Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.75.9.001

Скачать PDF ( ) Страницы: 7-11 Выпуск: № 9 (75) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Алыбаев К. С. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ ПРИ ВЫРОЖДЕНИИ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ / К. С. Алыбаев, А. Б. Мурзабаева // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 9 (75) Часть 1. — С. 7—11. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/postroenie-oblastej-prityazheniya-pri-vyrozhdenii-singulyarno-vozmushhennyx-uravnenij/ (дата обращения: 23.03.2019. ). doi: 10.23670/IRJ.2018.75.9.001
Алыбаев К. С. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ ПРИ ВЫРОЖДЕНИИ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ / К. С. Алыбаев, А. Б. Мурзабаева // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 9 (75) Часть 1. — С. 7—11. doi: 10.23670/IRJ.2018.75.9.001

Импортировать


ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ ПРИ ВЫРОЖДЕНИИ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.75.9.001

ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ ПРИ ВЫРОЖДЕНИИ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

Научная статья

Алыбаев К.С.1, Мурзабаева А.Б.2, *

1 ORCID: 0000-0002-7962-534X,

Жалал-Абадский государственный университет, Жалал-Абад, Кыргызстан;

2 ORCID: 0000-0003-0694-6633,

Ошский технологический университет, Ош, Кыргызстан

* Корреспондирующий автор (aytbu.murzabaeva[at]mail.ru)

Аннотация

В работе проведен анализ систем сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений. Дается обзор известных результатов по рассматриваемому вопросу и на их основе обоснована степень актуальности исследуемой задачи. Рассматривается система сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями в комплексной области. Вырожденная система, соответствующая рассматриваемой системе, теряет единственность при вырождении. Для анализа решения начальной задачи по малому параметру введено понятие области притяжения решения вырожденной системы. Поставленная задача сводится к отысканию областей притяжения. С привлечением линии уровня гармонических функций в комплексной области построены области и доказано, что они являются областями притяжения рассматриваемых решений вырожденной системы.

Ключевые слова: сингулярное возмущение, вырожденные уравнения, гармоническая функция, линии уровня, область притяжения, асимптотика.

 

CONSTRUCTION OF DOMAINS OF ATTRACTION AT DEGENERATION OF SINGULARLY PERTURBED EQUATIONS

Research article

Alibaev K.S.1, Murzabaeva A.B.2, *

1 ORCID: 0000-0002-7962-534X,

Jalal-Abad State University, Jalal-Abad, Kyrgyzstan;

2 ORCID: 0000-0003-0694-6633,

Osh Technological University, Osh, Kyrgyzstan

* Corresponding author (aytbu.murzabaeva[at]mail.ru)

Abstract

The paper presents the analysis of singularly perturbed systems of ordinary differential equations. The overview of known results on the considered issue is given and the degree of relevance of the problem under investigation is substantiated based on them. We consider a system of singularly perturbed ordinary differential equations with analytic functions in the complex domain. A degenerate system corresponding to the system under consideration loses its uniqueness under degeneracy. In order to analyze the solution of the initial problem with respect to a small parameter, we introduce the notion of the domain of attraction of a solution of a degenerate system. The problem is reduced to finding the domains of attraction. Domains are constructed with the use of the level line of harmonic functions in the complex domain, and it is proved that they are domains of attraction of the solutions of the degenerate system under consideration.

Keywords: singular perturbation, degenerate equations, harmonic function, level lines, domain of attraction, asymptotics.

Введение

Многочисленные задачи математики, математической и теоретической физики, техники приводят к исследованию дифференциальных уравнений или их систем с малыми параметрами при старших производных. Такие классы уравнений получило название сингулярно возмущенные.

Примеры сингулярно возмущенных уравнений  прикладного характера приведены в [1].

Асимптотическими разложениями решений сингулярно возмущенных уравнений занимались многие исследователи. Об этом подробнее можно ознакомиться в [2], [3]. Сингулярно возмущенные уравнения в комплексных областях рассмотрены редко. В этом направлении из ранних работ можно назвать [4], [5], [6], [11], [12]. К более поздним работам относятся [8], [9], [10].

В [8] рассматриваются сингулярно возмущенные обыкновенные дифференциальные уравнения (системы) с аналитическими функциями в некоторых комплексных областях. Рассматриваемые области содержат отрезки действительной оси. Присоединённые уравнения (системы) заданных уравнений (систем) имеют одну точку покоя, причём она устойчива по Ляпунову в части отрезка действительной оси и неустойчива в другой части этого отрезка.

