Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

Скачать PDF ( ) Страницы: 15-20 Выпуск: № 08 (74) () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Джээнбаева Г. А. О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА / Г. А. Джээнбаева // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 08 (74). — С. 15—20. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/o-periodicheskix-resheniyax-kraevoj-zadachi-dlya-kvazilinejnyx-integralnyx-uravnenij-volterra/ (дата обращения: 19.06.2019. ).
Джээнбаева Г. А. О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА / Г. А. Джээнбаева // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 08 (74). — С. 15—20.

Импортировать


О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.74.8.002

О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА

Научная статья

Джээнбаева Г.А.

Институт математики Национальной академии наук Кыргызской Республики, Бишкек, Кыргызстан

 Корреспондирующий автор (baytemirova2007[at]mail.ru)

Аннотация

Изучена проблема: при выполнении каких условий периодическая функция будет решением интегрального уравнения Вольтерра с периодическими коэффициентами. В данной работе найдены достаточные условия существования периодических решений краевой задачи для квазилинейных интегральных уравнений Вольтерра, которые стремятся к решению  периодической краевой задачи для порождающего уравнения. При этом применяется принцип сжатых отображений и условия аналитичности заданных функций. Само решение квазилинейных интегральных уравнений Вольтерра построено в пространстве непрерывных функций.

Ключевые слова: интегральное уравнение Вольтерра, периодические решения краевой задачи, необходимое и достаточное условие существования периодических решений уравнения Вольтерра, принцип сжатых отображений, порождающее уравнение, условие аналитичности.

ON PERIODIC SOLUTIONS OF BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR QUASILINEAR INTEGRAL VOLTERRA EQUATIONS

Research article

Dzheenbaeva G.A.

Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Kyrgyz Republic, Bishkek, Kyrgyzstan

 Corresponding author (baytemirova2007[at]mail.ru)

Abstract

The following problem is studied: under what conditions the periodic function is a solution of the Volterra integral equation with periodic coefficients. In this paper, we find sufficient conditions for the existence of periodic solutions of the boundary value problem for quasilinear integral Volterra equations that tend to the solution of a periodic boundary value problem for the generating equation. The principle of condensed mappings and the conditions for the analyticity of given functions are applied. The solution of the Volterra quasilinear integral equations is constructed in the space of continuous functions.

Keywords: Volterra integral equation, periodic solutions of the boundary value problem, necessary and sufficient condition for the existence of periodic solutions of Volterra equation, the principle of condensed mappings, the generating equation, the condition of analyticity.

  1. Рассмотрим для интегрального уравнения Вольтерра (ИУВ) второго рода

20-08-2018 15-25-07,                                                                (1)

где K(t,s) – квадратная матричная функция; а 20-08-2018 15-25-26 – вектор-функция определенные и непрерывные соответственно в областях –∞ < S, t< ∞, –∞ < t< ∞, причем

  20-08-2018 15-25-57                                                           (2)

Вопросы существования периодических решений

Как известно, для систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

 20-08-2018 15-26-43                                                             (3)

если x(t) – решение, то функция 20-08-2018 15-27-21 тоже является ее решением. Этот факт лежит в основе методов исследования проблемы периодических решений систем вида (3). Для ИУВ (1) такое явление не имеет места, так как интегральный оператор Вольтерра не всегда отображает периодический вектор в периодический [5, C. 57], т.е. в случае ИУВ не для всякого решения u(t) будет его решением и функция 20-08-2018 15-28-15. В силу не периодичности оператора Вольтерра очень важна проблема выделения такого класса ИУВ, для которых существуют периодические решения.

Теорема 1. Наряду с u(t) будет решением ИУВ (1), (2) и функция 20-08-2018 15-28-15 в том, и только в том случае, когда для u(t) выполняется условие

20-08-2018 15-29-01                                                                                          (4)

тождественно по 20-08-2018 15-29-17.

Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условий (4) теоремы. Пусть u = u(t) некоторое ω периодическое решение (1), т.е.

20-08-2018 15-30-40                                                                                                 (5)

Отсюда в силу (1) имеем

20-08-2018 15-31-32.

