Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 18+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.71.029

Скачать PDF ( ) Страницы: 8-11 Выпуск: № 5 (71) () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Жданов К. Е. ПОПРАВКИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К МЕТОДУ D-MORPH В ЗАДАЧЕ РЕАЛИЗАЦИИ ГЕЙТА CNOT / К. Е. Жданов // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 5 (71). — С. 8—11. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/popravki-vtorogo-poryadka-k-metodu-d-morph-v-zadache-realizacii-gejta-cnot/ (дата обращения: 21.08.2018. ). doi: 10.23670/IRJ.2018.71.029
Жданов К. Е. ПОПРАВКИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К МЕТОДУ D-MORPH В ЗАДАЧЕ РЕАЛИЗАЦИИ ГЕЙТА CNOT / К. Е. Жданов // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 5 (71). — С. 8—11. doi: 10.23670/IRJ.2018.71.029

Импортировать


ПОПРАВКИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К МЕТОДУ D-MORPH В ЗАДАЧЕ РЕАЛИЗАЦИИ ГЕЙТА CNOT

Жданов К.Е.

ORCID: 0000-0003-2290-6324, Аспирант,

Санкт-Петербургский государственный университет, факультет прикладной математики-процессов управления, Санкт-Петербург, Россия

ПОПРАВКИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К МЕТОДУ DMORPH В ЗАДАЧЕ РЕАЛИЗАЦИИ ГЕЙТА CNOT

Аннотация

В работе исследуется вопрос о влиянии включения поправок второго порядка по шагу времени  в формулы улучшенного метода DMORPH, полученные автором в предыдущих работах, на скорость поиска оптимального управления квантовой системой в задаче реализации желаемой унитарной эволюции. На примере расчета оптимального управления для максимально точной реализации квантового гейта контролируемого отрицания CNOT в системе, состоящей из двух частиц со спином 1/2, показывается, что в некоторых случаях поправки второго порядка действительно приводят к сокращению времени на поиск оптимального управления.

Ключевые слова: квантовые системы, оптимальное управление, квантовый гейт, квантовые вычисления.

 Zhdanov K.E.

ORCID: 0000-0003-2290-6324, Postgraduate student,

St. Petersburg State University, Faculty of Applied Mathematics and Control Processes, Saint Petersburg, Russia

SECOND-ORDER CORRECTIONS TO THED-MORPH METHOD IN THE PROBLEM OF CNOT GATE IMPLEMENTATION

Abstract

The following problem is considered in the paper: the effect on the inclusion of second order corrections on the time step  in the formulas of the improved D-MORPH method, obtained by the author in previous works, on the speed of searching for optimal control of a quantum system in the problem of realizing the desired unitary evolution. Using the example of calculating optimal control for the most accurate implementation of the quantum gate of controlled CNOT negation in a system consisting of two particles with spin 1/2, it is shown that, in some cases, second-order corrections lead to a shortening of the search time for optimal control.

Keywords: quantum systems, optimal control, quantum gate, quantum computing.

Введение

Одним из успешных методов для поиска оптимального управления квантовыми системами является метод D-MORPH, который выполняет поиск оптимума заданного критерия качества управления.

Метод D-MORPH состоит в численном решении специально построенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода Рунге–Кутты четвертого порядка с переменным шагом по некоторому фиктивному параметру s, который обозначает прогресс оптимизации функционала качества управления, что требует иногда долгого численного интегрирования. В опубликованных ранее автором работах [1] и [2] к методу D-MORPH были добавлены поправки, несущие информацию о вложенных коммутаторах гамильтониана квантовой системы, и на примере реализации квантовых гейтов было показано, что даже за счет включения поправок только первого порядка (учитывающих коммутаторы только первого порядка) время на построение оптимальных управлений методом D-MORPH достаточно сильно уменьшается.

В данной работе приводится исследование влияния включения в метод D-MORPH поправок второго порядка (учитывающих вложенные коммутаторы второго порядка) на время, необходимое для построения оптимальных управлений в задаче реализации квантового гейта CNOT в системе, состоящей из двух частиц со спином ½ в магнитном поле. Также проводится сравнение полученных результатов с результатами методов, использованных автором ранее в работах [1] и [2].

Общий вид поправок к методу DMORPH 

Метод D-MORPH в задаче реализации в N-мерной квантовой системе с M управлениями 28-05-2018 14-21-21 к моменту времени T заданного оператора эволюции 28-05-2018 14-23-42 состоит в решении системы дифференциальных уравнений

28-05-2018 14-24-16  (1)

на некотором отрезке 28-05-2018 14-29-35 , где 28-05-2018 14-29-51 — функционал качества управлений, описывающий близость эволюции квантовой системы к 28-05-2018 14-30-43 — значения кусочно-постоянных управлений на отрезке [tl-1, t1], s — параметр, описывающий прогресс метода D-MORPH, Tr[…]— операция взятия следа матрицы, 28-05-2018 14-32-17 — эрмитово-сопряженный к 28-05-2018 14-23-42 оператор, U(T,0) — оператор эволюции системы на отрезке [0, T], L— число отрезков разбиения интервала [0, T].

