Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 18+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.75.9.003

Скачать PDF ( ) Страницы: 17-24 Выпуск: № 9 (75) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Джээнбаева Г. А. О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ПАРАМЕТРОМ / Г. А. Джээнбаева // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 9 (75) Часть 1. — С. 17—24. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/o-razreshimosti-zadachi-koshi-dlya-sistem-nelinejnyx-integro-differencialnyx-uravnenij-v-chastnyx-proizvodnyx-s-parametrom/ (дата обращения: 11.12.2018. ). doi: 10.23670/IRJ.2018.75.9.003
Джээнбаева Г. А. О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ПАРАМЕТРОМ / Г. А. Джээнбаева // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 9 (75) Часть 1. — С. 17—24. doi: 10.23670/IRJ.2018.75.9.003

Импортировать


О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ПАРАМЕТРОМ

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ПАРАМЕТРОМ

Научная статья

Джээнбаева Г.А.*

Институт Математики Национальной академии наук Кыргызской Республики, Бишкек, Кыргызстан

* Корреспондирующий автор (baytemirova2007[at]mail.ru)

Аннотация

Исследовать проблему разрешимости задач Коши для нелинейных  интегро-дифференциальных  уравнений в частных производных можно провести методом преобразования решений. Сутью такого подхода является преобразование исходной задачи Коши в эквивалентное ей интегральное уравнение Вольтерра второго рода, к которой можно применить топологический метод – принцип сжатых отображений. Из условий сжатости оператора и определяются достаточные условия на заданные функции, при которых исходная проблема разрешима.

В данной работе исследована проблема разрешимость задачи Коши для систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с параметром и найдено интегральное представление полученных решений. Далее, для нового класса систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка найдены достаточные условия существования решений задачи Коши и кроме того, построено интегральное представление таких решений. В силу нелинейности начальных задач, найденные достаточные условия, вообще говоря, не гарантирует единственность полученных решений.

Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения в частных производных с параметром, достаточное условие разрешимости задачи Коши для систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, отображение в себя, принцип сжатых отображений, нелинейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода, пространство функций непрерывных со своими производными, интегральное представление решений задачи Коши.

ON SOLVABILITY OF CAUCHY PROBLEM FOR SYSTEMS OF NON-LINEAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS IN PARTIAL DERIVATIVES WITH PARAMETERS

Research article

Dzhaenbaeva G.A.*

Institute of Theoretical and Applied Mathematics of the National Academy of Sciences of the Kyrgyz Republic

Bishkek, Kyrgyzstan

* Corresponding author (baytemirova2007[at]mail.ru)

Abstract

It is possible to carry out the method of transforming solutions to study the problem of solvability of the Cauchy problem for non-linear integro-differential partial differential equations. The essence of this approach is the transformation of the initial Cauchy problem into an equivalent Volterra integral equation of the second kind, to which one can apply the topological method – the principle of condensed mappings. Sufficient conditions are defined for given functions for which the original problem is solvable from the conditions of contraction of the operator u.

In this paper we study the solvability of the Cauchy problem for systems of non-linear integro-differential partial differential equations of the first order with a parameter and an integral representation of the solutions obtained. Further, for a new class of systems of non-linear integro-differential partial differential equations of the third order, sufficient conditions for the existence of solutions of the Cauchy problem are found, and, in addition, an integral representation of such solutions is constructed. In view of the non-linearity of the initial problems, sufficient conditions do not guarantee the uniqueness of the solutions obtained.

Keywords: integro-differential partial differential equations with a parameter, sufficient condition for solvability of the Cauchy problem for systems of non-linear integro-differential partial differential equations, self-mapping, principle of condensed mappings, Volterra non-linear integral equation of the second kind, space of continuous functions with its derivatives, integral representation solutions of the Cauchy problem.

В связи с требованиями практики о повышении точности анализа исследуемых явлений,  приходиться отказаться от математических моделей, которые  описываются линейными уравнениями. Большинство задач теории динамических систем практического характера, в частности задачи дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, по своей сущности являются нелинейными. Некоторые проблемы нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка, например, исследование вопроса разрешимости задачи Коши и разработка конструктивных методов построения существующих решений мало изучены. В литературе имеется несколько разных методов для исследования разрешимости нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Например, хорошо известны: классический метод характеристик, метод Галеркина, метод дополнительного аргумента. Следует отметить, что помощью метода дополнительного аргумента также удается исследовать разрешимость и уравнения выше первого порядка[3].

