Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2017.60.098

Скачать PDF ( ) Страницы: 69-72 Выпуск: № 6 (60) Часть 3 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Ковыршина А. И. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ СТАБИЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА СВОБОДНОЙ НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ / А. И. Ковыршина, Е. С. Лапшина // Международный научно-исследовательский журнал. — 2017. — № 6 (60) Часть 3. — С. 69—72. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/o-predstavlenii-stabilnogo-elementa-svobodnoj-nilpotentnoj-gruppy/ (дата обращения: 21.07.2017. ). doi: 10.23670/IRJ.2017.60.098
Ковыршина А. И. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ СТАБИЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА СВОБОДНОЙ НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ / А. И. Ковыршина, Е. С. Лапшина // Международный научно-исследовательский журнал. — 2017. — № 6 (60) Часть 3. — С. 69—72. doi: 10.23670/IRJ.2017.60.098

Импортировать


О ПРЕДСТАВЛЕНИИ СТАБИЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА СВОБОДНОЙ НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ

Ковыршина А.И.1, Лапшина Е.С.2

1Кандидат физико-математических наук,

2Кандидат физико-математических  наук,

Иркутский государственный университет

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ СТАБИЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА СВОБОДНОЙ НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ

Аннотация

Для того чтобы найти нетривиальный стабильный элемент свободной нильпотентной группы необходимо выделить все возможные виды базисных коммутаторов, из которых в дальнейшем строится кандидат на стабильный элемент. Статья посвящена описанию трех видов  коммутаторов, каждый из которых тесно связан с двумя другими. Так, если в  представление стабильного элемента входят коммутаторы одного из видов, то и остальные виды должны быть представлены в разложении этого элемента.  Рассматривается свободная нильпотентная группа ранга 3 ступени 12.

Ключевые слова: автоморфизмы групп, неподвижные точки, нильпотентные группы.

 

Kovyrshyna A.I.1, Lapshyna E.S.2

1PhD in Physics and Mathematics,

2PhD in Physics and Mathematics,

Irkutsk State University

ON REPRESENTATION OF A STABLE ELEMENT OF A FREE NILPOTENT GROUP

Abstract

In order to find a nontrivial stable element of a free nilpotent group, it is necessary to isolate all possible types of basic commutators that are later used to build a candidate for a stable element. The article is devoted to the description of three kinds of switches; each of them is closely related to the other two. For example, if the representation of a stable element includes commutators of one of the types, then the remaining species must be represented in the expansion of this element. We consider a free nilpotent group of rank 3 and of order 12.

Keywords: automorphisms of groups, fixed points, nilpotent groups.

 

Стабильными элементами называются элементы группы, которые неподвижны относительно всех ее автоморфизмов.

Интерес к проблеме существования нетривиальных стабильных элементов в свободных нильпотентных группах  обусловлен  результатами работ Ф. Вефера (1949 г.) и М. Барроу (1958 г.)  в области изучения инвариантов Ли свободных колец Ли. Условия на ранг и ступень свободных нильпотентных групп, в которых существуют стабильные элементы, получили А. Папистас [2], Е. Форманек [3]. Методы построения стабильных элементов с представлением некоторых серий таких элементов представлены  В.В. Блудовым [1], А.И. Ковыршиной [4, 5].  В работе [4] показан пример нетривиального стабильного элемента, который представлен в виде произведения 22 базисных коммутаторов одного вида.  Настоящая статья посвящена нетривиальному стабильному элементу, в разложении которого участвуют 36 коммутаторов трех различных видов. При этом, исключение хотя бы одного коммутатора любого из трех видов делает элемент нестабильным.

Рассмотрим следующие подмножества базисных коммутаторов третьего коммутанта группы 04-07-2017 16-13-10 – совокупность коммутаторов вида 04-07-2017 16-13-23 – совокупность коммутаторов вида 04-07-2017 16-13-35 – совокупность коммутаторов вида 04-07-2017 16-13-43. Введем обозначения для следующих автоморфизмов группы 04-07-2017 16-13-53 со свободными образующими 04-07-2017 16-14-03:

04-07-2017 16-14-13

Известно, что если элемент 04-07-2017 16-14-22 группы  04-07-2017 16-13-53 удовлетворяет условию 04-07-2017 16-14-32, то 04-07-2017 16-14-22 – стабильный элемент.

В настоящей работе доказана следующая теорема:

Теорема: Пусть  04-07-2017 16-14-41линейная комбинация базисных коммутаторов, хотя бы один из которых принадлежит множеству  04-07-2017 16-14-52. Если 04-07-2017 16-14-22 – нетривиальный стабильный элемент группы 04-07-2017 16-13-53 , то число коммутаторов, участвующих в представлении элемента 04-07-2017 16-14-22  не меньше 36.

