О ПРЕДСТАВЛЕНИИ СТАБИЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА СВОБОДНОЙ НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ

Ковыршина А.И.¹, Лапшина Е.С.²

¹Кандидат физико-математических наук,

²Кандидат физико-математических  наук,

Иркутский государственный университет

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ СТАБИЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА СВОБОДНОЙ НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ

Аннотация

Для того чтобы найти нетривиальный стабильный элемент свободной нильпотентной группы необходимо выделить все возможные виды базисных коммутаторов, из которых в дальнейшем строится кандидат на стабильный элемент. Статья посвящена описанию трех видов  коммутаторов, каждый из которых тесно связан с двумя другими. Так, если в  представление стабильного элемента входят коммутаторы одного из видов, то и остальные виды должны быть представлены в разложении этого элемента.  Рассматривается свободная нильпотентная группа ранга 3 ступени 12.

Ключевые слова: автоморфизмы групп, неподвижные точки, нильпотентные группы.

 

Kovyrshyna A.I.¹, Lapshyna E.S.²

¹PhD in Physics and Mathematics,

²PhD in Physics and Mathematics,

Irkutsk State University

ON REPRESENTATION OF A STABLE ELEMENT OF A FREE NILPOTENT GROUP

Abstract

In order to find a nontrivial stable element of a free nilpotent group, it is necessary to isolate all possible types of basic commutators that are later used to build a candidate for a stable element. The article is devoted to the description of three kinds of switches; each of them is closely related to the other two. For example, if the representation of a stable element includes commutators of one of the types, then the remaining species must be represented in the expansion of this element. We consider a free nilpotent group of rank 3 and of order 12.

Keywords: automorphisms of groups, fixed points, nilpotent groups.

 

Стабильными элементами называются элементы группы, которые неподвижны относительно всех ее автоморфизмов.

Интерес к проблеме существования нетривиальных стабильных элементов в свободных нильпотентных группах  обусловлен  результатами работ Ф. Вефера (1949 г.) и М. Барроу (1958 г.)  в области изучения инвариантов Ли свободных колец Ли. Условия на ранг и ступень свободных нильпотентных групп, в которых существуют стабильные элементы, получили А. Папистас [2], Е. Форманек [3]. Методы построения стабильных элементов с представлением некоторых серий таких элементов представлены  В.В. Блудовым [1], А.И. Ковыршиной [4, 5].  В работе [4] показан пример нетривиального стабильного элемента, который представлен в виде произведения 22 базисных коммутаторов одного вида.  Настоящая статья посвящена нетривиальному стабильному элементу, в разложении которого участвуют 36 коммутаторов трех различных видов. При этом, исключение хотя бы одного коммутатора любого из трех видов делает элемент нестабильным.

Рассмотрим следующие подмножества базисных коммутаторов третьего коммутанта группы  – совокупность коммутаторов вида  – совокупность коммутаторов вида  – совокупность коммутаторов вида . Введем обозначения для следующих автоморфизмов группы  со свободными образующими :

Известно, что если элемент  группы   удовлетворяет условию , то  – стабильный элемент.

В настоящей работе доказана следующая теорема:

Теорема: Пусть   – линейная комбинация базисных коммутаторов, хотя бы один из которых принадлежит множеству  . Если  – нетривиальный стабильный элемент группы , то число коммутаторов, участвующих в представлении элемента  не меньше 36.

Доказательство. Для описания процесса построения нетривиального стабильного элемента введем обозначения базисных коммутаторов указанных множеств. Базисными элементами множества  с однородным вхождением образующих являются:

Мы не можем ограничиться рассмотрением линейной комбинации только элементов множества , так как после действия на них автоморфизмами, происходит нарушение базисности и меняется вид базисных коммутаторов. Так, в образ  входит коммутатор , который является элементом множества . При конструировании кандидата на стабильный элемент, необходимо добавить базисные коммутаторы множества , которые обозначим так:

