Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 18+

Скачать PDF ( ) Страницы: 7-14 Выпуск: № 08 (74) () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Антоновская О. Г. ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРИНУДИТЕЛЬНОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ МЕТОДОМ ПРИБЛИЖЕННЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ / О. Г. Антоновская, М. Н. Зайцева // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 08 (74). — С. 7—14. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/ob-odnom-sluchae-issledovaniya-prinuditelnoj-sinxronizacii-metodom-priblizhennyx-tochechnyx-otobrazhenij/ (дата обращения: 22.01.2019. ).
Антоновская О. Г. ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРИНУДИТЕЛЬНОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ МЕТОДОМ ПРИБЛИЖЕННЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ / О. Г. Антоновская, М. Н. Зайцева // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 08 (74). — С. 7—14.

Импортировать


ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРИНУДИТЕЛЬНОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ МЕТОДОМ ПРИБЛИЖЕННЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.74.8.001

ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРИНУДИТЕЛЬНОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ МЕТОДОМ ПРИБЛИЖЕННЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Научная статья

Антоновская О.Г.1, *, Зайцева М.Н.2

1 ORCID: 0000-0002-5688-7996,

Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, Нижний Новгород, Россия;

2 ORCID: 0000-0002-3649-0385,

Нижегородский государственный автомеханический техникум, Нижний Новгород, Россия

* Корреспондирующий автор (olga.antonovsckaja[at]yandex.ru)

Аннотация

Рассматривается вопрос о возможности исследования синхронизации квазигармонического осциллятора с нелинейностью типа кубической параболы методом приближенных точечных отображений. Вопрос о синхронизации квазигармонического осциллятора сводится к решению вопроса о существовании неподвижных точек точечного отображения, при построении которого применяется метод последовательных приближений. Предложенный метод исследования является асимптотическим методом, поэтому важным является также вопрос о применимости результатов приближенного исследования при конкретных значениях малого параметра. В настоящей статье предложено рассматривать задачу о применимости результатов приближенного исследования, оценивая степень близости приближенного точечного отображения к точному отображению.

Ключевые слова: квазигармонический осциллятор, малый параметр, асимптотические методы исследования, метод точечных отображений.

ON INVESTIGATION OF FORCED SYNCHRONIZATION BY THE METHOD OF APPROXIMATED POINT MAPPINGS

Research article

Antonovskaya O.G.1, *, Zaytseva M.N.2

1 ORCID: 0000-0002-5688-7996,

Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering, Nizhny Novgorod, Russia;

2 ORCID: 0000-0002-3649-0385,

Nizhny Novgorod State Automotive Technical College, Nizhny Novgorod, Russia

* Corresponding author (olga.antonovsckaja[at]yandex.ru)

Abstract

The article considers the possibility of investigating the synchronization of a quasiharmonic oscillator with nonlinearity of the type of a cubic parabola by the method of approximate point mappings. The synchronization of a quasiharmonic oscillator comes to solving the problem of the existence of fixed points on a point map, while the method of successive approximations is applied for their construction. The proposed method of investigation is an asymptotic method; therefore, the applicability of the results of an approximate investigation at specific values of the small parameter is also important. In this paper, we propose to consider the problem of applicability of the results of an approximate investigation, estimating the degree of closeness of the approximate point mapping to the exact mapping.

Keywords: quasiharmonic oscillator, small parameter, asymptotic methods of investigation, method of point mappings.

С точки зрения современной науки изучение нелинейной колебательной системы означает разбиение ее фазового пространства на траектории всех возможных типов, а в пространстве параметров выделение областей, соответствующих существованию движений того или иного типа. При этом в общем случае динамическая система может обладать весьма сложными и разнообразными типами движений, а структура ее фазового пространства и зависимость этой структуры от параметров могут быть очень сложными и трудно исследуемыми.

Совершенно естественно, что наиболее доступными для исследования  являются колебательные системы с малой нелинейностью, поскольку к ним в той или иной форме можно применять методы теории возмущений. Поэтому для слабо нелинейных систем имеется ряд достаточно общих асимптотических методов, применимых ко многим типичным классам  колебательных систем. Основными из них являются метод малого   параметра и метод усреднения, а также методы Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова, представляющие собой развитие метода усреднения и получение оценок более высокого порядка [1].

Следует отметить, что до сих пор особый интерес представляет изучение систем, близких к гармоническому осциллятору (квазигармонический осциллятор) [1, С. 19–21], [2, С. 650–663]. Одним из важных достоинств такой системы является возможность использовать хорошо известные математические свойства процессов колебаний гармонического осциллятора с медленно меняющейся частотой в различного вида задачах: от задач обработки сигналов [3] до исследования неравновесных экономических систем [4].

