Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2019.82.4.004

Скачать PDF ( ) Страницы: 23-26 Выпуск: № 4 (82) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Федоров В. М. О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫМИ ФУНКЦИЯМИ НА ПОЛУОСИ / В. М. Федоров // Международный научно-исследовательский журнал. — 2019. — № 4 (82) Часть 1. — С. 23—26. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/o-nailuchshej-approksimacii-absolyutno-monotonnymi-funkciyami-na-poluosi/ (дата обращения: 18.10.2019. ). doi: 10.23670/IRJ.2019.82.4.004
Федоров В. М. О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫМИ ФУНКЦИЯМИ НА ПОЛУОСИ / В. М. Федоров // Международный научно-исследовательский журнал. — 2019. — № 4 (82) Часть 1. — С. 23—26. doi: 10.23670/IRJ.2019.82.4.004

Импортировать


О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫМИ ФУНКЦИЯМИ НА ПОЛУОСИ

О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫМИ ФУНКЦИЯМИ НА ПОЛУОСИ

Научная статья

Федоров В.М. *

ORCID: 0000-0002-4586-6591,

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия

* Корреспондирующий автор (vferdorov[at]rambler.ru)

Аннотация

Основной  результат статьи  (теорема 2) состоит в том,  что в пространстве C(I) непрерывных функций на отрезке I = [0, ∞] конус KC (I), состоящий из абсолютно монотонных функций является чебышевским, т.е. для каждой непрерывной функции fC (I) найдется единственная абсолютно монотонная функция φK наилучшего равномерного приближения на отрезке I. При этом в доказательстве будет использован специальный критерий единственности наилучшего приближения клином (теорема 1). Этот критерий может быть использован при доказательстве единственности наилучшего приближения для других конусов, состоящих из непрерывных функций.

Ключевые слова: наилучшее равномерное приближение, опорный клин, опорная плоскость, непрерывная функция, абсолютно монотонная функция.

ON THE BEST APPROXIMATION BY ABSOLUTELY MONOTONIC FUNCTIONS ON SEMIAXIS

Research article

Fedorov V.M. *

ORCID: 0000-0002-4586-6591,

Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia

* Corresponding author (vferdorov[at]rambler.ru)

Abstract

The main result of the paper (Theorem 2) is that in the space C(I) of continuous functions on the interval I = [0, ∞], the cone KC (I) consisting of absolutely monotone functions is Chebyshev, that is, for each continuous function fC (I) there is a unique absolutely monotonic function φK of the best uniform approximation on the interval I. In the proof, we use a special criterion for the uniqueness of the best approximation by the wedge (Theorem 1). This criterion can be used in proving the uniqueness of the best approximation for other cones consisting of continuous functions.

Keywords: best uniform approximation, reference wedge, reference plane, continuous function, absolutely monotonic function.

Введение

Множество в нормированном пространстве  называется чебышевским, если оно обладает свойствами существования и единственности для наилучшего приближения любого элемента этим множеством.  Доказательство этих свойств для бесконечномерных  множеств в нормированном пространстве и, в частности, в пространстве непрерывных функций, является трудной математической задачей. Вначале мы рассмотрим задачу наилучшего приближения клином в абстрактном нормированном пространстве.

Пусть  E   нормированное пространство над полем действительных чисел 11-05-2019 11-17-39. Непустое подмножество 11-05-2019 11-17-52 называется клином, если 11-05-2019 11-18-14 [1, c. 39]. Клин 11-05-2019 11-17-52 называется конусом, если не содержит нетривиальных линейных подпространств, т.е. пересечение 11-05-2019 11-18-30 равно нулю. Обозначим через 11-05-2019 11-18-49 полярный* клин (конус) в сопряженном пространстве E* к пространству E [1, c. 33]. Если клин 11-05-2019 11-17-52  является подпространством, то полярный* клин 11-05-2019 11-20-10 совпадает с аннулятором* 11-05-2019 11-20-27 (см. также [2, c. 198] и [3, c. 160]).

