Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2017.66.155

Скачать PDF ( ) Страницы: 30-35 Выпуск: № 12 (66) Часть 5 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Мирошников А. Л. О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ / А. Л. Мирошников, Н. В. Миллер, Н. И. Попова и др. // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 12 (66) Часть 5. — С. 30—35. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/o-nekotoryx-voprosax-integrirovaniya-v-mnogomernyx-prostranstvax/ (дата обращения: 18.09.2019. ). doi: 10.23670/IRJ.2017.66.155
Мирошников А. Л. О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ / А. Л. Мирошников, Н. В. Миллер, Н. И. Попова и др. // Международный научно-исследовательский журнал. — 2018. — № 12 (66) Часть 5. — С. 30—35. doi: 10.23670/IRJ.2017.66.155

Импортировать


О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Мирошников А.Л.1, Миллер Н.В.2, Попова Н.И.3, Швец Ю.В.4

1ORCID: 0000-0001-6057-0919, кандидат физико-математических наук,

2ORCID: 0000-0002-9351-6123, кандидат педагогических наук,

3ORCID: 0000-0002-2186-3556, кандидат педагогических наук,

4ORCID: 0000-0002-6742-070X, кандидат педагогических наук,

Сибирский государственный университет путей сообщения, г. Новосибирск

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Аннотация

Работа посвящена установлению различных нетривиальных оценок функции концентрации. Интерес к этой функции связан с тем, что она является важнейшим инструментом для изучения свойств сверсток различных вероятностных распределений, которые появляются в многочисленных приложениях. В представленной статье  обобщаются на многомерные пространства некоторые результаты, полученные для этой функции в одномерном случае. Так, в работе усиливается (см. теорему  2) известный результат Энгера из работы [1]. Кроме того, показывается, что оценка из теоремы 2 является неулучшаемой по размерности пространства. Доказательства основных результатов основаны на использовании метода характеристических функций. Основная трудность связана с оценками сложных многомерных интегралов.

Ключевые слова: многомерные пространства, функция концентрации, оценки функции концентрации, выпуклый функционал, интегрирование в многомерных пространствах.

Miroshnikov A.L.1, Miller N.V.2, Popova N.I.3, Shvets Yu.V.4

1ORCID: 00010-0001-6057-0919, PhD in Physics and Mathematics, 2ORCID: 0000-0002-9351-6123, PhD in Pedagogy, 3ORCID: 0000-0002-2186-3556, PhD in Pedagogy, 4ORCID: 0000-0002-6742-070X, PhD in Pedagogy,

Siberian State Transport University, Novosibirsk

ON SOME ISSUES OF INTEGRATION IN MULTIDIMENSIONAL SPACES

Abstract

The paper is devoted to founding of various nontrivial estimates of the concentration function. The interest in this function is due to the fact that it is the most important tool for studying the properties of the convolutions of various probability distributions that appear in numerous applications. Some results obtained for this function in the one-dimensional case are generalized to multidimensional spaces in the presented paper. Thus, the well-known result of Enger from [1] is strengthened (see Theorem 2). In addition, it is shown that the estimate in Theorem 2 is unimprovable in the dimension of the space. The proofs of the main results are based on the use of the method of characteristic functions. The main difficulty is connected with the estimates of complex multidimensional integrals.

Keywords: multidimensional spaces, concentration function, estimates of the concentration function, convex functional, integration in multidimensional spaces.

Математическое моделирование реальных процессов и явлений является одним из самых эффективных методов исследования действительности, включающих в себя создание математической модели, нахождение и исследование решения модельной задачи, сравнение полученных решений с реальностью, корректировку модели по адекватности, использование уточненной модели для исследования целого класса реальных явлений.

Еще в первой половине XX века появилась знаменитая монография Леви [2, P.36], в которой была определена специальная характеристика вероятностного распределения – функция концентрации, которая стала важным инструментом изучения свойств сверток распределений. В дальнейшем, функция концентрации Леви исследовалась в работах А.Н. Колмогорова, Б.А. Рогозина, В.В. Сазонова, В.В. Петрова, А.Б. Мухина, А.А. Юдина, Н.Г. Ушакова, К. Эссеена, Х. Кестена, Я. Энгера и в наше время нашла применение в исследованиях А.Ю. Зайцева, Ф. Гётце, В.В. Ульянова и других отечественных и зарубежных математиков.  Данной теме посвящена монография В. Хенгартнера и Р. Теодореску [3] и недавние работы отечественных ученых [10], [11], [12].