Доказано, что решения начальных задач рассматриваемых уравнений (систем) при потере устойчивости не сразу уходит от возникшей неустойчивой точки покоя, а в течении конечного времени остается вблизи него. Это явление получило название «затягивание потери устойчивости при динамических бифуркациях».

В [9], [10] доказано, сингулярно возмущенные обыкновенные дифференциальные уравнения (системы) с аналитическими функциями в комплексных областях обладают рядом специфических свойств. В частности доказано существование так называемых «погранслойных линий», которые можно рассматривать как частные случаи линий Стокса. Погранслойные линии разделяют рассматриваемые комплексные области на части. В одних частьях решение стремится к решению вырожденного уравнения (системы) по 02-10-2018 15-16-38, а в другой части не ограничена, а в самой погранслойной линии решение не имеет предела по ε. Также доказано, явление «затягивание потери устойчивости» происходит при определенных условиях на правые части рассматриваемых уравнений (систем). Таким образом, существование погранслойных линий специфическое свойство сингулярно возмущенных уравнений (систем) с аналитическими функциями, а «затягивание потери устойчивости» явление происходящее при благоприятных условиях.

В [8], [10] исследования проведены в предположении, что вырожденные уравнения (системы), соответствующие рассматриваемым уравнениям (системам) в комплексных областях имеют одно единственное решение. Уравнения (системы), когда вырожденные уравнения (системы) имеют несколько решений ранее не рассматривались.

Постановка задачи

Пусть рассматривается система

02-10-2018 15-18-29                                                                              (1)

с начальным условием

02-10-2018 15-20-50,                                                                                             (2)

где 02-10-2018 15-21-25 – односвязная область;  02-10-2018 15-23-05и её внутренняя точка.

02-10-2018 15-24-22.

 02-10-2018 15-25-01 – комплекснозначная аналитическая функция по переменным (t, z) в некоторой области H  переменных  (t, z).

При ε=0 из (1) получим вырожденную систему

02-10-2018 15-31-04                                                                                                        (3)

Предложим, что система (3) имеет изолированные решения (корни) 02-10-2018 15-32-06.

Далее: 02-10-2018 15-33-29 – означает пространство аналитических функций в Ω.

Запись  02-10-2018 15-34-17будет означать, что для любого t из Ω справедливо утверждение  σ(t).

Определение 1: Если  02-10-2018 15-36-08, то решения 02-10-2018 15-36-58 называются изолированными в Ω.

Определение 2: Если: 1. Существует область  02-10-2018 15-37-58 содержащая точку 02-10-2018 15-39-00.

  1. 02-10-2018 15-39-27 существует 02-10-2018 15-39-53 – решение задачи (1)-(2).
  2. 02-10-2018 15-40-57, то область02-10-2018 15-42-27 назовем областью притяжения решения 02-10-2018 15-42-59.

Далее область притяжения обозначим 02-10-2018 15-43-49.

Предметом наших исследований будут формулировка условий на правые части системы (1), при которых существуют области притяжения.

Для наглядости рассмотрим случай, когда

02-10-2018 15-47-33.

Предположим выполнения условия 02-10-2018 15-48-58.

Для этого случая каждое вырожденное уравнение имеет по два решения, которые обозначим

02-10-2018 15-53-01.

Из полученных решений составим следующие решения для вырожденной системы

02-10-2018 15-54-20

Задача: Существуют ли области притяжения 02-10-2018 15-55-58?

Предварительные обозначения и построения 

Рассмотрим функции 02-10-2018 16-03-25 и введем обозначения  02-10-2018 16-04-22. Согласно U1 функции 02-10-2018 16-05-42 – гармонические.

По определению 02-10-2018 16-10-03. Тогда существуют линии уровня 02-10-2018 16-11-40 проходящие через точку 02-10-2018 16-12-05.

 U.3 Пусть линии уровня 02-10-2018 16-15-16 не имеют общих точек, кроме точки  02-10-2018 16-12-05.

Линии  02-10-2018 16-16-46 область Ω делят на четыре части. Эти части обозначим 02-10-2018 16-17-41.

Если учесть U.2, то линия 02-10-2018 16-19-04 не имеет кратных точек и область Ω делит на две части в каждом из которых 02-10-2018 16-20-52, причем равенство имеет место только для точек 02-10-2018 16-19-04. Аналогичное имеет место для  02-10-2018 16-23-48. Условие U.3 обеспечивает существование единственной области, где 02-10-2018 16-25-01, а в оставшихся областях функции 02-10-2018 16-26-08, по совокупности принимают значения разных знаков.