В настоящей работе приведен пример исследования квазигармонического осциллятора (с нелинейностью вида кубической параболы) методом приближенных точечных отображений [5], [6]: вопрос о его синхронизации сводится к решению вопроса о существовании неподвижных точек точечного отображения, при построении которого применяется метод последовательных приближений. Обсуждается вопрос о локальной применимости результатов приближенного исследования.

Известно [5], [6, С. 5–6], что при исследовании динамики синхронизуемого осциллятора

20-08-2018 11-51-10,                                                                                        (1)

в котором 0 < μ << 1 , а 2 – период внешней силы, методом точечных отображений [7], исследование поведения траекторий (1) может быть сведено к изучению точечного отображения T секущей поверхности 20-08-2018 11-52-10 фазового пространства 20-08-2018 11-52-28 в себя [5] (или секущей поверхности t = 0 в секущую поверхность 20-08-2018 11-52-59), порожденного траекториями системы. При этом с точностью до величин порядка μ2  точечное отображение T может быть приближено точечным отображением 20-08-2018 11-53-32 с функциями  последования

20-08-2018 11-53-59                            (2)

20-08-2018 11-54-28                                     (3)

где

20-08-2018 11-55-18,                                         (4)

  20-08-2018 11-55-44.                                    (5)

Поскольку формулы (2)(5) явные, изучение условий существования синхронного режима с периодом внешней силы может быть проведено с помощью изучения условий существования и устойчивости простой неподвижной точки 20-08-2018 11-56-31 приближенного точечного отображения 20-08-2018 11-53-32.

Рассмотрим уравнение синхронизуемого осциллятора с нелинейностью вида кубической параболы

 20-08-2018 11-57-19                                                         (6)

где 0<μ<<1, A>0, или, если ввести y = x, систему двух уравнений первого порядка

  20-08-2018 11-57-39                                     (7)

Задача состоит в установлении условий существования у (7) периодического решения с периодом 2π.

В этом случае точечное отображение 20-08-2018 11-53-32, приближающее отображение T секущей поверхности t = 0 фазового пространства x, y = x, t в секущую поверхность 20-08-2018 11-58-37, порождаемое траекториями системы (7), с точностью до членов порядка  имеет вид

20-08-2018 11-58-58                                                                  (8)

20-08-2018 11-59-19                                                      (9)

Условия существования неподвижной точки точечного отображения (8)(9) дают соотношения

20-08-2018 12-00-02                                                          (10)

где 20-08-2018 12-00-19 находится из уравнения

20-08-2018 12-01-29                                                                                            (11)

То есть факт существования (10) неподвижных точек 20-08-2018 11-53-32 определяется фактом существования корней 20-08-2018 12-02-41 у (11).

Детальный анализ уравнения (11) позволяет получить картину резонансных кривых при различных значениях 20-08-2018 12-11-15 (рис. 12). В самом деле, при 20-08-2018 12-11-32 уравнение (11) имеет единственный корень 20-08-2018 12-11-56, причем при  20-08-2018 12-12-44. Т.е. при 20-08-2018 12-13-08 резонансная кривая является разомкнутой для любого A (рис. 1). В случае 20-08-2018 12-13-39 для значений 20-08-2018 12-14-01 при 20-08-2018 12-14-25 существует три корня уравнения (11) 20-08-2018 12-14-58, два из которых сливаются между собой при 20-08-2018 12-15-34 и исчезают через значение 20-08-2018 12-16-03. При20-08-2018 12-16-49 для малых ξ существует единственный корень 20-08-2018 12-18-02 уравнения (11), с ростом ξ  корней становится три, а затем вновь один. При 20-08-2018 12-19-16 существует единственный корень 20-08-2018 12-19-31 уравнения (11). Кроме того, следует отметить, что резонансная кривая имеет горизонтальную касательную при 20-08-2018 12-20-05, а вертикальную в точках кривой

20-08-2018 12-20-38

Рис. 1 – Вид резонансных кривых при 20-08-2018 12-48-54

20-08-2018 12-21-06

Рис. 2 – Вид резонансных кривых при 20-08-2018 12-49-14

20-08-2018 12-22-33,                                                                           (12)

которая существует только при 20-08-2018 12-22-47 и представляет собой эллипс с центром в точке 20-08-2018 12-23-27, и с главными диаметрами  20-08-2018 12-23-59соответственно. Т.е. при 20-08-2018 12-22-47 резонансная кривая имеет две ветви замкнутую и разомкнутую при 20-08-2018 12-24-56. При 20-08-2018 12-25-16 замкнутая и разомкнутая ветви сливаются, образуя единственную разомкнутую ветвь при 20-08-2018 12-25-48(рис. 2).