Функция концентрации Леви (или просто функция концентрации) суммы независимых случайных величин в одномерном случае исследована достаточно глубоко. Для нее получены неулучшаемые в общем случае оценки. Однако в случае многомерного пространства остались нерешенные вопросы. Так, еще не описан полностью класс множеств, для которых получаются неравенства с абсолютной постоянной, что необходимо для обобщения оценок на гильбертово пространство.

Формулировка основных результатов

Многомерная функция концентрации Леви 21-02-2018 11-16-23 , где  ξ – случайный вектор, а Е – выпуклое множество в 21-02-2018 11-18-45, определяется равенством:

21-02-2018 11-19-25

где Р – вероятность.

Пусть 21-02-2018 11-20-5121-02-2018 11-21-30 , тогда    21-02-2018 11-22-18; 21-02-2018 11-23-15.

Обозначим 21-02-2018 11-24-35,

где  21-02-2018 11-25-11 – ортонормированный базис в 21-02-2018 11-18-45.

Отметим, что E является симметричным выпуклым множеством, а выпуклый функционал  21-02-2018 11-26-57 – функционалом Минковского для куба Е.

Пусть 21-02-2018 11-27-42 – последовательность независимых случайных векторов в 21-02-2018 11-18-45 ; 21-02-2018 11-28-30 .

Положим 21-02-2018 11-29-18.

Под вектором ξ будем понимать вектор21-02-2018 11-43-21, у которого 21-02-2018 11-54-28 независимы и одинаково распределены с ξ, и если P(∙) – распределение случайного вектора , то 21-02-2018 11-57-05 – распределение случайного вектора ξ.

В [1, С. 17] получены следующие неравенства:

     21-02-2018 11-57-45                 (1)

       21-02-2018 11-58-33            (2)

где  Е  –   d –мерный куб, М – математическое ожидание. Здесь и далее С – абсолютная постоянная.

Как следует из [1], зависимость от размерности в правой части (2) существенна. Действительно, если бы имели для d – мерного куба оценку вида (1), т.е. без размерности d в правой части, то пришли бы к противоречию. Для этого достаточно взять за  21-02-2018 11-59-48 (n = d) последовательность независимых случайных векторов в 21-02-2018 11-18-45, таких что

21-02-2018 12-01-01

Тогда   21-02-2018 12-01-41  и 21-02-2018 12-02-29.

Подставив данные равенства в (2) получим оценку 21-02-2018 12-03-23, что заведомо приводит к противоречию при больших d.

Теорема 1. Если 21-02-2018 12-04-01  независимые случайные векторы, то

21-02-2018 12-05-39

Теорема 2. Если 21-02-2018 12-04-01 – независимые случайные векторы, то

21-02-2018 12-06-53(3)

Заметим, что: из (3) следует (2); оценка (3) по d неулучшаема, что следует из приведенного выше примера; оценка (3) точнее оценки (2) в том смысле, что она дает более точное неравенство функции концентрации суммы, когда 21-02-2018 12-07-48 мал.

Доказательство основных результатов

Доказательство теоремы 1

Имеем:

21-02-2018 12-13-28

где   21-02-2018 12-15-11 – распределение 21-02-2018 12-15-44.

Заметим,  что

21-02-2018 12-17-10

и, следовательно, 21-02-2018 12-18-39.

Но    21-02-2018 12-19-41   есть  характеристическая   функция  некоторой вероятностной меры  μ(∙) [1] , т.е.  21-02-2018 12-20-51.

Отсюда:

21-02-2018 12-21-54

где 21-02-2018 12-22-40  – характеристическая функция  21-02-2018 12-23-34.  Итак, имеем:

21-02-2018 12-24-09    (4)

где  μ(∙)  –  вероятностная мера с характеристической функцией 21-02-2018 12-25-08.

Интеграл, стоящий в правой части равенства (4), оценим по методу, изложенному в  . Вариацию этого метода можно найти  у Зингеля .

Имеем

21-02-2018 12-25-56

где 21-02-2018 12-26-41 – распределение вектора  21-02-2018 12-27-28 .

Пусть 21-02-2018 12-28-00, тогда по неравенству Гельдера:

21-02-2018 12-29-04

Обозначим:

21-02-2018 12-29-49

Выберем  21-02-2018 12-30-40  ,   где

21-02-2018 12-31-23

Тогда:

21-02-2018 12-32-10

По неравенству Иенсена:

21-02-2018 12-32-51

Рассмотрим интеграл

21-02-2018 12-33-43

где вектор  η имеет характеристическую функцию 21-02-2018 12-34-28. Найдем характеристическую функцию случайной величины 21-02-2018 12-35-10.