Для определенности будем считать

02-10-2018 16-26-45                              (4)

Введем в рассмотрение линии уровня

02-10-2018 16-27-48

и составим множества 02-10-2018 16-28-17,

Пусть выполняется условие

U4. Произвольные линии из множеств  02-10-2018 16-28-47, а также из множеств 02-10-2018 16-29-50 пересекаются только в одной точке.

Заметим, 02-10-2018 16-30-46.

Далее рассмотрим линии уровня

02-10-2018 16-31-32.

Линии  02-10-2018 16-32-07 согласно U.4 пересекаются только в одной точке (всего четыре точки). Функции 02-10-2018 16-33-11непрерывны 02-10-2018 16-34-26, тогда точки пересечения линий 02-10-2018 16-36-21 принадлежат достаточно малой окрестности точки 02-10-2018 16-12-05. К примеру за это окрестность можно взять область, оганиченную линиями 02-10-2018 16-38-49.

Область ограниченную 02-10-2018 16-40-53  обозначим 02-10-2018 16-41-31; 02-10-2018 16-41-53 обозначим 02-10-2018 16-42-59;    02-10-2018 16-43-32 обозначим 02-10-2018 16-43-51;   02-10-2018 16-44-56 обозначим 02-10-2018 16-45-35.

Согласно U.1 линии уровня определяемые функциями 02-10-2018 16-46-30 являются аналитическими кривыми и их можно представить параметрически [6].

Возьмём 02-10-2018 16-56-57 и её уравнение представим параметрически в виде 02-10-2018 16-57-20 (случай 02-10-2018 16-57-54не исключается), где 02-10-2018 16-58-31 означает длину дуги 02-10-2018 16-58-47 отсчитываемого от точки 02-10-2018 16-59-11.

Возьмем 02-10-2018 16-59-49 и ее уравнение представим в виде

02-10-2018 17-00-11

(случай 02-10-2018 17-00-44 не исключается), где 02-10-2018 17-01-26 означает длину дуги 02-10-2018 17-01-44  отсчитываемого от точки 02-10-2018 17-02-11.

Также обозначим

02-10-2018 17-02-50

Вспомогательные леммы

Лемма 1. Функция 02-10-2018 17-03-42 строго монотонна вдоль линии 02-10-2018 17-04-01, а функция  02-10-2018 17-04-28 вдоль линии 02-10-2018 17-05-00.

Доказательство леммы приведен в [7].

Лемма 2. В каждом из частей 02-10-2018 17-05-46.

Доказательство. Пусть  02-10-2018 17-07-05. Возьмем 02-10-2018 17-07-59.

02-10-2018 17-08-45

Отсюда следует справедливость леммы для одного случая. Оставщиеся случаи доказываются аналогично.

Решение задачи

Теорема. Пусть выполняются условия u.1-u.4. Тогда существует решение задачи (1) – (2) и 02-10-2018 17-09-42  являются областями притяжения для решений 02-10-2018 17-10-44.

Доказательство. Для рассматриваемого случая решение задачи (1)-(2) можно представить в виде

02-10-2018 17-15-04

где 02-10-2018 17-16-04.

Функцию 02-10-2018 17-17-02 будем рассматривать для 02-10-2018 17-18-02. При исследовании 02-10-2018 17-19-09 существенную роль играют знаки функций 02-10-2018 17-19-25 и асимптотическое поведение интегралов  02-10-2018 17-19-46. Выберем пути интегрирования для этих интегралов. Путь для всех случаев  02-10-2018 17-20-56 выбирается единым и состоит из части 02-10-2018 17-21-17 соединяющего точки  02-10-2018 17-21-45  соединяющего точки  02-10-2018 17-22-29.

При j=1 получим путь 02-10-2018 17-24-21.

Компоненты 02-10-2018 17-25-45 в зависимости от знака функций 02-10-2018 17-26-23 представим в различных вариантах. Знаки 02-10-2018 17-26-23 определяются согласно (4).

  1. Пусть 02-10-2018 17-27-26. Тогда 02-10-2018 17-27-41 и компоненты 02-10-2018 17-28-08 представляются в виде

02-10-2018 17-28-37                                                          (5)

  1. 02-10-2018 17-29-15. В этом случае 02-10-2018 17-29-44 и

02-10-2018 17-30-06                                                                       (6)

02-10-2018 17-30-31                                                      (7)

  1. 02-10-2018 17-31-33. Имеем 02-10-2018 17-31-47 и

02-10-2018 17-35-02                                              (8)

02-10-2018 17-35-36.                                                                        (9)

  1. 02-10-2018 17-42-29, тогда   и

02-10-2018 17-46-41                                                       (10)

