ОСОБЫЕ ТОЧКИ В ПРОЕКЦИЯХ НА ПЛОСКОСТЬ КООРДИНАТ СЕВЕРНОГО ПОЛЮСА ЗЕМЛИ

Курбасова Г.С.

Кандидат физико-математических наук,

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Крымская астрофизическая обсерватория РАН»

 ОСОБЫЕ ТОЧКИ В ПРОЕКЦИЯХ НА ПЛОСКОСТЬ КООРДИНАТ СЕВЕРНОГО ПОЛЮСА ЗЕМЛИ

Аннотация

В настоящей работе обсуждается возможность и условия появления особенностей в проекциях на плоскость суточных координат Северного полюса Земли. Особые точки на графиках изменения положений мгновенного полюса Земли рассматриваются как геометрические формы  проектирования на плоскость гладкого (квазипериодического) процесса движения мгновенного полюса по поверхности Земли при определённом соотношении между величинами внешних управляющих параметров и внутренних, определяющих вращение Земли вокруг оси. Появление особых точек – результат определённой физической перестройки в колеблющейся системе Земля и связанных с нею  энергетическими обменными процессами  геомагнитном поле и атмосфере.

Ключевые слова: геометрические формы, особенности, теория катастроф, полюс Земли, точки возврата.

Kurbasova G.S.

PhD in Physics and Mathematics,

Federal State Budgetary Institution of Science “Crimean Astrophysical Observatory of RAS”

SPECIAL POINTS IN PROJECTIONS ON THE PLANE OF THE COORDINATE OF THE NORTHERN POLE OF THE EARTH

Abstract

In this paper, we discuss the possibility and conditions for the emergence of singularities in projections onto the plane of the daily coordinates of the Earth’s North Pole. Singular points on the graphs of the positions of the instantaneous pole of the Earth are considered as geometric shapes of projection on the plane of the smooth (quasiperiodic) process of motion of the instantaneous pole on the Earth’s surface with a certain ratio between the values of the external control parameters and the internal ones that determine the rotation of the Earth around its axis. The emergence of singular points is the result of a certain physical rearrangement in the oscillating system of the Earth and the geomagnetic field and atmosphere associated with it by the energy exchange processes.

Keywords: geometric shapes, features, catastrophe theory, the Earth's pole, point of return.

С древних времён наблюдения положения, размеров, формы и движения небесных тел способствовали развитию идеи постепенных изменений, которые могут быть описаны гладкими функциями. Возмущающее действие внешних сил вызывает изменения земных параметров в допустимых пределах с помощью механизмов обратных связей, что обеспечивает устойчивое функционирование всех систем нашей планеты даже в случае значительных изменений солнечной и космической обстановки. Многообразие и недостаточная физическая информация о возмущающих вращение Земли процессах  создают условия, при которых точность современных наблюдений опережает точность аналитических моделей. Поэтому основная тенденция в изучении вращения Земли заключается в повышении точности математических моделей таким образом, чтобы их отклонения от наблюдений становились всё меньше и меньше. При этом наименее изученными до настоящего времени являются  нерегулярные изменения длительности суток и флуктуации в изменении координат мгновенного полюса Земли. Возросшая за последние десятилетия точность наблюдений, методов обработки и анализа экспериментальных данных повысили информативность временных рядов координат полюса Земли. Это приблизило решение задачи происхождения и предсказуемости особенностей, обнаруживаемых на графиках изменения координат  мгновенного полюса Земли. В предыдущих работах автора  [1-5] впервые использовалась теория особенностей Уитни для объяснения появления особых точек на графиках проекций на плоскость координат Северного полюса Земли. Настоящая работа является продолжением этих исследований. Для анализа использовались данные о среднесуточных координатах Северного полюса Земли, предоставляемые Международной Службой Вращения Земли (International Earth Rotation and Reference Systems Service - IERS) [6].