Возьмем  21-02-2018 12-35-49 и рассмотрим

21-02-2018 12-36-34

Отсюда величина (η, χ) имеет распределение Коши с плотностью

21-02-2018 12-38-08.

Тогда

21-02-2018 12-39-01

Неравенство следует из свойств распределения Коши. Далее имеем:

21-02-2018 12-39-42

Очевидно, 21-02-2018 12-40-25.

Следовательно,

21-02-2018 12-41-11

Тогда, получим:

21-02-2018 12-41-51

Таким образом,

21-02-2018 12-42-44

Отсюда

21-02-2018 12-43-31

Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2

Если   21-02-2018 12-44-48  , то (3) следует из теоремы 1, а если 21-02-2018 12-45-30 , то (3) тривиально. Допустим 21-02-2018 12-46-09 и  21-02-2018 12-46-59 .

Возьмем некоторое 21-02-2018 12-50-57 такое что:

21-02-2018 12-51-37

Без ограничения общности будем считать, что

21-02-2018 12-52-32

Обозначим за 21-02-2018 12-53-19 событие  21-02-2018 12-54-13  – дополнение к 21-02-2018 12-53-19;

21-02-2018 12-55-05

Возьмем произвольное 21-02-2018 12-56-07 , тогда:

21-02-2018 12-56-45

Заметим, что 21-02-2018 12-57-29, если 21-02-2018 12-58-03

Следовательно,

21-02-2018 12-58-49

Таким образом:

21-02-2018 12-59-31

Но 21-02-2018 13-00-15 ,   и мы получаем неравенство:

21-02-2018 13-00-51

Согласно теореме 1:

21-02-2018 13-01-41

Окончательно имеем:

21-02-2018 13-02-24

Далее, существует 21-02-2018 13-03-18 , такое что:

21-02-2018 13-03-54

И можно считать, что 21-02-2018 14-05-33  такой вектор, что:

 21-02-2018 14-06-30

Обозначим за 21-02-2018 14-07-29  событие 21-02-2018 14-08-44  .

Применяя описанный выше метод для оценки  21-02-2018 14-09-24 , получим:

21-02-2018 14-10-24

Теперь оцениваем  21-02-2018 14-11-42  и так далее. Через 21-02-2018 14-12-40 шага мы приходим к неравенству

21-02-2018 14-13-17

Заметим, что:

21-02-2018 14-14-19

Отсюда 21-02-2018 14-15-16

Следовательно,

21-02-2018 14-16-16

Теорема 2 доказана.

Список литературы / References

  1. Enger J. Bounds for the concentration function of a sum of independent random vectors with values in a Euclidean or Hilbert space / J. Enger.  – Uppsala: Thesis Uppsala University, 1975. – 68 p.
  2. Levy P. Theorie de I΄addition des variables aletorires / P. Levy. – Paris: Gauthier – Villar, 1937. – 228 p.
  3. Хенгартер В., Теодореску Р. Функции концентрации / В. Хенгартер, Р. Теодореску. – М.: Наука, 1980. – 176 с.
  4. Зигель Г. Верхние оценки для функции концентрации в гильбертовом пространстве / Г. Зигель // Теория вероятностей и ее применение. Т. 26. – 1981. – С. 335-34.
  5. Гётце Ф., Зайцев А.Ю. Оценки точности сильной аппроксимации в гильбертовом пространстве  / Ф. Гётце, А. Ю. Зайцев // Сиб. матем. Журнал. – 2011. – №52:4. – С. 796-808.
  6. Мирошников А.Л., Рогозин Б.А. Неравенства для функции концентрации / А. Л. Мирошников, Б. А. Рогозин // Теория вероятностей и ее применение. Т. 25, в.1. – 1980. – С. 178-183.
  7. Ананевский С.М., Мирошников А.Л. Локальные оценки функции концентрации Леви в многомерном гильбертовском пространстве / С. М. Ананевский, А. Л. Мирошников // Записки научных семинаров  ЛОМИ. Т. 130 – 1983. – С. 6-11.
  8. Мирошников А.Л. Локальная оценка многомерной функции концентрации Леви для куба / А.Л. Мирошников // IV Международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов. Т. II /  Ин-т математики и кибернетики АН Лит. ССР. – Вильнюс. 1985. – С. 192.
  9. Tao T., Van. V. From the Littlewood–Offord problem to the circular law: universality of the spectral distribution of random matrices / T. Tao, V. Van // Bull. Amer. Math. Soc. – 2009. – Vol. 46 (3). – P. 377–396
  10. Елисеева Ю.С., Зайцев А. Ю. Оценки функций концентрации взвешенных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин  / Ю. С. Елисеева, А. Ю. Зайцев // Теория вероятностей и ее применение. Т. 57. – 2012. – C. 768–777.
  11. Елисеева Ю.С. Многомерные оценки функций концентрации взвешенных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин / Ю. С. Елисеева //  Зап. науч. семинар / ПОМИ.  – 2013. –  127–137.
  12. Vershynin R. Invertibility of symmetric random matrices / R. Vershynin // Random Structures and Algorithms. – 2014. – Vol. 44. – P. 135–182