Исследовать разрешимость задачи Коши для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных можно провести методом преобразования решений [4], [5], [6]. Сутью такого подхода является преобразование исходной задачи Коши в эквивалентное ей интегральное уравнение, к которой можно применить топологический метод – принцип сжатых отображений. Мы в данной работе при исследовании проблему установления разрешимости начальной задачи для нелинейных систем интегро-дифференциальных уравнений в частных производных будем следовать методу предложенной в [6].

Приведем математические обозначения, используемые в данной работе: R – числовая ось, 10-10-2018 11-18-32; Е– единичная матрица; 10-10-2018 11-19-32 – пространство функций f, непрерывных вместе со своими производными порядка p по первой переменной, q по второй переменной; где Ω и Λ – области в евклидовых пространствах и 10-10-2018 11-24-48 соответственно; 10-10-2018 11-19-32 – пространство функций f, ограниченных и непрерывных вместе с производными до соответствующего порядка; 10-10-2018 11-26-40 – класс функций, удовлетворяющих условию Липшица по переменной u с коэффициентом L;

Нормой в пространстве 10-10-2018 11-19-32 будем понимать отображение, которое определяется в виде 10-10-2018 11-27-56

Ι. Рассмотрим задачу Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с параметром

10-10-2018 11-28-37   (1)

где 10-10-2018 11-30-40с начальным условием

10-10-2018 11-31-57   (2)

Предположение А. Пусть

10-10-2018 11-32-46

Ясно, что из предположения А имеем .

Решение задачи Коши (1)-(2) ищем в виде

10-10-2018 11-35-41   (3)

где 10-10-2018 11-36-55 – неизвестная вектор-функция, подлежащая определению; 10-10-2018 11-37-05 и их значения будут определяться позже.

Последовательно дифференцируя по t и x, y соотношение (3), имеем

10-10-2018 11-45-57

Тогда 10-10-2018 11-54-30

Умножая обе части последнего уравнения на ε, имеем

10-10-2018 11-55-46   (4)

Учитывая (3) вычислим соотношение

10-10-2018 12-00-31   (5)

С учетом соотношений (4) и (5), получим следующие равенства

10-10-2018 12-01-38

Отсюда, учитывая (3), находим неизвестную вектор-функцию

10-10-2018 12-07-38    (6)

где [*] обозначает правую часть соотношения (3). Уравнение (6) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, относительно неизвестной вектор-функции 10-10-2018 11-36-55. Правую часть обозначим как оператор PQ.

К нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода (6) будем применять принцип сжатых отображений.

Рассмотрим шар 10-10-2018 12-22-26.

Отметим, что  величины 10-10-2018 12-25-33 и h будут определены ниже.

Пусть 10-10-2018 12-28-31

Из (6) в силу предположения А  имеем 10-10-2018 15-22-59

Выберем 10-10-2018 11-37-05 так, чтобы

10-10-2018 15-35-03    (7)

Тогда, ясно, что 10-10-2018 11-37-05 Будем считать 10-10-2018 12-24-42  и h такими, что 10-10-2018 15-56-04

Тогда оператор отображает шар Q в себя, т.е. 10-10-2018 15-57-00.

Покажем теперь, что оператор P  и является оператором сжатия. Из (6),  используя предположения А, получаем

10-10-2018 15-58-37 (8)

Тогда из (8), (7) следует что РQ есть оператор сжатия на шаре Q. По принципу сжатых отображений уравнение (6) имеет единственное решение 10-10-2018 16-00-05. Подставив найденную вектор-функцию в (3), получим искомое решение задачи Коши (1), (2).

Очевидно, что условие (2) выполнится, если положить в (3) значение t=1.

Изучим теперь дифференциальные свойства решений начальной задачи (1)-(2). Для всех D из равенства (3) следует неравенство

10-10-2018 16-06-11

Аналогично, из соотношений (3П) можно доказать, что все производные входящие в уравнение (1), в D равномерно ограничены.

Сформулируем полученные нами результаты.

Теорема 1. Предположим, что выполнены условия (А). Тогда 10-10-2018 16-08-03, такое, что начальная задача (1), (2) имеет решение 10-10-2018 16-08-44, причем, эти  решения имеют интегральное представление в виде (3).

Замечание 1. В силу нелинейности начальной задачи (1), (2), выполнение условия (А), вообще говоря, не гарантирует единственность полученных решений.

II. Рассмотрим задачу Коши для системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка

10-10-2018 16-12-28   (9)

с начальным условием (2), а функции 10-10-2018 16-13-52 такие же, как в пункте I. Решение задачи Коши (9), (2) будем искать в виде

10-10-2018 16-14-44    (10)

где 10-10-2018 11-36-55 – неизвестная функция, подлежащая определению; 10-10-2018 16-16-42 – некоторые положительные постоянные, которые будут определяться позже.

Из (10) находим частные производные первого и второго порядка функции 10-10-2018 16-18-03, т.е.