Далее, учитывая (2) и преобразуя интеграл с левой стороны, получим

20-08-2018 15-32-07.

Сделаем замену во втором интеграле левой стороны равенства: 20-08-2018 15-32-36. Находим пределы интегрирования:

При и при 20-08-2018 15-33-02

20-08-2018 15-33-37.

Из последнего равенства в силу (2), (5) имеем (4).

2) Докажем теперь достаточность условий (4). Предположим, что выполнено (4) и пусть u(t) – решение (1). Тогда в силу (2), (4) имеем

20-08-2018 15-34-08

Последнее соотношение показывает, что функция 20-08-2018 15-28-15 также является решением уравнения (1). Что и требовалось доказать.

Замечание 1. В силу произвольности t в (4) в слагаемом 20-08-2018 15-35-12 можно опустить ω, но по соображениям дальнейших удобств мы сохраняем такую форму. Кроме того, для краткости в дальнейшем будем пользоваться символом 20-08-2018 15-35-52.

Условие (4) представляет собой неявное ограничение на ядро 20-08-2018 15-37-03.

Замечание 2. Теорема остается справедливой и для ИУВ первого рода

20-08-2018 15-37-22                                                                            (6)

при выполнении условий (2).

Следуя методике, приведенной в [3], покажем справедливость замечания 2. Пусть u(t) – некоторое периодическое решение (6), т.е. 20-08-2018 15-39-41  т.е. уравнение (6) превращено в тождество. Из теории чисел известно, что для любого 20-08-2018 15-40-36 найдется натуральное число 20-08-2018 15-41-14 и величина 20-08-2018 15-42-02, что

20-08-2018 15-42-51.

Поэтому, заменяя в полученном тождестве (6) 20-08-2018 15-43-39 и учитывая (2) получим

20-08-2018 15-44-13                                                                              (7)

Так как, во-первых,

20-08-2018 15-45-23

где в последнем переходе второй интервал преобразован с помощью подстановки 20-08-2018 15-45-40 и использованы периодичность ядра и решения; во-вторых, тождество (3.4.7) верно и при  n=0, то

 20-08-2018 15-46-44                                                                             (8)

В свою очередь, так как

20-08-2018 15-47-14                                       (9)

 где сначала проведено преобразование 20-08-2018 15-47-51 и использовано свойство ядра  20-08-2018 15-48-10из (2), а затем учтено, что соотношение (8) в силу произвольности n верно и для n-1. Имеем

20-08-2018 15-48-51

Отсюда, учитывая (9) имеем

20-08-2018 15-49-18,

или, так как 20-08-2018 15-49-48, отсюда имеем (4).

Таким образом, для существования ω–периодического решения ИУВ второго (первого) рода с периодическим ядром и свободным членом, необходимо и достаточно выполнения условия (4). Необходимость этого условия, видимо, впервые было обнаружено Г.Вахабовым [4], при исследовании интегро-дифференциальных систем. Условие (4) было активно использовано в [3], [4] при обосновании метода построения периодических решений интегро-дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Пример 1. Для ИУВ второго рода

20-08-2018 15-51-19                                                                  (10)

выполнены все условия (2), где 20-08-2018 15-52-42. Уравнение (10) имеет решение 20-08-2018 15-53-52,  период которой 20-08-2018 15-52-42. Условие (4) в данном случае запишется в виде

20-08-2018 15-54-29,

и оно выполнено (ортогональность функций 20-08-2018 15-56-23).

Пример 2. Для ИУВ первого рода

 20-08-2018 15-57-09                                                                                  (11)

также выполнены условия (2), где 20-08-2018 15-52-42. Уравнение (11) имеет решение 20-08-2018 15-57-53, период которой 20-08-2018 15-52-42. В силу замечания 1, для 20-08-2018 16-00-05 проверим выполнение условия (4):

20-08-2018 16-01-22.

