12-30-05 и делящая область 04-10-2018 12-30-26, причем в каждом из частей функция 04-10-2018 12-31-05 принимает значения разных знаков. Для определенности возьмём

04-10-2018 12-31-39 .

Области 04-10-2018 12-33-05 также являются размеченными. Для исследования асимптотического поведения функции (3) при 04-10-2018 12-33-40 для (3) выберем пути интегрирования.

Пусть состоит из части 04-10-2018 12-04-51 соединяющего точки 04-10-2018 12-34-43 и части линии уровня 04-10-2018 12-35-25 c соединяющего точки  04-10-2018 12-35-42.

Линии уровня функций 04-10-2018 12-36-26  являются аналитическими кривыми и их уравнения можно параметризовать по их длине.

Длину линии 04-10-2018 11-59-18 от точки 04-10-2018 12-37-36  обозначим s, а длину линии 04-10-2018 12-44-25 от точки  04-10-2018 12-44-46 обозначим σ.

Учитывая выбранные пути интегрирования и параметры, функцию (3) перепишем в следующем виде

04-10-2018 12-45-50                                        (4)

Рассмотрим следующие случаи:

  1. 04-10-2018 12-47-05 и (4) имеет вид

 04-10-2018 12-47-58.                                                                                                 (5)

К интегралу, в (5), применяя метод стационарной фазы, получим, что он имеет порядок ε. В рассматриваемом случае

04-10-2018 12-49-01.

Таким образом 04-10-2018 12-49-26 функция (5) не имеет предела при 04-10-2018 12-33-40, но ограничена по модулю т.е.

04-10-2018 12-50-35,

где 04-10-2018 12-51-15 – постоянная не зависящая от ε.

  1. Пусть 04-10-2018 12-51-59. В этом случае для значений04-10-2018 12-52-17. Следовательно, в (4) первое и второе слагаемое бесконечна мала по сравнению с ε, а третье слагаемое имеет порядок  ε (надо учесть, что 04-10-2018 12-53-44 убывает). Таким образом для 04-10-2018 12-53-59.
  2. Пусть 04-10-2018 12-55-29.

Для асимптотической оценка 04-10-2018 12-56-00  воспользуемся неравенством 04-10-2018 12-57-55

Из  (4)  получим

 04-10-2018 12-58-45                                         (6)

К первому интегралу в (6) применим метод стационарной фазы, тогда

04-10-2018 12-59-11,

где 04-10-2018 12-59-33 – постоянная не зависящая от ε; для второго интеграла применяя метод интегрирование по частям получим оценку.

04-10-2018 13-00-26,

где 04-10-2018 13-00-41– постоянная не зависящая от  ε.

Учитывая  полученные оценки, для 04-10-2018 13-01-39 имеем

04-10-2018 13-01-58.

Отсюда следует, для 04-10-2018 13-02-18.

Таким образом часть области 04-10-2018 13-02-41 является областью притяжения вырожденного уравнения  [1], [2].