Доказательство. Для описания процесса построения нетривиального стабильного элемента введем обозначения базисных коммутаторов указанных множеств. Базисными элементами множества 04-07-2017 16-15-06 с однородным вхождением образующих являются:

04-07-2017 16-15-17

Мы не можем ограничиться рассмотрением линейной комбинации только элементов множества 04-07-2017 16-15-06, так как после действия на них автоморфизмами, происходит нарушение базисности и меняется вид базисных коммутаторов. Так, в образ 04-07-2017 16-15-27 входит коммутатор 04-07-2017 16-15-34, который является элементом множества 04-07-2017 16-15-41. При конструировании кандидата на стабильный элемент, необходимо добавить базисные коммутаторы множества 04-07-2017 16-15-41, которые обозначим так:

04-07-2017 16-15-56

Рассмотрим в элементы каких множеств переходят коммутаторы из 04-07-2017 16-15-41 после применения к ним автоморфизмов вида 04-07-2017 16-16-06. Некоторые элементы из  04-07-2017 16-16-12  содержат подкоммутатор  04-07-2017 16-16-20,  образ которого под действием автоморфизма 04-07-2017 16-16-27  равен 04-07-2017 16-16-37. Коммутатор 04-07-2017 16-16-44 не является базисным, его разложение на базисные имеет вид 04-07-2017 16-16-56. Поэтому, в результате применения 04-07-2017 16-16-27, например, к элементу 04-07-2017 16-17-06 мы получим следующую сумму базисных коммутаторов:

04-07-2017 16-17-15

В нее входят коммутаторы,  принадлежащие 04-07-2017 16-17-24. Таким образом, в автоморфном образе элементов из  кроме элементов из  содержатся элементы из . Введем обозначения базисных коммутаторов из 04-07-2017 16-17-24:

04-07-2017 16-17-36

Составим линейную комбинацию  04-07-2017 16-17-47  всех базисных коммутаторов множеств 04-07-2017 16-17-58.  Последовательно будем действовать на 04-07-2017 16-14-22 автоморфизмами указанных выше видов. После перевода всех небазисных коммутаторов в сумму базисных, устраиваем разбиение элементов в зависимости от их принадлежности множествам 04-07-2017 16-17-58 с целью получения условий на коэффициенты 04-07-2017 16-18-12.

После применения автоморфизма 04-07-2017 16-18-22 к элементу 04-07-2017 16-14-22 и приведения всех коммутаторов к базисному виду, выделим  линейную комбинацию элементов из  04-07-2017 16-15-06:

04-07-2017 16-19-31

Для вычисления значений 04-07-2017 16-40-31 необходимо приравнять к нулю коэффициенты этого выражения. Как было отмечено ранее, в автоморфный образ элемента 04-07-2017 16-14-22 входят коммутаторы из 04-07-2017 16-15-41 (не по причине включения в 04-07-2017 16-14-22 базисных коммутаторов из названного множества). Поэтому нельзя ограничиться рассмотрением лишь указанной суммы, необходимо также получить линейную комбинацию элементов из 04-07-2017 16-15-41:

04-07-2017 16-19-44

Аналогичным образом действуем автоморфизмами 04-07-2017 16-19-51. Чтобы не перегружать данную работу коммутаторными вычислениями, запишем итоговую систему линейных уравнений, решение которой дает целые значения для коэффициентов, участвующих в выражении элемента 04-07-2017 16-14-22 через базисные:

04-07-2017 16-20-23

Общее решение объединенной системы уравнений имеет вид:

04-07-2017 16-20-35

Так как все коэффициенты зависят от одной свободной переменной 04-07-2017 16-20-51, то число коммутаторов, участвующих в представлении элемента стабильного элемента не меньше 36. Теорема доказана.

Список литературы / References

  1. Блудов В.В. Неподвижные точки относительно всех автоморфизмов в свободных нильпотентных группах/ В.В. Блудов //Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике: тезисы докл. – Ч.5. – Новосибирск, 1998.
  2. Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups / A. Papistas //Communications in algebra. – 2001. – No. 29. –P. 4693-4699.
  3. Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups / E. Formanek // Communications in algebra. – 2002. – No. 30. – Pp. 1033-1038.
  4. Ковыршина А.И. Неподвижные элементы в свободных нильпотетных группах ранга три / А.И. Ковыршина // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. – 2008. – Т.8, вып.2. – С. 85–91.
  5. Ковыршина А.И. Стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга три/ А.И. Ковыршина // Вестник Омского университета. – 2010. – №4 (58). – С. 20–23.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Bludov V.V. Nepodvizhnye tochki otnositel’no vseh avtomorfizmov v svobodnyh nil’potentnyh gruppah [Fixed points with respect to all automorphisms in free nilpotent groups] / V.V. Bludov // Tretij Sibirskij kongress po prikladnoj i industrial’noj matematike: tezisy dokladov [Third Siberian Congress on Industrial and Applied Mathematics]. Novosibirsk, 1998. Part 5. [in Russian]
  2. Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups/ A. Papistas //Communications in algebra. – 2001. – No. 29. –P. 4693–4699.
  3. Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups / E. Formanek // Communications in algebra. – 2002. – No. 30. – P. 1033–1038.
  4. Kovyrshina A.I. Nepodvizhnye jelementy v svobodnyh nil’potetnyh gruppah ranga tri [Fixed points in the free nilpotent groups of rank three] / A.I. Kovyrshina // Vestnik NGU. Ser. Matematika, mehanika, informatika. [Vestnik Novosibirsk State University. Mathematics]. – 2008. – V.8. No. 2 – P. 85–91. [in Russian]
  5. Kovyrshina A.I. Stabil’nye jelementy v svobodnyh nil’potentnyh gruppah ranga tri [Fixed points with respect to all automorphisms of the free nilpotent groups for three generators] / A.I. Kovyrshina // Vestnik Omskogo universiteta. [Herald of Omsk University]. – 2010. – No. 4 (58). – P. 20–23. [in Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.