С учетом выбранных путей интегрирования и параметрическое представление линий 02-10-2018 17-47-38  интегралы 02-10-2018 17-47-53 представим в виде

02-10-2018 17-48-27

где 02-10-2018 17-49-29

Во всех рассматриваемых случаях будут  присутствовать интегралы

02-10-2018 17-50-18

К таким интеграл применяя метод стационарной фазы (функция  02-10-2018 17-51-15 не имеет особенностей) [6] получим

  02-10-2018 17-51-30                                                                                               (11)

Если 02-10-2018 17-52-08, то к интегралу

02-10-2018 17-52-54

применяя интегрирование по частям имеем

 02-10-2018 17-53-34                                                                                                (12)

Если  02-10-2018 17-54-19 то согласно (7)-(8)-(9)-(10) рассмотрим выражения

02-10-2018 17-54-41

  которые можно записать так

02-10-2018 17-55-13.

К  02-10-2018 17-56-06 применяя интегрирование по частям и учитывая Лемму 1 получим

02-10-2018 17-57-29.

Заметим, что  02-10-2018 17-58-17.

Теперь каждый из случаев 02-10-2018 17-58-40 рассмотрим отдельно. Отметим, что в каждом случае надо учесть Лемму 2.

  1. 02-10-2018 17-59-13, тогда на основе (11), (12), (j=12) имеем

02-10-2018 18-00-09

Так как 02-10-2018 18-01-02  то

02-10-2018 18-01-18

  1. 02-10-2018 18-02-18. В этом случае учитывая (11)-(12) при j=1 и (13) при j=2 будем иметь

02-10-2018 18-03-45.

  1. Если 02-10-2018 18-04-06, то учтем (11), (12) при j=2 и (13) при j=1.

02-10-2018 18-05-10.

  1. Пусть 02-10-2018 18-06-51. Тогда надо учесть (11)-(12) при j=1,2, a (13) при j=1,2.

02-10-2018 18-08-56. Теорема доказана.