Устойчивость неподвижных точек точечного отображения 20-08-2018 11-53-32 в случае их существования определяется корнями характеристического полинома

20-08-2018 12-26-45.                                                     (13)

Корни полинома P(z) (13) будут действительными при 20-08-2018 12-27-35 и комплексно-сопряженными при 20-08-2018 12-28-01, т.е. граница 20-08-2018 12-28-25, соответствующая уходу пары корней характеристического полинома с действительной оси в этом случае будет иметь вид двух полупрямых

20-08-2018 12-28-53                                                                                    (14)

Уравнения границ 20-08-2018 12-30-04 области устойчивости на плоскости ξ,  имеют следующий вид.

Для  20-08-2018 12-31-34    получаем уравнение (14).

Уравнение   20-08-2018 12-31-50   есть

20-08-2018 12-32-36                                           (15)

Т.е. граница существует при 20-08-2018 12-34-26 только для значений  20-08-2018 12-35-41и представляет собой эллипс с центром в точке  20-08-2018 12-36-53  и главными диаметрами  20-08-2018 12-37-40, целиком лежащий в области 20-08-2018 12-37-59.

Уравнение границы  20-08-2018 12-38-31  в предположении, что 20-08-2018 12-38-50, есть

 20-08-2018 12-39-25  ,                         (16)

т.е. 20-08-2018 12-40-01 в случае ее существования представляет собой куски эллипса с центром в точке 20-08-2018 12-40-35   и главными диаметрами  по ξ и  по ρ, принадлежащие области 20-08-2018 12-41-37. Заметим, что при  20-08-2018 12-42-38  всегда имеет точку пересечения с осью 20-08-2018 12-42-57, которой соответствует 20-08-2018 12-44-49.

20-08-2018 12-45-18

Рис. 3 – Картина D-разбиения при 20-08-2018 12-46-18

20-08-2018 12-47-13

Рис. 4 – Картина D-разбиения при 20-08-2018 12-47-30

Анализ существования и взаимного расположения границ 20-08-2018 12-50-08 (14)(16) позволил получить картину D-разбиения при различных значениях η и малых μ (рис. 36). Границы D-разбиения приведены с соответствующей штриховкой в сторону выхода корней характеристического уравнения из единичного круга. Однократная штриховка соответствует бифуркации корней на действительной оси, двойная бифуркации комплексно-сопряженных корней. Область D=0 есть область устойчивости.

Следует отметить, что можно построить границы 20-08-2018 12-50-08 и при не малых значениях μ, рассматривая изучение свойств точечного отображения 20-08-2018 11-53-32 как самостоятельную задачу [5].

20-08-2018 12-52-15

Рис. 5 – Картина D-разбиения при 20-08-2018 12-53-04

20-08-2018 12-53-22

Рис. 6 – Картина D-разбиения при 20-08-2018 12-53-49

В случае 20-08-2018 12-55-41  при 20-08-2018 12-56-48 уходят в бесконечность, а при  сжимаются в точку 20-08-2018 12-57-16. При 20-08-2018 12-57-34 всегда существует такое значение 20-08-2018 12-57-59, что для 20-08-2018 12-58-23  неподвижная точка 20-08-2018 11-53-32 перестает быть устойчивой при малых ξ. Значение 20-08-2018 12-57-59 находится из условия касания резонансной кривой границы 20-08-2018 12-59-50 в точке 20-08-2018 13-00-14,  и равно

    20-08-2018 13-00-37                                                          (17)

При 20-08-2018 12-22-47 границами области устойчивости при 20-08-2018 14-09-16 являются 20-08-2018 14-09-35, причем при 20-08-2018 14-11-59 кривая 20-08-2018 14-13-09 стремится к прямой 20-08-2018 14-13-28, а при 20-08-2018 14-13-52 принимает вид эллипса, проходящего через точку 20-08-2018 14-15-10 и точки касания границы 20-08-2018 14-16-08 полупрямых 20-08-2018 14-16-23. То есть при  устойчивая неподвижная точка 20-08-2018 11-53-32 всегда существует при малых ξ для 20-08-2018 14-18-11.

Факт существования неподвижных точек точечного отображения 20-08-2018 11-53-32 с некоторым характером устойчивости при A=const и различных ξ может быть установлен наложением картины поведения границ областей существования различных типов неподвижных точек на плоскости 20-08-2018 14-20-44  при заданном μ на плоскость с резонансной кривой при заданном A.