В 1955 г. американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу "Об отображениях плоскости на плоскость", заложившую основу новой математической теории - теории особенностей гладких отображений. Теория особенностей дифференцируемых отображений в настоящее время успешно применяется в современной математике для исследования функций на максимум и минимум, естествознании и технике (теории бифуркаций и катастроф) [7, C.8].

Уитни показал, что в общем случае (кроме некоторых исключений) при проектировании гладких поверхностей на плоскость встречаются особенности лишь двух видов: складка проектирования сферы на плоскость и сборка проектирования поверхности на плоскость. Эти особенности устойчивы. Все другие особенности разрушаются при малом шевелении тел или направлений проектирования. Более того, Уитни доказал, что всякая особенность гладкого отображения  поверхности на плоскость после подходящего малого шевеления рассыпаются на складки и сборки. В местах, проектирования сборок, появляются точки возврата на плоскости (особые точки) [8, C.19, 20]. На рисунке 1 приведены графики суточных координат Северного полюса Земли X365, Y365 в трёхмерном приближении гладкой поверхностью и их проекция на плоскость.

Рис. 1 – Суточные координаты полюса за 1974 год в трёхмерном приближении лежат на гладкой поверхности имеющей сборки

Полиномиальная модель этой поверхности порядка  N=5 имеет вид:

     f(x,y) = p₀₀ + p₁₀ x + p₀₁ y + p₂₀ x² + p₁₁ xy + p₀₂ y² + p₂₁ x²y + p₁₂ xy² + p₀₃ y³ + p₂₂ x²y² + p₁₃ xy³ + p₀₄ y⁴ + p₂₃ x²y³ + p₁₄ xy⁴ + p₀₅ y⁵,

 где коэффициенты p_ij  вычислены с 95% доверительными границами.

Исходя из теории Уитни, точки возврата на графиках изменения положений мгновенного полюса Земли могут рассматриваться как геометрические формы  проектирования на плоскость гладкого (квазипериодического) процесса движения мгновенного полюса по поверхности Земли при определённом соотношении  между величинами внешних управляющих параметров и внутренних, определяющих вращение Земли вокруг оси. Положения мгновенного полюса Земли на гладкой поверхности  определяют координаты , причём, локальному равновесному состоянию соответствуют те участки траектории, на которых скорость изменения координат . В этом случае переход из локального равновесного состояния к регулярному колебательному движению при определённых условиях может происходить с появлением особенностей. В настоящей работе особенности, о которых идет речь в  теории Уитни, связаны не с разрывами, а с обращением в нуль некоторых производных (локальное равновесие).

Особенности в проекции на плоскость XY  среднесуточных величин координат X,Y Северного полюса Земли появляются в виде отклонений от регулярной траектории с точкой возврата.

Рис.2 – Трёхмерное изображение смещения мгновенного полюса Земли за период 1965 01.01 – 1970 01.01. Приведена дата появления особой точки (точки возврата)

На графиках рисунков 1 и 2 наблюдаются точки возврата, которые остаются при изменении направления проекции (сборки Уитни). Эти особенности структурно устойчивы [9, C.227 – 230].

Как следствие структурной устойчивости в случае периодического вращения Земли должна наблюдаться повторяемость особенностей типа сборки с точками возврата. При этом никогда невозможно обеспечит точную повторяемость.

За последние пятьдесят лет (достаточно точные данные о координатах полюса  до 1962 года отсутствуют) наблюдаются особые точки в проекциях на плоскость XY координат полюса Земли в 1968, 1974, 2006 годах.  Повторяемость особенностей с точками возврата демонстрируют графики на рисунке 3.

Рис. 3 – Трёхмерное изображение  смещения  Северного полюса Земли на интервалах: а) 1969 – 1980гг.; б) 2003 – 2008гг. Стрелками указаны особые точки (точки возврата) и моменты их появления

Временной интервал между появлениями точек возврата на рисунке 3 составляет  ~32 года.

Точкам возврата на рисунках 1-3 предшествуют участки траектории, на которых скорость изменения координат равна 0 с точностью до погрешностей исходных данных.