  1. II. Рассмотрим векторно-матричное нелинейное ИУВ с периодическими коэффициентами

 20-08-2018 16-02-37,                                              (12)

где 20-08-2018 15-48-10 непрерывная квадратная  матричная функция, n-мерная вектор функция 20-08-2018 16-04-48 определена и непрерывна в области 20-08-2018 16-05-07  причём

 20-08-2018 16-05-59                                                              (13)

Пусть 20-08-2018 16-06-29 решение периодической краевой задачи 20-08-2018 16-06-56 для интегрального уравнения (12), (13). Обозначим 20-08-2018 16-07-22 периодическое продолжение 20-08-2018 16-07-51 на всю ось. Поставим вопрос: при выполнении каких условий ω-периодическая функция  20-08-2018 16-09-13 будет  решением интегрального уравнения (12), (13).

Так как 20-08-2018 16-09-13 есть ω периодическое продолжение 20-08-2018 16-07-51 справедливо соотношение

20-08-2018 16-11-17                                                                 (14)

Поскольку для любого 20-08-2018 16-12-04 и заданного 20-08-2018 16-12-49 всегда найдётся единственное натуральное число n такое, что 20-08-2018 16-16-26 (14) можно представить в виде

 20-08-2018 16-17-17                                                    (15)

Имеет место [4, C. 53]

Лемма.  Если для  20-08-2018 16-17-42 и произвольного β выполнено условие

 20-08-2018 16-18-34,                                                                         (16)

то для 20-08-2018 16-19-12  и натурального m справедливо соотношение

  20-08-2018 16-19-48.                                                                        (17)

Эта лемма позволяет доказать следующее предложение:

Теорема 2. Периодическое продолжение 20-08-2018 16-19-12 решения 20-08-2018 16-07-51 периодической краевой задачи для интегрального уравнения (12) с периодическими коэффициентами (13) будет решением того же уравнения тогда и только тогда, когда для 20-08-2018 16-07-51 выполнено условие (16).

Необходимость. Так как 20-08-2018 16-21-24 – решение задачи (12), (13), то справедливо тождество

 20-08-2018 16-21-53                                                             (18)

Откуда в силу (12), (15)

  20-08-2018 16-22-57                          (19)

для произвольного  t  имеем

20-08-2018 16-23-17

здесь можно положить 20-08-2018 16-23-56.

Достаточность. Предположим, что выполнено условие (16) и покажем, что 20-08-2018 16-19-12 удовлетворяет  интегральному уравнению (12). Составим  выражение

 20-08-2018 16-25-01                                                      (20)

Положим в (20) 20-08-2018 16-26-25  и учитывая (13),(15) имеем

20-08-2018 16-26-47               (21)

Рассмотрим интегральную часть

20-08-2018 16-27-18

Первое слагаемое в силу леммы есть нуль (m=0). Преобразуем второе слагаемое с помощью подстановки 20-08-2018 16-28-21 и учитывая (13), (15) получим

20-08-2018 16-28-45                                                       (22)

Преобразуем (21) с помощью (22) и учитывая, что 20-08-2018 16-07-51 при 20-08-2018 16-29-40 есть решение (12), имеем

20-08-2018 16-30-09                    (23)

Из сравнения (20) и(23)  следует, что 20-08-2018 16-09-13 есть решение интегрального уравнения  (12). Теорема 2 полностью доказана.

III. Далее рассмотрим квазилинейную систему ИУВ

20-08-2018 16-31-10                                                                                        (24)

 где 20-08-2018 16-31-42. Кроме того, вектор-функция 20-08-2018 16-32-20 аналитична по векторному u  и скалярному s аргументам при 20-08-2018 16-33-03. Наряду со сказанным будем предполагать

20-08-2018 16-33-26                                                                                               (25)

В данном пункте исследуется проблема периодических решений для (24), (25).

Уравнение

  20-08-2018 16-34-31                                                                                                                      (26)

 получающееся из (24) при ε=0, называется порождающим. Предположим, что для 20-08-2018 16-35-22 оно имеет ω-периодическое решение, т.е.

   20-08-2018 16-36-17                                                                                                                                                            (27)

Ставим задачу. Найти решения 20-08-2018 16-36-51 периодической краевой задачи для (24), которые при 20-08-2018 16-37-15 стремятся к решению 20-08-2018 16-38-04 периодической краевой задачи для порождающего уравнения (26), (27).