Заключение

  1. Работа носит теоретический характер, но полученные результаты можно использовать на практике, когда состояние объекта описывается сингулярно возмущенными уравнениями (системами), причем объект при различных режимах стремится к определенному стабильному состоянию, а также при построении областей притяжения для систем сингулярно возмущенных уравнений более общего вида.
  2. Как показывают наши исследования, области притяжения, в некоторых случаях, существуют не для всех решений вырожденных уравнений (систем). Для подтверждения этого высказывания достаточно заменить 02-10-2018 18-10-00 на 02-10-2018 18-10-16.
Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Мищенко Е.Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е.Ф.Мищенко, Н.Х. Розов – М: Наука, 1975. – 248 с.
  2. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений содержащие малые параметры при производных / А.Н.Тихонов // Мат.сб. – 1952.-Т.31(73), №3. – С. 575-586.
  3. Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов // Москва: Наука, 1973. -278 с.
  4. Евграфов М.А. Асимптотика решений уравнения при в комплексной плоскости / М.А. Евграфов, М.В. Федорюк // Успехи математических наук, 21 -1966. – Т.21, №1, С. 3-50.
  5. Федорюк М.В. Асимптотика дискретного спектра оператора / М.В. Федорюк // Матем.сб., 68(110), 1965, №1, С. 68-97.
  6. Федорюк М.В. Топология линий Стокса уравнений второго порядка / М.В.Федорюк // Изв. АН СССР. -Сер.матем, 29(1965), В. 3, С. 645-656.
  7. Федорюк М.В. Метод перевала / М.В.Федорюк // Москва: Наука, 1977, С. 368.
  8. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости / К.С. Алыбаев // Вестник КГНУ. – Серия 3, Выпуск 6. – Бишкек, 2001. – С. 190-200.
  9. Алыбаев К.С. Метод погранслойных линий построения регулярно и сингулярных областей для линейных сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями / К.С.Алыбаев, К.Б. Тампагаров // Естественные и математические науки в современном мире: сб. статей по материалам XLVIIмеждународной научно-практической конференции. № 10 (45) Россия, Новосибирск: СиБАК, 2016. – С. 59-66.
  10. Тампагаров К.Б. Погранслойные линии для сингулярно и регулярно возмущенных дифференциальных уравнений первого порядка с аналитическими функциями / К.Б. Тампагаров // Естественные и математические науки в современном мире: сб. статей по материалам XLVII международной научно-практической конференции. №10 (45). Россия, Новосибирск: СиБАК, 2016. – С. 67-73.
  11. Olver W.J Error bounds for the Liouville – Green (or WKB) approximation /J.Olver. // ProcCambridge Phil.Soc., 57-1966. – T.57. – Р. 790-810.
  12. Heading J. The stokes phenomenon and certain nth order differential equations,I,II / Heading // Proc. CambridgePhil.Soc.,53(1957) – Р. 399-441.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Mishchenko E.F. Differentsial’nyye uravneniya s malym parametrom i relaksatsionnyye kolebaniya [Differential Equations with Small Parameter and Relaxation Oscillations] / E.F. Mishchenko, N.Kh. Rozov – M: Science, 1975, – 248 p. [in Russian]
  2. Tikhonov A.N. Sistemy differentsial’nykh uravneniy soderzhashchiye malyye parametry pri proizvodnykh [Systems of Differential Equations Containing Small Parameters for Derivatives] / A.N. Tikhonov // Math. Col. – 1952. – V.31 (73), No.3. – P. 575-586. [in Russian]
  3. Vasilyeva A.B. Asimptotika resheniy uravneniya pri v kompleksnoy ploskostiz [Asymptotic Expansions of Solutions of Singularly Perturbed Equations] / AB. Vasilyeva, V.F. Butuzov // Moscow: Nauka, 1973 – 278 p. [in Russian]
  4. Evgrafov M.A. Asimptotika resheniy uravneniya pri v kompleksnoy ploskostiz [Asymptotics of Solutions of Equation in Complex Plane] / M.A. Evgrafov, M.V. Fedoruk // Uspekhi Matematicheskikh Nauk [Successes of Mathematical Sciences], 21 – 1966. – V.21, No.1 – P. 3-50. [in Russian]
  5. Fedoryuk M.V. Asimptotika diskretnogo spektra operatora [Asymptotics of Discrete Spectrum of Operator] / M.V. Fedoryuk // Math. Sc., 68 (110), 1965, No. 1 – P. 68-97. [in Russian]
  6. Fedoryuk M.V. Topologiya liniy Stoksa uravneniy vtorogo poryadka [Topology of Stokes lines of second-order equations] / M.V. Fedoryuk // Izv. AN SSSR. – Math.Ser., 29 (1965), B. – P. 645-656. [in Russian]
  7. Fedoryuk M.V. Metod perevala [Saddle-point method] / M.V. Fedoryuk / Moscow: Science, 1977 – P. 368. [in Russian]
  8. Alibayev K.S. Metod liniy urovnya issledovaniya singulyarno vozmushchennykh uravneniy pri narushenii usloviya ustoychivosti [Method of Level Lines for Investigating Singularly Perturbed Equations under Violation of Stability Condition] / К.S. Alybaev // Vestnik KGNU [Bulletin of KSNU]. – Series 3, Issue 6. – Bishkek, 2001. – P. 190-200. [in Russian]
  9. Alibayev K.S. Metod pogransloynykh liniy postroyeniya regulyarno i singulyarnykh oblastey dlya lineynykh singulyarno vozmushchennykh uravneniy s analiticheskimi funktsiyami [Method of Boundary Layer Lines for Construction of Regular and Singular Domains for Linear Singularly Perturbed Equations with Analytic Functions] / K.S.Alibaev, K.B. Tampagarov // Yestestvennyye i matematicheskiye nauki v sovremennom mire: sb. statey po materialam XLVII mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii [Natural and mathematical sciences in the modern world: Sat. articles on the materials of the XLVII International scientific and practical conference]. № 10 (45) Russia, Novosibirsk: SIBAK, 2016. – P. 59-66 [in Russian]
  10. Tampagarov K.B. Pogransloynyye linii dlya singulyarno i regulyarno vozmushchennykh differentsial’nykh uravneniy pervogo poryadka s analiticheskimi funktsiyami [Boundary Lines for Singularly and Regularly Perturbed First-Order Differential Equations with Analytic Functions] / К.B. Tampagarov // Yestestvennyye i matematicheskiye nauki v sovremennom mire: sb. statey po materialam XLVII mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii [Natural and mathematical sciences in the modern world: Sat. articles on the materials of the XLVII International scientific and practical conference]. №10 (45). Russia, Novosibirsk: SIBAK, 2016. – P. 67-73 [in Russian]
  11. Olver W.J Error bounds for the Liouville – Green (or WKB) approximation /J.Olver. // Proc. Cambridge Phil. Soc., 57-1966. – T.57. – Р. 790-810.
  12. Heading J. The stokes phenomenon and certain nth order differential equations, I, II / Heading // Proc. Cambridge Phil. Soc., 53(1957) – Р. 399-441.

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.