Список литературы на английском языке / References in English

  1. 1. Enger J. Bounds for the concentration function of Euclidean or Hilbert space / J. Enger. – Uppsala: Thesis Uppsala University, 1975. – 68 p.
  2. Levy P. Theorie de Iaddition des variables aletorires / P. Levy. – Paris: Gauthier – Villar, 1937. – 228 p.
  3. Hengarter V., Teodorescu R. Funktsii kontsentratsii [Concentration Functions] / V. Hengarter, R. Theodorescu. – Moscow: Nauka, 1980. – 176 p. [in Russian]
  4. Siegel, G., Verkhniye otsenki dlia funktsi kontsentratsii v gilbertovom prostranstve [Upper Bounds for Concentration Function in Hilbert Space] // Probability theory and its application. Vol. 26. – 1981. – P. 335-34. [in Russian]
  5. Götze F., Zaitsev A. Yu. Otsenki tochnosti silnoy approksimatsii v gilbertovom prostranstve [Accuracy Estimates of Strong Approximation in Hilbert Space] / F. Götze, A. Yu. Zaitsev // Sibirsk. Math. Journal. – 2011. – No. 52: 4. – P. 796-808. [in Russian]
  6. Miroshnikov A.L., Rogozin B.A. Neravenstva dlia funktsii kontsentratsii [Inequalities for Concentration Function] / A.L. Miroshnikov, B.A. Rogozin // Theory of Probability and its Application. Vol. 25, p.1. – 1980. – P. 178-183. [in Russian]
  7. Ananevsky S.M., Miroshnikov A.L. Lokalniye otsenki funktsii kontsentratsii Levi v mnogomernom gilbertovom prostranstve [Local Estimates of Levi Concentration Function in Multidimensional Hilbert Space] / S.M. Ananevskii, A.L. Miroshnikov // Zapiski sovetnikov Seminam LOMI. Vol. 130 – 1983. – P. 6-11. [in Russian]
  8. Miroshnikov A.L. Lokalnaya otsenka mnogomernoy funktsii kontsentratsii Levi dlia kuba [Local Estimate of Multidimensional Levi Concentration Function for Cube] / A.L. Miroshnikov // IV International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Theses of reports. T. II / Institute of Mathematics and Cybernetics of the Academy of Sciences of Lithuania. SSR. – Vilnius. 1985. – P. 192. [in Russian]
  9. Tao T., Van. V. From the Littlewood-O ff ord problem to the circular law: universality of the spectral distribution of random matrices / T. Tao, V. Van // Bull. Amer. Math. Soc. – 2009. – Vol. 46 (3). – P. 377-396.
  10. Eliseeva Yu. S., Zaitsev A. Yu. Otsenki funktsiy kontsentratsii vzveshennikh summ nezavisimykh odinakovo raspredelennykh sluchaynikh velechin [Estimates of Concentration Functions of Weighted Sums of Independent Identically Distributed Random Variables] Yu. S. Eliseeva, A. Yu. Zaitsev // Theory of Probability and its Application. Vol. 57. – 2012. – P. 768-777. [in Russian]
  11. Yu. S. Eliseeva, Mnogomerniye otsenki funktsiy kontsentratsii vzveshennykh summ nezavisimykh odinakovo raspredelennykh sluchaynikh velichin [Multidimensional estimates for the concentration functions of weighted sums of independent identically distributed random variables] Yu. S. Eliseeva, Zap. sci. seminar / SEM. – 2013. – P. 127-137. [in Russian]
  12. Vershynin R. Invertibility of symmetric random matrices / R. Vershynin // Random Structures and Algorithms. 2014. Vol. 44.-P. 135-182.

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.