Для  решения  задачи предположим, что для системы  (24), также  выполнено  условие (16).

Из аналитичности F  по u  следует, что она удовлетворяет условию Липшица

  20-08-2018 16-38-54                                   (28)

Пусть 20-08-2018 16-40-09 и для 20-08-2018 16-40-51 определим  оператор 20-08-2018 16-41-15:

20-08-2018 16-42-20,                                                                                    (29)

 20-08-2018 16-42-58                                                              (30)

К операторному уравнению (29) применим принцип сжатых отображений. Очевидно, что 20-08-2018 16-43-29 т.е. оператор A отображает  20-08-2018 16-43-56.

Далее покажем, что для достаточно малых q и 20-08-2018 16-44-42 оператор  отображает 20-08-2018 16-45-16 и является оператором сжатия.

Из тождества

          20-08-2018 16-46-08                                                    (31)

и неравенства Липшица (28) имеем

 20-08-2018 16-46-36                                                                                                          (32)

Из (30), (31)  получим

  20-08-2018 16-48-17                                                                                                                (33)

где 20-08-2018 16-49-27.

Если теперь удастся  выбрать  20-08-2018 16-50-25 так, чтобы выполнялось неравенство

 20-08-2018 16-51-17                                                                                                                        (34)

то будет 20-08-2018 16-51-55 для таких 20-08-2018 16-52-14  и , но, полагая в левой части ε=0 и  учитывая (34) будем иметь

 20-08-2018 16-53-51                                                                                                                                                  (35)

при этом должно быть 20-08-2018 16-54-32. Поэтому (35) в определенном смысле является ограничением на f и ядро  20-08-2018 15-48-10.

Кроме того, оператор Au  будет сжимающим в  20-08-2018 16-56-32. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что

 20-08-2018 16-57-13                                                                                       (36)

В силу (36) можем сказать, что Au – действительно оператор сжатия на 20-08-2018 16-58-11 так как  условия (34) совместна.

Поэтому в 20-08-2018 16-58-11 существует единственная неподвижная точка 20-08-2018 16-59-00 оператора Au. Ясно, что аналитичность функции  20-08-2018 16-59-42 по ε следует из аналитичности F по ε и u.

Тем самым, доказано.

Теорема 3. Пусть порождающая  система (26) для 20-08-2018 17-01-24 имеет периодическое решение, тогда найдутся постоянные 20-08-2018 17-01-44 такие, что в области 20-08-2018 17-02-16 существует и притом единственное решение 20-08-2018 17-02-40 периодической краевой задачи (24), (27), такое, что 20-08-2018 17-03-02 – решение периодической краевой задачи для порождающего уравнения (26), (27).

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Алымбаев А.Т. О нахождении периодических решений автономных систем интегро-дифференциальных уравнений / Алымбаев А.Т. // Иследования по интегро-дифф. уравн. – Фрунзе: Илим,1983, вып.16. – С. 226-233.
  2. Алымкулов К. О периодических решениях неавтономных систем диф. уравнений / Алымкулов К. // Илим, 1962, вып.5. – С. 177-182.
  3. Боташев А.И. Периодические решения интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра / Боташев А.И. // М.: Издательство МФТН, 1998. – 88 с.
  4. Вахабов Г. Численно-аналитический метод исследования периодических систем интегро-дифференциальных уравнений / Вахабов Г. // УМЖ. 1969. – № 5. – С. 75-83.
  5. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Еругин Н.П. // Минск: Наука и техника, 1979. – 743 с.
  6. Иманалиев М.И. Математические исследования / Иманалиев М.И., Боташев А.И. // Изв.АН Кирг. ССР, Сер.физ.-тех.и мат. науки. – 1990. – №2. – С. 3-20.
  7. Иманалиев М.И. Интегральные уравнения / Иманалиев М.И, Хведелидзе Б.В., Боташев А.И. и др. // Дифф. уравнения. – 1982. – Т. 18, № 12. –С. 2050-2069.
  8. Иманалиев М. Колебание и устойчивость решений сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных систем / Иманалиев М.И. // Фрунзе: Илим, 1974. – 352 с.
  9. Байзаков А.Б. Об одном условии существования периодических решений интегральных уравнений Вольтерра / Байзаков А.Б. // Исследования по интегро-диф. уравнениям. – Бишкек: Илим, 2004. – вып. 33. – С. 222-226.
  10. Байзаков А.Б. О разрешимости начальной задачи сингулярно-возмущенной интегро-дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка / Байзаков А.Б., Джээнбаева Г.А. // Международная научно-практическая конференция. – Актюбинск, – С. 100-106