10-10-2018 16-22-21

10-10-2018 16-38-38

Тогда из (9), учитывая (11)–(13) имеем

10-10-2018 16-39-50   (14)

где  обозначает правую часть соотношения (10).

Из (14) имеем

10-10-2018 16-42-36   (15)

К нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода (15) применим принцип сжатых отображений.

Условия (С). Предположим, что 10-10-2018 16-43-41

10-10-2018 16-45-03

Ясно, что 10-10-2018 16-46-15.

Рассмотрим шар

10-10-2018 16-47-01

причем величина h будет, определяется ниже.

Из (15) имеем

10-10-2018 16-48-18

Выберем 10-10-2018 16-49-36 и h так, чтобы

10-10-2018 16-51-02    (16)

10-10-2018 16-52-13   (17)

В силу выбора (17), оператор PQ  переводит шар  в себя.

Покажем теперь, что оператор PQ  и является оператором сжатия.

Покажем теперь, что оператор P  и является оператором сжатия. Из соотношения (15)  получаем

10-10-2018 16-53-48

Заметим, что

10-10-2018 16-55-10

Аналогично

10-10-2018 16-56-16

Из (15),  используя условия (C) получаем

10-10-2018 16-57-15   (18)

Тогда из (16), (18) следует что РQ есть оператор сжатия на шаре . По принципу сжатых отображений уравнение (15) имеет единственное решение в шаре . Подставив найденную функцию  в (10) находим искомое решение начальной задачи (9), (2).

Теорема 2. Пусть выполнены условия (C). Тогда , такое, что начальная задача (9), (2) имеет решение , причем, эти  решения имеют интегральное представление в виде (10).