В работе [1] были предложены поправки различных порядков к методу D-MORPH, которые получаются после интегрирования системы по t:

28-05-2018 14-33-44   (2)

где, 28-05-2018 14-35-36  — гамильтониан квантовой системы на отрезке [tl-1, t1],  28-05-2018 14-35-54 — коммутатор матриц H и Hk. Исходный метод D-MORPH получается при приравнивании 28-05-2018 14-36-57, то есть когда используется лишь первый член ряда (2).

В работе [2] были выведены аналогичные к (2) поправки с помощью использования в  (1) формулы теории Ли для производной от экспоненты:

28-05-2018 14-38-25   (3)

Как видно из формулы (3) такие поправки отличаются от поправок (2) только наличием дополнительного множителя Δt, что однако в некоторых случаях приводит к различным затратам по времени на поиск оптимального квантового управления [1][2].

Поправки второго порядка

Метод D-MORPH с поправками второго порядка получается при использовании в формулах (2) и (3) только членов с индексами n=0,1,2:

28-05-2018 14-40-13     (4)

28-05-2018 14-40-53   (5)

Как видно из формул использование поправок второго порядка требует вычисления вложенных коммутаторов второго порядка от гамильтониана, что в общем случае является ресурсоемкой задачей, однако для конкретной задачи можно вычислить их перед проведением процесса оптимизации.

В данной работе будет произведено сравнение моделей (4) и (5) с моделями с поправками первого порядка (только члены с n=0,1)

28-05-2018 14-42-39

и с моделями без поправок (только члены с n=0)

28-05-2018 14-43-46

которые были получены в прошлых работах автора [1][2].

Численный эксперимент

Для сравнения времени требуемого на построение оптимального управления с помощью моделей (4), (5) и моделей (6)–(9), использованных в предыдущих работах [1][2], была выбрана задача реализации квантового гейта контролируемого отрицания CNOT [6, С. 21] в квантовой системе, состоящей из двух частиц со спином ½ (N=4) в магнитном поле, описываемой безразмерным гамильтонианом

28-05-2018 14-48-15

где 28-05-2018 14-51-08

28-05-2018 14-54-19

Решение систем ­(4)–(9) производилось с помощью метода MATLAB ode45 [10] с параметрами абсолютной толерантности и относительной толерантности ошибок равными 10-4 и с нулевыми начальными управлениями на четырехъядерном процессоре Intel Core i7 2.20 ГГц с 12 Гб ОЗУ. Параметры задачи принимали следующие значения: T=0.5, 1, 5, 10; L=50, 100, 200, 400; S=1012. Оптимизация прерывалась, когда достигалось значение функционала J<10-7, т. е. ошибка в реализации гейта становилась меньше 10-7, или когда достигалось 10000 шагов интегрирования или когда время на вычисления превышало 720 секунд. Результаты сравнения приведены в таблице 1, где цветом выделены минимальные значения времени среди  всех методов.

Таблица 1 – Время (в секундах) затраченное на поиск оптимального управления методами (4)–(9) для реализации гейта CNOT

28-05-2018 14-56-57

Примечание: * — Метод не сошелся за 10000 шагов интегрирования; ** — Метод не сошелся за 720 секунд.

 

Из таблицы видно, что поправки второго порядка становятся неэффективными на больших отрезках интегрирования (T=5, 10), где часто требуется чрезвычайно большое время на поиск оптимума. На таких отрезках лучше всего использовать поправки первого порядка. На меньших отрезках интегрирования (T=0.5, 1) имеется область значений шага Δt (и числа отрезков разбиения L), где поправки второго порядка показывают наилучший результат среди всех методов, а вне этой области наименьшее время достигается с помощью методов без поправок: оригинального метода D-MORPH (8) и его аналога (9). Стоит отметить, что на малых отрезках интегрирования поправки второго порядка (4), (5) дают все же меньшее время, чем поправки первого порядка (6), (7).

Выводы

В данной работе было проведено исследование вопроса о влиянии поправок второго порядка по шагу по времени Δt к методу D-MORPH на время, затраченное на поиск оптимального управления в задаче максимально точной реализации квантового гейта контролируемого отрицания CNOT в системе, состоящей из двух частиц со спином ½ в магнитном поле.

Был проведен численный эксперимент по оптимальной реализации гейта CNOT с помощью методов без поправок, методов с поправками первого порядка и методов с поправками второго порядка.

Оказалось, что при реализации гейта CNOT на большом интервале времени поправки второго порядка оказываются неэффективными, так как требуют большого времени на построение оптимального управления по сравнению с остальными методами. В этом случае наименьшее затраченное время показали методы с поправками первого порядка.