Появление точек возврата – результат определённой физической перестройки внешних управляющих и внутренних параметров вращения Земли, что обнаруживается во всех оболочках связанных с Землёй энергетическими обменными процессами и, в первую очередь, в геомагнитном поле и атмосфере.

Физической характеристикой нашей планеты, отражающей сложные процессы во внутреннем и внешнем ядре, является геомагнитное поле. Особенности в изменениях координат Северного полюса Земли сопоставимы с обнаруженными скачками вековых вариаций геомагнитного поля.

Учёные предполагают, что вековые вариации геомагнитного поля, как и само поле, генерируются во внешнем ядре Земли. При этом задействованы различные механизмы в результате изменений в различных масштабах времени. Тем не менее, за последнее время отмечается одна из наиболее интересных особенностей  - скачки в изменении вековых вариаций магнитного поля. В 1978 году впервые французскими учёными [10] обнаружен скачок в наблюдениях вековых вариаций геомагнитного склонения  в 1969 году. На рисунке 3 показаны годовое изменение склонения магнитной обсерватории в Meanook, к северу от Эдмонтона [11].

Кроме того, на рисунке видны скачки открытые позже в 1978 и 1992 годах. Их связь с особыми точками на графиках координат Северного полюса Земли не очевидна. На приведенном графике выделяются участки локального равновесия перед скачками.

Рис. 4 – Годовые изменения склонений магнитной обсерватории в Meanook, к северу от Эдмонтона [11]

Вековые изменения внутреннего магнитного поля Земли обнаруживаются во временных масштабах порядка года. Скачок произошёл в 1969 году и, вероятно, в 1992 году. По мнению учёных [10] скачки обеспечивают ограничения на проводимость глубокой мантии, которая, по-видимому, довольно низкая и на движениях верхней части жидкого ядра, которые, вероятно, доминируют в западном дрейфе; скачки могут коррелировать с экстремумами в скорости вращения Земли и интерпретироваться в терминах электромагнитной связи между ядром и мантией.

В публикациях за последнее время показано, что появление скачков в данных о магнитном поле коррелирует с изменением параметров вращения Земли [12,13].

Энергетическая взаимосвязь атмосферной оболочки с вращением Земли – установленный факт. Она проявляется в периодических и экстремальных процессах.

На рисунке 4 демонстрируется график Z – компоненты углового момента атмосферы; приведена эпоха экстремального отклонения.

Рис.5 – График Z – компоненты (инвертированный барометр) углового момента атмосферы (УМА)

В Национальным центре экологического прогнозирования США (National Centers for Environmental Prediction - NCEP) получены данные о глобальном угловом моменте атмосферы (Atmospheric Angular Momentum  - ААМ) [14]. Интервалы между отсчётами равны 6 часам.

График на рисунке 5 демонстрирует частотно-временные изменения в данных о Z - компоненте  углового момента атмосферы. Непрерывный частотно – временной вейвлет-анализ (см. рис. 5) показал, что амплитуда сезонного колебания углового момента атмосферы (Z – компоненты) за период с 1948 по 2014 годы максимально возрастает в конце 1968 года.

Рис. 6 – Непрерывный частотно-временной вейвлет-анализ данных о Z- компоненте  углового момента атмосферы

ВЫВОДЫ

1. Движение полюса по поверхности Земли сопровождается появлением особенностей с точками возврата при отображении этого движения на плоскость.
2. Исходя из теории Уитни, показана возможность и условия возникновения подобных особенностей на графиках координат Северного полюса Земли.
3. Анализ характера особенностей, возникающих на графиках координат Северного полюса Земли в процессе её поступательно – вращательного движения, показал, что на рассматриваемом временном интервале особые точки появляются в результате проекции на плоскость гладкой функции изменения координат на поверхности Земли.
4. Согласно теории Уитни, рассмотренные в настоящей работе точки возврата возникли в результате особенности типа свёртки. Такие критические точки устойчивы и не исчезают при слабых, не нарушающих условия устойчивости процесса вращения Земли, возмущениях .
5. Следствием структурной устойчивости особенностей типа свёртки является их повторяемость при соответствующих параметрах периодического процесса изменения координат Северного полюса Земли. Так, временной интервал между появлением двух последних критических точек равен 32 годам.
6. Геометрическая картина появления критических точек связана с изменениями соотношений между внешними управляющими и внутренними параметрами вращения системы Земля. Эти изменения отражаются в сферах, связанных с Землёй обменными энергетическими процессами: наблюдаемые скачки в геомагнитном поле, экстремальные изменения углового момента атмосферы.