Экстремальные множества функционала 11-05-2019 11-31-46 и вектора 11-05-2019 11-31-57 задаются  формулами 11-05-2019 11-32-31 замкнутые единичные шары в  11-05-2019 11-32-40 соответственно. Если 11-05-2019 11-33-02 не пусто, то функционал называется опорным. Обозначим через  11-05-2019 11-33-17  опорный клин в точке 11-05-2019 11-33-32, т.е. коническую оболочку  множества 11-05-2019 11-33-44 опорную плоскость в точке 11-05-2019 11-33-32 , т.е. наибольшее действительное линейное подпространство, содержащееся в опорном клине.

Лемма 1

Замкнутый клин 11-05-2019 11-17-52 в нормированном пространстве E тогда только тогда обладает свойством единственности наилучшего приближения, когда для любой точки p ∈ K и для каждого ненулевого опорного функционала пересечение 11-05-2019 11-43-11  равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть 11-05-2019 11-43-49 . Допустим, что множество 11-05-2019 11-43-59 имеет две различные точки 11-05-2019 11-44-16. В силу его  выпуклости  11-05-2019 11-44-33. Поэтому 11-05-2019 11-45-00, т.е. величина 11-05-2019 11-45-17 совпадает с расстоянием  от точки  11-05-2019 11-45-58.

Следовательно, мы имеем равенство 11-05-2019 12-00-25. Поскольку выполняется включение 11-05-2019 12-00-39 при достаточно малых t > 0, то клин K в пространстве E не обладает свойством единственности наилучшего приближения. Получили противоречие.

Достаточность. Если клин K не обладает свойством единственности, то в силу  выпуклости существуют 11-05-2019 12-15-08 11-05-2019 12-17-54 . Поскольку 11-05-2019 12-15-31 образует крайнее множество  клина 11-05-2019 12-15-49. Полагая11-05-2019 12-16-11. По теореме отделимости выпуклых множеств [1, стр. 42] существует 11-05-2019 12-21-26. Поскольку 11-05-2019 12-21-38 является крайним множеством шара S, то 11-05-2019 12-22-23. Таким образом,  11-05-2019 12-22-58, что противоречит нашему предположению.

Теорема 1

Замкнутый клин 11-05-2019 13-42-54 в пространстве C(T) непрерывных  функций на компакте T в том и только в том случае не обладает свойством единственности наилучшего приближения,  когда существуют  точка  11-05-2019 13-45-43,  ненулевой опорный функционал 11-05-2019 13-45-56 и ненулевая функция 11-05-2019 13-46-23, где 11-05-2019 13-49-59 носитель α, а 11-05-2019 13-50-08 множество нулей φ.

 Доказательство. Необходимость. В силу леммы 1 существуют точка 11-05-2019 13-45-43  и ненулевой опорный функционал 11-05-2019 14-00-06 , т.ч.  не равно нулю. Обозначим через μ представляющую меру функционала α [1, c. 55]. Мы можем считать, что  11-05-2019 14-01-05. Тогда существуют две различные функции 11-05-2019 14-01-55. Поэтому  11-05-2019 14-02-18. Отсюда получим 11-05-2019 14-02-43 при п.в. 11-05-2019 14-20-00 и, следовательно, имеем 11-05-2019 14-10-14. Таким образом, в силу непрерывности  11-05-2019 14-10-24 выполняется включение 11-05-2019 14-10-38.

Достаточность. Рассмотрим ненулевой опорный функционал 11-05-2019 14-22-38  и  ненулевую функцию 11-05-2019 14-23-03. Пусть 11-05-2019 14-23-18. Поскольку α является опорным, то существует 11-05-2019 14-25-26. Определим непрерывную функцию 11-05-2019 14-25-42. Тогда имеют место неравенства 11-05-2019 14-26-19. Так как непрерывная функция 11-05-2019 14-26-46. Поэтому получаем 11-05-2019 14-27-02. Поскольку 11-05-2019 14-27-20, то  и, следовательно, функция 11-05-2019 14-27-39.  Таким образом, в силу леммы 1 клин 11-05-2019 14-27-57 не обладает свойством единственности наилучшего приближения.