Таким образом, во-первых, область устойчивости является ограниченной при любом конечном, хотя и малом μ, все более расширяясь при 20-08-2018 14-22-06. Во-вторых, при переходе на плоскости 20-08-2018 14-20-44  через границу  N имеет место серия бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу (рис.7), т.е. при 20-08-2018 12-11-32 существует множество примыкающих друг к другу и все более сжимающихся областей, соответствующих режимам кратности 2, 4, 8, 16 и т.д., переходящих с ростом ρ в область хаоса, таких, что попадание резонансной кривой в соответствующую область означает существование периодического режима определенной кратности. Границы 20-08-2018 14-24-16 этих областей сходятся в общие точки, являющиеся точками стыковки границ   20-08-2018 14-24-34.

Необходимо также отметить, что устойчивый режим, в случае его существования, имеет в фазовом пространстве отображения 20-08-2018 11-53-32 ограниченную область притяжения, расширяющуюся при 20-08-2018 14-22-06. При дальнейшем движении по резонансным кривым при ξ=const в сторону увеличения ρ, после перехода через границу 20-08-2018 14-26-09, которая, по-видимому, является границей вырождения математической модели, ограниченного притягивающего множества в фазовом пространстве не обнаружено. Устойчивость бесконечности в этом случае может быть доказана следующим образом.

20-08-2018 14-26-35

Рис. 7 – Границы областей, соответствующих  кратным режимам

Рассмотрим простейшую функцию Ляпунова

20-08-2018 14-27-20.                                                                (18)

Ее первая разность в силу формул (8)(9) будет удовлетворять условию

  20-08-2018 14-27-46                           (19)

где

20-08-2018 14-28-13               (20)

При любом конечном, хотя и малом, значении μ определяющим членом  20-08-2018 14-29-06 является  20-08-2018 14-29-29(19), поскольку все прочие члены имеют меньший порядок. Таким образом, 20-08-2018 14-29-50 становится положительной при 20-08-2018 14-30-26. В самом деле, согласно (20), 20-08-2018 14-30-49  где

20-08-2018 14-31-14. (21)

а значит бесконечность всегда устойчива.

Область хаоса не является сплошной. В ней имеются “окна” [8 С. 272275], в которых существуют режимы различной кратности. Об этом свидетельствуют данные, приведенные на рис. 8, где указаны граничные значения A, соответствующие областям кратных режимов (“окнам”). Последовательность найденных кратностей очень напоминает порядок смены кратностей неподвижных точек для одномерного отображения, установленный А.Н.Шарковским [9]. Причем переход к хаосу из этих окон может сопровождаться, а может не сопровождаться удвоением периода.

20-08-2018 14-31-44

Рис. 8 Пример структуры области хаоса

Заметим, что задача нахождения условий существования у квазигармонического осциллятора периодического решения с периодом 2π решается как задача нахождения условий существования неподвижных точек с определенным характером устойчивости у приближенно построенного точечного отображения 20-08-2018 11-53-32, и выводы относительно существования и характера устойчивости неподвижных точек в приведенных выше исследованиях (а значит и соответствующих им периодических решений исходной системы) были сделаны на основе изучения свойств аппроксимирующего точечного отображения. При этом естественно встает вопрос об адекватности поведения траекторий точного и приближенного точечных отображений, т.е. о применимости полученных результатов [6, С. 8188]. И, подобно [10], для решения этого вопроса можно воспользоваться результатами работы [5], [6, С. 123135], и рассматривать задачу о применимости результатов приближенного исследования, оценивая степень близости приближенного точечного отображения к точному отображению.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

 