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Alymbaev A.T. O nakhozhdenii periodicheskikh resheniy avtonomnykh sistem integro-differentsial’nykh uravneniy [On finding Periodic Solutions of Autonomous Systems of Integrodifferential Equations] / Alymbayev A.T. / Isledovaniya po integro-diff. uravn [Investigations of integr. and diff. Eq]. – Frunze: Ilim, 1983, Is. 16. – P.226-233. [in Russian]
  2. Alymkulov K. O periodicheskikh resheniyakh neavtonomnykh sistem dif. uravneniy [On Periodic Solutions of Non-autonomous Systems of Differential Equations] / Alymkulov K. // Ilim, 1962, Is. 5. – P.177-182. [in Russian]
  3. Botashev A.I. Periodicheskiye resheniya integro-differentsial’nykh uravneniy Vol’terra [Periodic Solutions of Integrodifferential Volterra equations] / Botashev A.I. // – M.: MFТТ Publishing house, 1998. – 88 p. [in Russian]
  4. Vakhabov G. Chislenno-analiticheskiy metod issledovaniya periodicheskikh sistem integro-differentsial’nykh uravneniy [Numerical-analytical Method for Studying Periodic Systems of Integrodifferential Equations] / Vakhabov G. // – UMZh. 1969. – № 5. – P .75-83. [in Russian]
  5. Yerugin N.P. Kniga dlya chteniya po obshchemu kursu differentsial’nykh uravneniy [Book for Reading on the General Course of Differential Equations] / Yerugin N.P. // Minsk: Science and technology. 3.9797. – 743 p. [in Russian]
  6. Imanaliev M.I. Matematicheskiye issledovaniya  [Mathematical Studies] / Imanaliev M.I., Botashev A.I. // AN Kirg..SSR, Ser.fiz.-tekh.i mat. nauki [Bul. of Kirg AS, Kirg. SSR, Phys and tech. and mat. Science series] – 1990. – № 2. – P. 3-20. [in Russian]
  7. Imanaliev M.I. Integral’nyye uravneniya [Integral Equations] / Imanaliev M.I., Khvedelidze B.V., Botashev A.I. and others / Diff. uravneniya [Diff. equations] – 1982. – V. 18, № 12. – P. 2050-2069. [in Russian]
  8. Imanaliev M. Kolebaniye i ustoychivost’ resheniy singulyarno-vozmushchennykh integro-differentsial’nykh sistem [Oscillation and Stability of Solutions of Singularly Perturbed Integrodifferential Systems] // Imanaliev M.I. – Frunze: Ilim, 1974. – 352 p. [in Russian]
  9. Bayzakov A.B. Ob odnom uslovii sushchestvovaniya periodicheskikh resheniy integral’nykh uravneniy Vol’terra  [On Condition for Existence of Periodic Solutions of Volterra Integral Equations] / Baizakov AB // Issledovaniya po integro-dif. uravneniyam [Investigations on integrodiff. equations]. – Bishkek: Ilim, 2004. – P.33. – P.222-226. [in Russian]
  10. Bayzakov A.B. O razreshimosti nachal’noy zadachi singulyarno-vozmushchennoy integro-differentsial’nykh uravneniy v chastnykh proizvodnykh tret’yego poryadka [On Solvability of Initial Problem of Singularly Perturbed Integrodifferential Partial Differential Equation of Third Order] / Bayzakov A.B., Dzhaenbaeva G.A. // Mezhdunarodnaya nauchno-prakticheskaya konferentsiya [International Scientific and Practical Conference]. – Aktyubinsk, 2015. – P. 100-106 [in Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.