Рассмотрим в пространстве 11-05-2019 14-42-22  непрерывных функций на отрезке 11-05-2019 14-42-38, состоящий из ограниченных абсолютно монотонных функций, представимых интегралом Лапласа Стилтьеса [4, c. 18]

11-05-2019 14-43-54

где 11-05-2019 14-57-04  ограниченная неубывающая функция на отрезке I. Если предположить, кроме того, что 11-05-2019 14-57-04 является непрерывной слева и 11-05-2019 14-57-31, то соответствие между неубывающими функциями 11-05-2019 14-57-04 и абсолютно монотонными  функциями 11-05-2019 14-57-50 будет взаимно однозначным. Поскольку по теореме Бернштейна функция абсолютно монотонна в том и только в том случае, когда она удовлетворяет некоторой системе неравенств конечных разностей [5, c. 252], то конус  является по точечно замкнутым и, следовательно, в силу теоремы Мазура он будет равномерно  замкнутым в пространстве C(I) [6, c. 457].

Спектром 11-05-2019 14-58-02 неубывающей функции 11-05-2019 14-57-04 называется множество точек роста этой функции, т.е. таких 11-05-2019 14-58-29, что в любой ее окрестности найдутся точки 11-05-2019 14-59-06, для которых функция  строго возрастает, т.е. 11-05-2019 14-59-26 соответственно. Спектр для произвольной функции ограниченной вариации 11-05-2019 14-59-38 [1, c. 56] определяется спектром вариации 11-05-2019 14-59-52. По определению спектр абсолютно монотонной функции 11-05-2019 15-09-32 совпадает со спектром соответствующей ей неубывающей функции 11-05-2019 14-57-04.

Лемма 2

Опорная плоскость 11-05-2019 15-10-45 конуса абсолютно монотонных функций в точке 11-05-2019 15-10-59 состоит из функций 11-05-2019 15-11-19 функция ограниченной вариации, т.ч. 11-05-2019 15-13-10, а P(t) — неубывающая функция на отрезке I, соответствующая абсолютно монотонной функции p ∈ K.

Доказательство. Пересечение 11-05-2019 15-27-49  есть наибольшее выпуклое подмножество K, имеющее точку 11-05-2019 15-28-13 своей относительно окруженной точкой [2, c. 110]. Поэтому множество 11-05-2019 15-28-24 образует замкнутую грань конуса K  и его линейная оболочка 11-05-2019 15-29-00. Если неубывающая функция является суммой 11-05-2019 15-29-09 двух неубывающих функций, то в силу экстремального свойства грани 11-05-2019 15-28-24соответствующая ей абсолютно монотонная функция 11-05-2019 15-29-26 в том и только в том случае принадлежит 11-05-2019 15-29-41, когда 11-05-2019 15-29-52. Следовательно, при всех 11-05-2019 15-30-03 этой грани 11-05-2019 15-28-24 принадлежат функции, представимые в следующем виде:

11-05-2019 15-39-02

Если 11-05-2019 15-40-21 является точкой роста справа для P, то, переходя к пределу при 11-05-2019 15-40-39, получим, что 11-05-2019 15-41-09. Поэтому некоторая последовательность выпуклых комбинаций функций 11-05-2019 15-41-22 сходится по норме к функции 11-05-2019 15-41-31 (см. [6, c. 457] или [7, c. 216]). Поэтому имеет место 11-05-2019 15-41-42.  Аналогичное утверждение справедливо также для точек роста слева. Заметим, что 11-05-2019 15-41-59. В самом деле, так как спектр замкнут, то существует окрестность 11-05-2019 15-53-24. В этой окрестности функция 11-05-2019 15-55-41 является константой и не может быть суммой двух возрастающих функций, отличных от констант. Таким образом, замкнутая коническая оболочка  функций  11-05-2019 15-55-52, где , совпадает с замкнутой гранью 11-05-2019 15-56-00 конуса K.