Замечание 2. В силу нелинейности начальной задачи (9), (2), выполнение условия (С), вообще говоря, не гарантирует единственность полученных решений.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Байзаков А.Б. Разрешимость и структура решений начальной задачи интегро-дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка / Байзаков А.Б., Джээнбаева Г.А. // Наука, новые технологии и инновации. – Бишкек, 2017. – №5. – С.100-104.
  2. Bayzakov A.B. On the initial problem of integro- differential equation in partial derivatives of the third order  / Bayzakov A.B., Aitbaev K.A., Asankulova A.S. // Abstracts of VI Congress of the Turkic World Mathematical Society. – Astana, 2017. – P. 44.
  3. Иманалиев Т.М. Обоснование и развитие метода дополнительного аргумента для решения дифференциальных уравнений в частных производных: Дисс. докт. физ.-мат.наук: 01.01.02 / Иманалиев Т.М. // – Бишкек, 2000. 128 с.
  4. Иманалиев М.И. Сингулярно-возмущенное дифференциальное уравнение второго порядка с точкой поворота / Иманалиев М.И., Какишов К.К., Какишов Ж.К. // Тез. докл. межд. науч. конф.: «Актуальные проблемы дифференц. уравнений и мат. физики». – Алматы, 2005. – С. 94.
  5. Иманалиев М.И. О задачах Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными шестого порядка / Иманалиев М.И., Иманалиев Т.М., Какишов К. // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. –Бишкек: Илим, 2007. вып. 36. – С. 19-28.
  6. Байзаков А.Б. Методы преобразования решений в аналитической и асимптотической теории дифференциальных и интегральных уравнений [Текст]: автореф. дис. … д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Байзаков А.Б. // – Бишкек, 2011. – 31 с.
  7. Байзаков А.Б. Разрешимость и структура начальной задачи сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с точкой поворота / Байзаков А.Б, Кыдыралиев Т.Р. // Ижевск, 2016. № 5(53). – С. 22-27
  8. Кыдыралиев Т.Р. О задаче Коши нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с комплексными параметрами / Кыдыралиев Т. // – Ижевск, 2016. № 3(55). – С. 16-20
  9. Айтбаев К.А. Разрешимость и структура решений дифференциальных и интегральных: автореф. дис. … канд.ф.-м.н.:01.01.02 / Айтбаев К.А. – Бишкек, 2016. – 18с.
  10. Байзаков А.Б. О разрешимости начальной задачи сингулярно-возмущенной интегро-дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка / Байзаков А.Б., Джээнбаева Г.А. Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии: инновации в науке и образовании» (Актюбинский региональный государственный университет им. К.Жубанова).- г.Актюбинск, 2015. – С. 130-132.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Bayzakov A.B. Razreshimost i struktura reshenii nachalnoi zadachi integro-differentsialnykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh chetvertogo poriadka [Solvability and Structure of Solutions of Initial Problem of Integro-differential Partial Differential Equations of the Fourth Order] / Bayzakov A.B., Dzhaenbaeva G.A. // Nauka, novyye tekhnologii i innovatsii [Science, New Technologies and Innovations]. – Bishkek, 2017. – No.5. – P.100-104. [in Russian]
  2. Bayzakov A.B. On the initial problem of integro- differential equation in partial derivatives of the third order / Bayzakov A.B., Aitbaev K.A., Asankulova A.S. // Tezisy VI s”yezda Tyurkskogo mirovogo matematicheskogo obshchestva [Abstracts of VI Congress of the Turkic World Mathematical Society]. – Astana, 2017. – P. 44. [in Russian]
  3. Imanaliev T.M. Obosnovanie i razvitie metoda dopolnitelnogo argumenta dlia resheniya differentsialnykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh: Diss…. dokt. fiz.-mat.nauk: 01.01.02 [Substantiation and Development of the Method of an Additional Argument for Solving Partial Differential Equations: Thesis of PhD in Physics and Mathematics: 01.01.02] / Imanaliev T.M.// – Bishkek, 2000. 128 p. [in Russian]
  4. Imanaliev M.I. Singuliarno-vozmushchennoe differentsialnoe uravnenie vtorogo poriadka s tochkoi povorota [Singularly Perturbed Second-Order Differential Equation with Pivot Point] / Imanaliev M.I., Kakishov K.К., Kakishov Zh.K.// Tezisy nauch prakt. konf: «Aktual’nyye problemy differentsiala. Uravneniya i mat. Fizika [Thesis of Int. Sci. Conf.: “Topical Problems of Differential. Equations and Mat. Physics.”] – Almaty, 2005. – P. 94. [in Russian]
  5. Imanaliev M.I. O zadachakh Koshi dlia nelineinykh differentsialnykh uravnenii s chastnymi proizvodnymi shestogo poriadka [On Cauchy Problems for Non-linear Partial Differential Equations of the Sixth Order] / Imanaliev M.I., Kakishov K.К., Kakishov Zh.K.// Izucheniye integro-differentsiala. uravneniya [Study of Integro-differen. Equations]. – Bishkek: Ilim, 2007. Issue 36. – P. 19-28. [in Russian]
  6. Bayzakov A.B. Metody preobrazovaniya reshenii v analiticheskoi i asimptoticheskoi teorii differentsialnykh i integralnykh uravnenii [Tekst]: avtoref. dis. … d-ra fiz.-mat. nauk: 01.01.02 [Methods of Transforming Solutions in Analytic and Asymptotic Theory of Differential and Integral Equations [Text]: Author’s abstract. of PhD in Math. Sciences: 01.01.02] / Bayzakov A.B.// – Bishkek, 2011. – 31 p. [in Russian]
  7. Bayzakov A.B. Razreshimost i struktura nachalnoi zadachi singuliarno-vozmushchennykh integro-differentsialnykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh pervogo poriadka s tochkoi povorota [Solvability and Structure of Initial Problem of Singularly Perturbed First-order Integro-differential Partial Differential Equations with Pivot Point] / Bayzakov A.B., Kydyraliev T.R.// – Izhevsk, 2016. No. 5 (53). – P. 22-27 [in Russian]
  8. Kydyraliev T.R. O zadache Koshi nelineinykh differentsialnykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh vtorogo poriadka s kompleksnymi parametrami [On the Cauchy Problem of Second Order Non-linear Partial Differential Equations with Complex Parameters] / Kydyraliev T.R.// – Izhevsk, 2016. No. 3(55). – P. 16-20
  9. Aitbaev K.A. Razreshimost i struktura reshenii differentsialnykh i integralnykh: avtoref. dis. … kand.f.-m.n.:01.01.02 [Solvability and Structure of Solutions of Differential and Integral: Author’s abstract of PhD in Physics and Mathematics: 01.01.02] / Aitbaev K.A. –Bishkek, 2016. –18 p. [in Russian]
  10. Bayzakov A.B. O razreshimosti nachalnoi zadachi singuliarno-vozmushchennoi integro-differentsialnykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh tretiego poriadka [On Solvability of the Initial Problem of Singular-Perturbed Integro-differential Partial Differential Equations of the Third Order] / Bayzakov A.B., Dzhaenbaeva G.A. // Mezhdunarodnaya nauchno-prakticheskaya konferentsiya «Informatsionnyye tekhnologii: innovatsii v nauke i obrazovanii» (Aktyubinskiy oblastnoy gosudarstvennyy universitet im. K. Zhubanova) [International Scientific and Practical Conference “Information Technologies: Innovations in Science and Education” (Aktubinsk Regional State University named after K.Zhubanov)] .- Aktobe City, 2015. – P. 130-132. [in Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.