Рассмотрим в элементы каких множеств переходят коммутаторы из  после применения к ним автоморфизмов вида . Некоторые элементы из    содержат подкоммутатор  ,  образ которого под действием автоморфизма   равен . Коммутатор  не является базисным, его разложение на базисные имеет вид . Поэтому, в результате применения , например, к элементу  мы получим следующую сумму базисных коммутаторов:

В нее входят коммутаторы,  принадлежащие . Таким образом, в автоморфном образе элементов из  кроме элементов из  содержатся элементы из . Введем обозначения базисных коммутаторов из :

Составим линейную комбинацию    всех базисных коммутаторов множеств .  Последовательно будем действовать на  автоморфизмами указанных выше видов. После перевода всех небазисных коммутаторов в сумму базисных, устраиваем разбиение элементов в зависимости от их принадлежности множествам  с целью получения условий на коэффициенты .

После применения автоморфизма  к элементу  и приведения всех коммутаторов к базисному виду, выделим  линейную комбинацию элементов из  :

Для вычисления значений  необходимо приравнять к нулю коэффициенты этого выражения. Как было отмечено ранее, в автоморфный образ элемента  входят коммутаторы из  (не по причине включения в  базисных коммутаторов из названного множества). Поэтому нельзя ограничиться рассмотрением лишь указанной суммы, необходимо также получить линейную комбинацию элементов из :

Аналогичным образом действуем автоморфизмами . Чтобы не перегружать данную работу коммутаторными вычислениями, запишем итоговую систему линейных уравнений, решение которой дает целые значения для коэффициентов, участвующих в выражении элемента  через базисные:

Общее решение объединенной системы уравнений имеет вид:

Так как все коэффициенты зависят от одной свободной переменной , то число коммутаторов, участвующих в представлении элемента стабильного элемента не меньше 36. Теорема доказана.

Список литературы / References

1. Блудов В.В. Неподвижные точки относительно всех автоморфизмов в свободных нильпотентных группах/ В.В. Блудов //Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике: тезисы докл. – Ч.5. – Новосибирск, 1998.
2. Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups / A. Papistas //Communications in algebra. – 2001. – No. 29. –P. 4693-4699.
3. Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups / E. Formanek // Communications in algebra. – 2002. – No. 30. – Pp. 1033-1038.
4. Ковыршина А.И. Неподвижные элементы в свободных нильпотетных группах ранга три / А.И. Ковыршина // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. – 2008. – Т.8, вып.2. – С. 85–91.
5. Ковыршина А.И. Стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга три/ А.И. Ковыршина // Вестник Омского университета. – 2010. – №4 (58). – С. 20–23.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Bludov V.V. Nepodvizhnye tochki otnositel'no vseh avtomorfizmov v svobodnyh nil'potentnyh gruppah [Fixed points with respect to all automorphisms in free nilpotent groups] / V.V. Bludov // Tretij Sibirskij kongress po prikladnoj i industrial'noj matematike: tezisy dokladov [Third Siberian Congress on Industrial and Applied Mathematics]. Novosibirsk, 1998. Part 5. [in Russian]
2. Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups/ A. Papistas //Communications in algebra. – 2001. – No. 29. –P. 4693–4699.
3. Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups / E. Formanek // Communications in algebra. – 2002. – No. 30. – P. 1033–1038.
4. Kovyrshina A.I. Nepodvizhnye jelementy v svobodnyh nil'potetnyh gruppah ranga tri [Fixed points in the free nilpotent groups of rank three] / A.I. Kovyrshina // Vestnik NGU. Ser. Matematika, mehanika, informatika. [Vestnik Novosibirsk State University. Mathematics]. – 2008. – V.8. No. 2 – P. 85–91. [in Russian]
5. Kovyrshina A.I. Stabil'nye jelementy v svobodnyh nil'potentnyh gruppah ranga tri [Fixed points with respect to all automorphisms of the free nilpotent groups for three generators] / A.I. Kovyrshina // Vestnik Omskogo universiteta. [Herald of Omsk University]. – 2010. – No. 4 (58). – P. 20–23. [in Russian]