Теорема 2

Конус   11-05-2019 15-58-47 абсолютно монотонных функций со спектром на отрезке  11-05-2019 15-59-01 является чебышевским.

Доказательство. В начале докажем существование наилучшего приближения для любой функции11-05-2019 15-59-21. Выберем последовательность функций 11-05-2019 15-59-47, и обозначим через 11-05-2019 15-59-59 неубывающие функции на I, непрерывные слева и нормированные условием 11-05-2019 16-00-18, соответствующие 11-05-2019 16-00-34. Так как 11-05-2019 16-01-05, то последовательность функций 11-05-2019 16-08-24 равномерно ограничена и, следовательно, существует подпоследовательность 11-05-2019 16-08-40,  которая в каждой точке 11-05-2019 16-08-47 сходится к неубывающей функции 11-05-2019 16-10-15 (см. [8, c. 63] или [9, c. 207]). По теореме Хелли (см. [8, c. 65] или [9, c. 219]) абсолютно монотонные функции 11-05-2019 16-09-28, соответствующие 11-05-2019 16-09-36, сходятся в каждой точке 11-05-2019 16-09-47 к абсолютно монотонной функции 11-05-2019 16-10-07, соответствующей 11-05-2019 16-08-58. Следовательно, имеет место неравенство 11-05-2019 16-11-23 при всех 11-05-2019 16-09-47. Отсюда вытекает равенство 11-05-2019 16-11-42 и значит функция 11-05-2019 16-12-00 является наилучшим приближением функции f.

Для доказательства единственности наилучшего приближения конусом K мы используем теорему 1. Допустим, что ненулевой опорный функционал 11-05-2019 16-23-19  удовлетворяет условию 11-05-2019 16-23-38 некоторая ненулевая функция. Каждая ненулевая функция, принадлежащая опорной плоскости 11-05-2019 16-23-49, голоморфна в правой полуплоскости, при этом множество ее нулей на отрезке I не более, чем счётно, и не имеет предельных точек внутри этого отрезка. Пусть 11-05-2019 16-24-53 обозначает множество нулей функции 11-05-2019 16-25-00, упорядоченное в порядке возрастания. Поскольку носитель 11-05-2019 16-25-11, то функционал  представляется в виде суммы абсолютно сходящегося ряда 11-05-2019 16-25-21, где

11-05-2019 16-29-51  обозначает функционал Дирака с носителем в точке 11-05-2019 16-30-02. Заметим, что по условию указанный функционал α аннулирует опорную плоскость 11-05-2019 16-31-03 и  его норма определяется по формуле 11-05-2019 16-31-09. Поэтому  в силу леммы 2 получим 11-05-2019 16-31-20 при всех 11-05-2019 16-31-31. Поскольку множество нулей 11-05-2019 16-31-43 голоморфной функции 11-05-2019 16-31-52 не более, чем счётно, и не содержит предельных точек внутри отрезка I, то этими же свойствами обладает и спектр 11-05-2019 16-32-19 функции 11-05-2019 16-32-32.

Если спектр 11-05-2019 16-41-16  бесконечный, то последовательность чисел  11-05-2019 16-41-27 будет иметь бесконечное число перемен знака [10, c. 60], что невозможно, так как функционал α является опорным. Пусть спектр 11-05-2019 16-41-16 является конечным и состоит из m точек 11-05-2019 16-41-59. Тогда последовательность 11-05-2019 16-41-27 должна иметь, по крайней мере, m перемен знака и, следовательно, будет содержать, по крайней мере, m + 1 ненулевых чисел. Так как по лемме 2 ненулевая функция 11-05-2019 16-42-36 имеет вид 11-05-2019 16-42-47, то она должна иметь, по крайней мере, m + 1 нулей 11-05-2019 16-43-05 на отрезке 11-05-2019 16-43-13, что невозможно, поскольку 11-05-2019 16-43-25 образует чебышевскую систему функций в 11-05-2019 16-43-37 (см. [10, c. 54] и [11, c. 7]).