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы\ References

  1. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости / К.С. Алыбаев //Вестник КГНУ. – Серия 3, Выпуск 6. – Бишкек, 2001г. – С. 190-200.
  2. Панков П.С. Явление погранслойных линий и асимптотика решений сингулярно возмущенных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями / Панков П.С., Алыбаев К.С., ТампагаровК.Б. и др. // Вестник ОшГУ, 2013-№1 (специальный выпуск). – С. 227-231.
  3. Тампагаров К.Б. Погранслойные линии для сингулярно и регулярно возмущенных дифференциальных уравнений первого порядка с аналитическими функциями / К.Б. Тампагаров // Естественные и математические науки в современном мире: сб. статей по материалам XLVII международной научно-практической конференции. №10 (45). Россия, Новосибирск: СиБАК, 2016. –С. 67-73.
  4. Алыбаев К.С. Явление простирающегося симметричного пограничного слоя для сингулярно возмущенных уравнений при потере устойчивости / Алыбаев К.С., Нарбаев М.Р. // Вестник ЖАГУ. Жалал-Абад, 2008. №1. – с.122-126.
  5. Алыбаев К.С. // Исслед. по интегро-дифферен. Уравнениям / Алыбаев К.С., Нарбаев М.Р. // Выпуск 35. Бишкек. 2006. С. 105 – 109
  6. Алыбаев К.С. Сингулярно возмущенные уравнения с аналитическими функциями теряющие единственность при вырождении / К.С. Алыбаев, А.Б.Мурзабаева // Итоги науки в теории и практике 2017: сб. статей по материалам XXXIV международной научной конференции. № 12 (34) Россия, Москва: ЕНО, 2017. – С.15-20.
  7. Мурзабаева А.Б. Системы сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями теряющие единственность при вырождении / А.Б. Мурзабаева // Теоретические и практические вопросы современной науки: сб. статей по материалам XLI международной научной конференции. № 7 (41) Россия, Москва: ЕНО, 2018. –С.12- 18.
  8. Alybayev K.S. Singularly perturbed first-order equations in complex domains that lose their uniqueness under degeneracy / К.S. Alybaev, A.B Murzabaeva // International conference on analysis and applied mathematics (icaam 2018) AIP Conference Proceedings Volume number: 1997, 020076, Aug 6 (2018);  org/10.1063/1.5049070.
  9. Мурзабаева А.Б. Нарушение единственности решений вырожденного уравнения для сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями / А.Б. Мурзабаева // Информационные технологии и математическое моделирование в науке, технике и образовании. № 3 (39) часть 1 Кыргызстан, Бишкек: “Текник”2016.-С.162-169.
  10. Мурзабаева А.Б. Сингулярно возмущенные уравнения при нарушении единственности решений вырожденного уравнения и условия устойчивости // Естественные и математические науки в современном мире:сб.ст.по матер. XLIX междунар.науч.-практ. конф.№12(47).- Нобосибирск : Сибак, 2016.-С.77-85.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Alybaev K.S. Metod linii urovnya issledovaniya singuliarno vozmushchennykh uravnenii pri narushenii usloviya ustoichivosti [Method of Level Lines for Study of Singularly Perturbed Equations in Violation of Stability Condition] / K.S.Alybaev // Bulletin of KSNU. – Series 3, Issue 6. – Bishkek, 2001. – P. 190-200. [in Russian]
  2. Pankov P.S. Yavlenie pogransloinykh linii i asimptotika reshenii singuliarno vozmushchennykh lineinykh obyknovennykh differentsialnykh uravnenii s analiticheskimi funktsiyami [Phenomenon of Boundary Layer Lines and Asymptotics of Solutions of Singularly Perturbed Linear Ordinary Differential Equations with Analytic Functions] / PankovS., Alybaev K.S., Tampagarov K.B. and others // Bulletin of Osh State University, 2013-No.1 (special issue). – P. 227-231. [in Russian]
  3. Tampagarov K.B. Pogransloinye linii dlia singuliarno i reguliarno vozmushchennykh differentsialnykh uravnenii pervogo poriadka s analiticheskimi funktsiyami [Boundary Lines for Singularly and Regularly Perturbed First-Order Differential Equations with Analytic Functions] / K.B. Tampagarov // Yestestvennyye i matematicheskiye nauki v sovremennom mire: kolledzh. statey o materialakh XVI Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii. [Natural and Mathematical Sciences in Modern World: Coll. of Articles on the Materials of the XLVII International Research-to-Practice Conference]. No.10 (45). Russia, Novosibirsk: SiBAK, 2016. – 67-73. [in Russian]
  4. Alybaev K.S. Yavlenie prostirayushchegosia simmetrichnogo pogranichnogo sloya dlia singuliarno vozmushchennykh uravnenii pri potere ustoichivosti [Phenomenon of Extending Symmetric Boundary Layer for Singularly Perturbed Equations with Loss of Stability] / Alybaev K.S., Narbaev M.R. // Herald of JASU. Jalal-Abad, 2008. No.1. – p.122-126. [in Russian]
  5. Alybaev K.S. // Issled. po integro-differen. uravneniyam. [Study of Integro-different. Equations] / Alybaev K.S., Narbaev M.R. // Issue 35. Bishkek. 2006. P. 105 – 109 [in Russian]
  6. Alybaev K.S. Singuljarno vozmushchennye uravneniya s analiticheskimi funktsiyami teriayushchie edinstvennost pri vyrozhdenii [Singularly Perturbed Equations with Analytic Functions that Lose Uniqueness under Degeneracy] / K.S. Alybaev, A.B. Murzabaeva // Rezul’taty nauki v teorii i praktike 2017: Kolledzh. statey o materialakh XXXIV Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii. № 12 (34) [Results of Science in Theory and Practice 2017: Colle. of Articles on the Materials of the XXXIV International Scientific Conference. No. 12 (34) Russia, Moscow: ЕNО, 2017. – P.15-20. [in Russian]
  7. Murzabaeva A.B. Sistemy singuliarno vozmushchennykh obyknovennykh differentsialnykh uravnenii s analiticheskimi funktsiyami teriajyshchie edinstvennost pri vyrozhdenii [Systems of Singularly Perturbed Ordinary Differential Equations with Analytic Functions that Lose Uniqueness under Degeneracy] / B. Murzabaeva // Teoreticheskiye i prakticheskiye voprosy sovremennoy nauki: sb. statey po materialam Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii XLI [Theoretical and Practical Questions of Modern Science: Coll. of Articles on the Materials of the XLI International Scientific Conference. No. 7 (41)] Russia, Moscow: ЕNО, 2018. – P.12- 18. [in Russian]
  8. Alybayev K.S. Singularly perturbed first-order equations in complex domains that lose their uniqueness under degeneracy / К.S. Alybaev, A.B Murzabaeva // Mezhdunarodnaya konferentsiya po analizu i prikladnoy matematike (icaam 2018) AIP Conference Proceedings Volume number: 1997, 020076 [International conference on analysis and applied mathematics (icaam 2018) AIP Conference Proceedings Volume number: 1997], 020076, Aug 6 (2018);  org/10.1063/1.5049070. [in Russian]
  9. Murzabaeva A.B. Narushenie edinstvennosti reshenii vyrozhdennogo uravneniya dlia singuliarno vozmushchennykh uravnenii s analiticheskimi funkciyami [Violation of Uniqueness of Solutions of Degenerate Equation for Singularly Perturbed Equations with Analytic Functions] / B. Murzabaeva // Informatsionnyye tekhnologii i matematicheskoye modelirovaniye v nauke, tekhnike i obrazovanii [Information Technologies and Mathematical Modeling in Science, Engineering and Education]. No. 3 (39) part 1 Kyrgyzstan, Bishkek: “Technik” 2016. – P.162-169. [in Russian]
  10. Murzabaeva A.B. Singuliarno vozmushchennye uravneniya pri narushenii edinstvennosti reshenii vyrozhdennogo uravneniya i usloviya ustoichivosti [Singularly Perturbed Equations in Violation of Uniqueness of Solutions of Degenerate Equation and Stability Condition] // Yestestvennyye i matematicheskiye nauki v sovremennom mire: sbornik statey. XLIX Mezhdunarodnaya nauchno-prakticheskaya konferentsiya [Natural and Mathematical Sciences in Modern World: Collected Articles. XLIX International Research-to-Practice Conf. No. 12 (47)]. – Novosibirsk: Sibak, 2016. – P.77-85. [in Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.