При реализации гейта CNOT на маленьком интервале времени методы с поправками второго порядка показали наименьшее время в некотором диапазоне шагов дискретизации управлений Δt, вне которого наилучший результат получался с помощью методов без поправок, то есть оригинального метода D-MORPH. Методы с поправками первого порядка по затраченному времени оказались в середине рейтинга.

Таким образом, можно сделать вывод, что в задаче реализации квантового гейта CNOT измененный метод D-MORPH с поправками второго порядка предпочтительнее использовать лишь на малых интервалах времени.

Список литературы на английском языке / References

  1. Жданов К. Е. Улучшение метода D-MORPH для поиска оптимального квантового управления / К.Е. Жданов // Международный научно-исследовательский журнал. – 2016. – № 6 (48) Часть 5. – С. 94–99.
  2. Жданов К. Е. Новый подход к ускорению метода D-MORPH для поиска оптимального квантового управления / К.Е. Жданов // Международный научно-исследовательский журнал. – 2017. – № 10 (64) Часть 3. – С. 104–106.
  3. Moore K. W. Search complexity and resource scaling for the quantum optimal control of unitary transformations /  K. W. Moore, R. Chakrabarti, G. Riviello and others // Rev. A. – 2011. – Vol. 83(1).
  4. Moore K. W. Exploring constrained quantum control landscapes / K. W. Moore, H. Rabitz // The Journal of Chemical Physics. – 2012. – Vol. 137(13).
  5. Moore Tibbetts K. Exploring the trade-off between fidelity and time optimal control of quantum unitary transformations / K. Moore Tibbetts, C. Brif, M. D. Grace and others // Phys. Rev. A. – 2012. – Vol. 86(6).
  6. Nielsen M. A. Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition / M. A. Nielsen, I. L. Chuang // New York: Cambridge University Press, 2010. – 702 p.
  7. Riviello G. Searching for quantum optimal controls in the presence of singular critical points / G. Riviello, C. Brif, R. Long and others // Rev. A. – 2014. – Vol. 90(1).
  8. Riviello G. Searching for quantum optimal controls under sever constraints / G. Riviello, K. Moore Tibbetts, C. Brif and others // Phys. Rev. A. – 2015. –Vol. 91(4).
  9. Rossmann W. Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups / W. Rossmann // New York: Oxford University Press, 2006. – 265 p.
  10. Shampine L. F. The MATLAB ODE Suite / L. F. Shampine, M. W. Reichelt // SIAM Journal on Scientific Computing. – 1997. –Vol. 18(1). – P 1–22.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Zhdanov К. Е. Uluchshenie metoda D-MORPH dlya poiska optimal’nogo kvantovogo upravleniya [an improvement of D-MORPH method for finding quantum optimal control] / K. Е. Zhdanov // Mezdunarodnyj naucno-issledovatel’skij zurnal [International research journal]. – 2016. – № 6 (48) Part 5. – P. 94–99. [in Russian]
  2. Zhdanov К. Е. Novyj podhod k uskoreniju metoda D-MORPH dlja poiska optimal’nogo kvantovogo upravlenija [A new way to accelerate the D-MORPH method to search for optimal quantum control] / K. Е. Zhdanov // Mezdunarodnyj naucno-issledovatel’skij zurnal [International research journal]. – 2017. – № 10 (64) Part 3. – P. 104–106. [in Russian]
  3. Moore K. W. Search complexity and resource scaling for the quantum optimal control of unitary transformations /  K. W. Moore, R. Chakrabarti, G. Riviello and others // Rev. A. – 2011. Vol. 83(1).
  4. Moore K. W. Exploring constrained quantum control landscapes / K. W. Moore, H. Rabitz // The Journal of Chemical Physics. – 2012. – Vol. 137(13).
  5. Moore Tibbetts K. Exploring the trade-off between fidelity and time optimal control of quantum unitary transformations / K. Moore Tibbetts, C. Brif, M. D. Grace and others // Phys. Rev. A. – 2012. – Vol. 86(6).
  6. Nielsen M. A. Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition / M. A. Nielsen, I. L. Chuang // New York: Cambridge University Press, 2010. – 702 p.
  7. Riviello G. Searching for quantum optimal controls in the presence of singular critical points / G. Riviello, C. Brif, R. Long and others // Rev. A. – 2014. – Vol. 90(1).
  8. Riviello G. Searching for quantum optimal controls under sever constraints / G. Riviello, K. Moore Tibbetts, C. Brif and others // Phys. Rev. A. – 2015. – Vol. 91(4).
  9. Rossmann W. Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups / W. Rossmann // New York: Oxford University Press, 2006. – 265 p.
  10. Shampine L. F. The MATLAB ODE Suite / L. F. Shampine, M. W. Reichelt // SIAM Journal on Scientific Computing. – 1997. – Vol. 18(1). –P 1–22.

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.