Заключение

Доказанная теорема 2 допускает обобщение на случай, когда конус K состоит не из всех абсолютно монотонных функций, а только из тех, у которых спектр содержится в заданном замкнутом подмножестве отрезка I. При этом для доказательства нам потребуется произвести совсем небольшие изменения в приводимом выше доказательстве теоремы 2.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Дэй М. М. Нормированные линейные пространства. / М. М. Дэй. М.: ИЛ, 1961. 234 с.
  2. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. / Н. Бурбаки. М.: ИЛ, 1959. 414 с.
  3. Шефер Х. Топологические векторные пространства. /Х. Шефер. М.: МИР, 1971. 360 с.
  4. Фелпс Р. Р. Лекции о теоремах Шоке. / Р. Р. Фелпс. М.: МИР, 1968.
  5. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов. / Н. И. Ахиезер. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1961.  312 с.
  6. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. / Н. Данфорд, Дж. Шварц. М.: ИЛ, 1962. ­ 896 с.
  7. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. М.: НАУКА, 1965. 520 с.
  8. Гливенко В. И. Интеграл Стилтьеса. / В. И. Гливенко. М.: ЛКИ, 2007.
  9. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. / И. П. Натансон. М.: НАУКА, 1974. 480 с.
  10. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть вторая. Теория функций. Распределение нулей. Полиномы. Определители. Теория чисел. / Г. Полиа, Г. Сеге. М.: НАУКА, 1978. 432 с.
  11. Бернштейн С. Н. Экстремальные свойства полиномов. / С. Н. Бернштейн. Л.-М.: НКТП, 1937. 204 с.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Day M.M. Normirovannyye lineynyye prostranstva [Normalized Linear Spaces] / M.M. Day. – M.: IL, 1961. – 234 p. [In Russian]
  2. Bourbaki N. Topologicheskiye vektornyye prostranstva [Topological Vector Spaces] / N. Bourbaki. – M.: IL, 1959. – 414 p. [In Russian]
  3. Schaefer H. Topologicheskiye vektornyye prostranstva [Topological Vector Spaces] / H. Schaefer – M.: MIR, 1971. – 360 p. [In Russian]
  4. Phelps R. R. Lektsii o teoremakh Shoke [Lectures on Choquet’s Theorems] / R.R. Phelps. – M.: MIR, 1968. – 112 p. [In Russian]
  5. Akhiezer N. I. Klassicheskaya problema momentov [Classical Problem of Moments] / N.I. Akhiezer. – M.: FIZMATGIZ, 1961. – 312 p. [In Russian]
  6. Dunford N., Schwartz J. Lineynyye operatory [Linear operators] / N. Dunford, J. Schwartz. – M.: IL, 1962. ¬– 896 p. [In Russian]
  7. Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementy funktsional’nogo analiza [Elements of Functional Analysis] / L.A. Lyusternik, V.I. Sobolev. – M.: SCIENCE, 1965. – 520 p. [In Russian]
  8. Glivenko V.I. Integral Stilt’yesa [Stieltjes Integral] / V.I. Glivenko. – M.: LKI, 2007. – 218 p. [In Russian]
  9. Natanson I.P. Teoriya funktsiy veshchestvennoy peremennoy [Theory of Functions of a Real Variable] / I.P. Natanson. – M.: SCIENCE, 1974. – 480 p. [In Russian]
  10. Polia G., Szege G. Zadachi i teoremy iz analiza. Chast’ vtoraya. Teoriya funktsiy. Raspredeleniye nuley. Polinomy. Opredeliteli. Teoriya chisel [Problems and Theorems from Analysis. Part Two. Theory of Functions. The Distribution of Zeros. Polynomials Determinants. Number theory.] / G. Polia, G. Szego. – M.: SCIENCE, 1978. – 432 p. [In Russian]
  11. N. Bernshtein Ekstremal’nyye svoystva polinomov [Extreme Properties of Polynomials] / S.N. Bernstein. – L. – M.: NKTP, 1937. – 204 p. [In Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.