Список литературы / Refere

1. Курбасова Г.С. Особенности изменения координат полюса Земли / Г.С. Курбасова // Известия Крымской Астрофизической Обсерватории. – 2010. – Т. 106.  –  № 1. – С. 118–124.
2. Курбасова Г.С. Особенности движения Северного полюса и энергетическая активность Земли / Г.С. Курбасова // Сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции «Наука и современность». Выпуск 2. – 2012. – Киев. – С. 80 – 83.
3. Курбасова Г.С. Нетрадиционный анализ данных о координатах мгновенного полюса Земли / Г.С. Курбасова // Сборник научных трудов по материалам Международной научно - практической конференции «Научные исследования современности». Выпуск 4. – 2012. – Киев. – С.74 – 76.
4. Курбасова Г.С. Точки возврата на графиках полодий мгновенного полюса Земли / Г.С. Курбасова // Тезисы Всероссийской конференции «Пулково 2012». – 2012. – С.35.
5. Курбасова Г.С., Корсунь А.А., Рыбалова М.Н. О режиме движения полюса Земли по данным за период 1962 – 2007 / Г.С. Курбасова, А.А. Корсунь, М.Н. Рыбалова. // Известия Крымской Астрофизической Обсерватории. – 2009. – Т. 105.  – № 1. – С. 202-211.
6. International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS), Earth Orientation Parameters, EOP (IERS) 08 C04. [Electronic resource] URL: https://datdcenter.iers.org./eop/ (accessed: 25.09.2017).
7. Арнольд В.И. Теория катастроф / В.И. Арнольд. – М.: «Наука», 1990. — 128с.
8. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений / В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде – 3-е изд., стереотип. – 2009. – М.: МЦНМО.  – 672c.
9. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения / Т. Постон , И. Стюарт . – Изд-во «Мир». – М. 1980. – 607с.
10. Courtillot V. and Le Mouël J.-L. Geomagnetic secular variation impulses / V. Courtillot and J.-L. Le Mouël // Nature. – 1984. – Vol. 311.– P. 709–716. Doi:10.1038/311709a0.
11. Natural Resources Canada: Secular variation (date modified: 2017-02-24). [Электронный ресурс] / URL: http://geomag.nrcan.gc.ca/mag_fld/sec-en.php (дата обращения: 25.09.2017)
12. Vondrák J., Cyril R. Geophysical excitation of nutation – comparison of different models // acta geodyn. Geomater., vol. 11, no. 3 (175), xx1–xx8, 2014. Doi: 10.13168/agg.2014.0007.
13. Vondrak J., Ron C. Earth orientation and its excitations by atmosphere, oceans, and geomagnetic jerks // Serb. Astron. J. № 191 (2015), 59 – 66, DOI: 10.2V.
14. IERS, AAM from NCEP/NCAR Reanalyses. [Электронный ресурс] / URL:https://datacenter.iers.org./eop/– /somos/5Rgv/latestXL/188/aam.ncep.reanalysis.1948.longtame (дата обращения: 25.09.2017)