Список литературы / References

  1. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. – М.: Наука, 1974. – 504 с.
  2. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. – М.: Физматгиз, 1959. – 916 с.
  3. Журавлев В. М. Построение огибающей и локальной частоты стохастического процесса на основе модели осциллятора с флуктуирующей частотой / В. М. Журавлев, П. П. Миронов, С. В. Летуновский // Изв. вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. –№3(27). – С. 159–169.
  4. Ивинская Е. Ю. Теоретические аспекты исследования неравновесных экономических систем на основе модели гармонического осциллятора / Е. Ю. Ивинская // Теория и практика общественного развития. Экономические науки. – 2015. – № 21. – С. 57–59.
  5. Антоновская О. Г. О влиянии насыщения нелинейности на результаты исследования принудительной синхронизации методом приближенных точечных отображений / О. Г. Антоновская // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Нижний Новгород. – 1999. – № 2(21). – С. 198–208.
  6. Антоновская О. Г. Метод точечных отображений в задачах нелинейной дингамики / О. Г. Антоновская, В.И. Горюнов. – Гамбург: LAP Lambert Academic Publishing, 2013. – 140 с.
  7. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю. И. Неймарк. – М.: Наука, 1972. – 472 с.
  8. Неймарк Ю. И. Стохастические и хаотические колебания / Ю. И. Неймарк, П. С. Ланда. – М.: Наука, 1987. – 424 с.
  9. Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя / А. Н. Шарковский // Укр. мат. журн. – 1964. – Т.26. – № 1. – С. 61–71.
  10. Антоновская О. Г. О приближенном исследовании близкого к тождественному точечного отображения плоскости в плоскость / О. Г. Антоновская // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Нижний Новгород. – 2004. – № 1(27). – С. 63–69.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Bogolyubov N. N. Asimptotichesiye metody v teorii nelineynyh kolebaniy [Asymptotic methods in nonlinear vibrations theory] / N. N. Bogolyubov, A. Yu. Mitropolskiy – M.: Nauka, 1974. – 504 p. [in Russian]
  2. Andronov A. A. Teoriya kolebaniy [Vibrations theory] / A. A. Andronov, A. A. Vitt, S. Yu. Haykin. – M.: Fizmatgiz, 1959. – 916 p. [in Russian]
  3. Zhuravlev V. M. Postroeniye ogibayushey b lokalnoy chastity stohasticheskogo protsessa na osnove modeli ossillyatora c fluktuiruyushey chastoty [The construction of envelope and local frequency of stochastic processon the base of oscillator with fluctuating frequency] / V. M. Zhuravlev, P. P. Mironov, S. V. Letunovskiy // Izv. Vuzov. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. [Higher educational proceedings of Povolzhsky region. Physical and mathematical sciences] – 2013. – № 3(27) – P. 159–169. [in Russian]
  4. Ivinskaya E. Yu. Teoreticheskiye aspekty issledovaniya neravnovesnykh ekonomicheskikh system na osnove modeli garmonicheskogo oscillyatora [Teortical aspects of studying non-equlibrium economic systems based on the model of harmonic oscillator] / E. Yu. Ivinskaya // Teoriya I praktika obshestvennogo razvitiya. Ekonomicheskiye nauki [Theory and practice of public development. Economic sciences] – 2015. – № 21 – P. 57–59. [in Russian]
  5. Antonovskaya O. G. O vliyanii nasysheniya nelineynosti na resultaty issledovaniya prinuditelnoy sinkhronizatsii metodom priblizhennykh tochechnykh otobrazheniy [On the influence of nonlinearity saturation on the results of the forced synchronization received by means of approximate point mappings method] / O. G. Antonovskaya // Matematicheskoye modelirovaniye I optimalnoye upravleniye. Vestnik NNGU [Mathematical modeling and optimal control. NNGU bulletin] Nizhny Novgorod. – 1999. – № 2(21). – P. 198–208. [in Russian]
  6. Antonovskaya O. G. Metod tichechnykh otobrazheniy v zadachakh nelineynoy dinamiki [Point mappings method in non-linear dynamics problems] / O. G. Antonovskaya, V. I. Goryunov. – GmbH: LAP Lambert Academic Publishing, 2013. – 140 p. [in Russian]
  7. Neymark Yu. I. Metod tichechnykh otobrazheniy v teriyi nelineynykh kolebaniy [Point mappings method in non-linear vibrations theory] / Yu. I. Neymark. – M.: Nauka, 1972. – 472 p. [in Russian]
  8. Neymark Yu. I. Stokhasticheskie I khaoticeskie kolebaniya [Stochastic and chaotic vibrations] / Yu. I. Neymark, P. S. Landa. – M.: Nauka, 1987. – 424 p. [in Russian]
  9. Sharkovsky A. N. Sosushestvovaniye ctsiklov nepreryvnogo preobrazovaniya pryamoy v sebya [Cycles co-existence of continuous transformation of straight line to itself] / A. N. Sharkovsky // Ukr. Mat.zhurn. [Ukrainian mathematical magazine] – 1964. – V.26. – № 1. – P. 61–71. [in Russian]
  10. Antonovskaya O. G. O priblizhennom issledovanii blizkogo k tozhdestvennomu tochechnogo otobrazheniya ploskosti v ploskost [On the approximate study of close to identical point mapping plain to plain] / O. G. Antonovskaya // Matematicheskoye modelirovaniye I optimalnoye upravleniye. Vestnik NNGU [Mathematical modeling and optimal control. NNGU bulletin], Nizhny Novgorod. – 2004. – № 1(27). – P. 63–69. [in Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.