Список литературы на английском языке / References in English

1. Kurbasova G.S. Osobennosti izmenenija koordinat poljusa Zemli [Features of changing the coordinates of the Earth's pole] / G.S. Kurbasova // Izvestija Krymskoj Astrofizicheskoj Observatorii. [News of the Crimean Astrophysical Observatory].  – 2010. – V. 106.  – № 1. – P. 118 – 124. [ in Ukrainian]
2. Kurbasova G.S. Osobennosti dvizhenija Severnogo poljusa i jenergeticheskaja aktivnost' Zemli [Features of the motion of the North Pole and the energy activity of the Earth ] / G.S. Kurbasova  // Sbornik nauchnyh trudov po materialam Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii «Nauka i sovremennost'». Vypusk 2. [Collection of proceedings on the materials of the International Scientific and Practical Conference "Science and Modernity" Issue 2]. –   – P. 80 – 83. [in Ukrainian]
3. Kurbasova G.S. Netradicionnyj analiz dannyh o koordinatah mgnovennogo poljusa Zemli [Non-traditional analysis of data on the coordinates of the Earth's instantaneous pole] / G.S. Kurbasova // Sbornik nauchnyh trudov po materialam Mezhdunarodnoj nauchno – prakticheskoj konferencii «Nauchnye issledovanija sovremennosti». [ Collection of proceedings on the materials of the International Scientific and Practical Conference "Scientific Research of the Present". Issue 4]. – 2012. – P. 74 – 76. [in Ukrainian]
4. Kurbasova G.S. Tochki vozvrata na grafikah polodij mgnovennogo poljusa Zemli [Points of return on the graphs of the poles of the instantaneous pole of the Earth] / G.S. Kurbasova  // Tezisy Vserossijskoj konferencii «Pulkovo 2012». [Theses of the All-Russian Conference "Pulkovo 2012"]. –  – P.35. [in Russian]
5. Kurbasova G.S., Korsun' A.A., Rybalova M.N. O rezhime dvizhenija poljusa Zemli po dannym za period 1962 – 2007 [On the mode of motion of the Earth's pole according to data for the period 1962 – 2007] / G.S. Kurbasova, A.A. Korsun', M.N. Rybalova. // Izvestija Krymskoj Astrofizicheskoj Observatorii. [News of the Crimean Astrophysical Observatory]. – 2009. –  105.  —  № 1. — P. 202-211. [in Ukrainian]
6. International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS), Earth Orientation Parameters, EOP (IERS) 08 C04. [Electronic resource] URL: https://datdcenter.iers.org./eop/ (accessed: 25.09.2017).
7. Arnol'd V.I. Teorija katastrof [Theory of catastrophes] / V.I. Arnol'd. –1990. – M.: «Nauka» – 128p. [in Russian]
8. Arnol'd V.I., Varchenko A.N., Gusejn-Zade S.M. Osobennosti differenciruemyh otobrazhenij [Singularities of differentiable mappings] / V.I. Arnol'd, A.N. Varchenko, S.M. Gusejn - Zade. – 2nd edition. – M.: MCNMO, – 2009. – 672p. [in Russian]
9. Poston T., Stjuart I. Teorija katastrof i ejo prilozhenija [Catastrophe theory and its applications] / T. Poston , I. Stjuart. – M.: “Mir”, – 1980. – 607p. [in Russian]
10. Courtillot V. and Le Mouël J.-L. Geomagnetic secular variation impulses / V. Courtillot and J.-L. Le Mouël // Nature. – 1984. – Vol. 311.– P. 709–716. Doi:10.1038/311709a0.
11. Natural Resources Canada: Secular variation (date modified: 2017-02-24). [Electronic resource] / URL: http://geomag.nrcan.gc.ca/mag_fld/sec-en.php (accessed:: 25.09.2017)
12. Vondrák J., Cyril R. Geophysical excitation of nutation – comparison of different models // acta geodyn. Geomater., vol. 11, no. 3 (175), xx1–xx8, 2014. Doi: 10.13168/agg.2014.0007.
13. Vondrak J., Ron C. Earth orientation and its excitations by atmosphere, oceans, and geomagnetic jerks // Serb. Astron. J. № 191 (2015), 59 – 66, DOI: 10.2V.
14. IERS, AAM from NCEP/NCAR Reanalyses. [Electronic resource] / URL:https://datacenter.iers.org./eop/– /somos/5Rgv/latestXL/188/aam.ncep.reanalysis.1948.longtame (accessed:: 25.09.2017)